精品解析：江苏省震泽中学2026-2027学年高三上学期10月学情调研数学试卷

震泽中学2024级高三年级十月份学情调研 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，故， 根据真子集定义可知，或者. 2. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】因为，则， 所以， 故甲是乙的充分条件. 若，则，所以 如，满足，但不成立， 故乙不能推出甲. 综上，甲是乙的充分不必要条件. 3. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象关于轴对称可知为偶函数，先利用函数奇偶性排除B、D，再结合时图象位于轴下方判断A、C的符号． 【详解】选项A、C中，与（或其相反数）均为奇函数，因此相应函数为偶函数； 选项B、D中，为偶函数，而分母为奇函数，因此相应函数为奇函数，B、D不符合图象． 当时，，且，所以； 而图象在该区间内位于轴下方，因此． 4. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式，二倍角公式以及化简，再分子分母上下同时除以，即可求解. 【详解】 ， 上下同时除以，可得， ，因为，则. 5. 若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到函数的图像过点和，代入列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由函数的图像过点，又由其反函数的图像过点，则函数过点， 可得，即，解得，所以. 故选：B. 6. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判定是单调递增的奇函数，由条件推出，再用乘1法结合基本不等式求出的最小值． 【详解】函数定义域为， ，故函数是奇函数； 求导得，故函数在上单调递增； 已知，则， 由单调性可知，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 7. 在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过余弦定理以及正弦定理化简等式，并通过三角形内正切的等式关系解题. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 又因为，， 易得， 所以. 8. 已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，再迭代可得，进而得到函数的周期为，然后利用周期性结合赋值法求值即可． 【详解】由题可得，， 则， ， 则， ，即，， ，则函数的周期为， ， 由条件，令，得，即， 解得，故． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 若，，则 D. 已知函数为奇函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用三角函数的定义以及两角和的正切公式即可求解；对于B，利用复合函数的单调性即可求解；对于C，利用不等式的性质即可求解；对于D，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】对A，因为角的终边上有一点，所以， 则，所以A正确； 对B，令，，因为单调递增， 所以的单调递增区间即为的单调递增区间，且保证， 所以函数的单调递增区间为：，所以B错误； 对C，因为，，所以，则有，所以C正确； 对D，是奇函数， ，，，得， ，，所以D错误． 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域是 D. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据命题的否定判断；对于B，根据函数的定点判断；对于C，根据抽象函数的定义域求法判断；对于D，对含参二次函数参数时分析判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故错误； 对于B，令，，故正确； 对于C，若函数的定义域为，则，所以， 所以函数的定义域是. 对于D，当时，不等式变为，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，故D错误. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于原点对称 C. 是函数的极大值点 D. 当时，函数值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将代入计算即可；对于B，化简整理后利用奇函数的定义进行判断；对于C，求导分析得到的单调性，再结合极值的定义进行判断；对于D，根据C选项中得出的单调区间，代端点确定最大值最小值即可. 【详解】对于A，由得， ， 所以，故A正确； 对于B，由题意得，， 函数， ， ，所以图象不关于原点对称，故选项B错误； 对于C，由得， ， 当时，，，， 当时，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，选项C正确； 对于D，由C选项可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为， ， ， 所以，， 即函数值域为，故选项D错误. 三、填空题 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 13. 曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】可知直线的斜率为， 因为，则， 令，解得，此时， 所以点到直线的距离最短，最短距离为． 14. 设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象得到最小正周期的范围，进而求出，代入特殊点后得到，解不等式，得到的取值范围，进而求出的值，求出最小正周期. 【详解】由图知，即，所以，解得， ，即，所以，即， 又因为， 所以，，所以，， 因为，所以，此时，所以. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理得, 又，∴. 【小问2详解】 ∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 16. 已知函数是偶函数，. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的零点； （3）若的最小值为2，求实数的值. 【答案】（1） （2） （或） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得，  移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. 【小问2详解】 当时，，由（1）知，令，得，  设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. 【小问3详解】 由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 17. 已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点． （1）求函数的表达式，并写出其增区间； （2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围； （3）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1） 根据相邻的极值点间的距离为求出，再代入极值求出解析式； （2） 根据求出，再根据余弦定理及基本不等式求出的范围； （3）利用的三角函数表示出，再利用导数判断其单调性，从而求出最小值. 【小问1详解】 设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得， 则； 在处取得极大值，，， 又因为，故，，则 令，， 解得， 即的增区间为 【小问2详解】 因为，因为，所以， 又因为，所以由余弦定理， 即，即． 而，当且仅当时取等号， 所以，即， 又因为，所以，即． 【小问3详解】 由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则，． ，，． 因此． 设，，，． 设， 则， 当时，，，即，因此在上单调递减； 当时，，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性，进而求极值； （2）转化为导数恒非负问题，用分离参数基本不等式求解； （3）韦达定理消元换元构造函数，求值域即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 【解析】 【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案； （2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果； （3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论. 【小问1详解】 ，所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了三倍角余弦公式的应用问题，解答的难点是第三问，要注意根据方程的特点，设，再结合三角恒等变换，将方程的解的问题，转化为利用三倍角公式，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 震泽中学2024级高三年级十月份学情调研 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（     ） A. B. C. D. 4. 若，则 （ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 6. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 7. 在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（ ） A. B. 0 C. D. 2 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 若，，则 D. 已知函数为奇函数，则 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域是 D. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于原点对称 C. 是函数的极大值点 D. 当时，函数值域为 三、填空题 12. 计算：________． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 14. 设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 16. 已知函数是偶函数，. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的零点； （3）若的最小值为2，求实数的值. 17. 已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点． （1）求函数的表达式，并写出其增区间； （2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围； （3）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $