2026-2027学年北师大版八年级数学上册第二章 实数单元练习题

北师大版八年级数学上册第二章 实数单元练习题 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D．cm2 5．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（　　） A． B． C． D． 6．估计的结果是（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 7．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A． B．6 C． D．4 9．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．在二次根式 中，最简二次根式有　 　个. 11．化简： =　 　 12．二次根式中，未知数m的取值范围是　 　. 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　． 三、解答题 14．当a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义? （1） （2） （3） （4） 15．计算： （1）； （2）． 16．发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 17．已知的立方根是2，的算术平方根是求： （1）、y的值； （2）的平方根． 18．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，白老师和同学们利用如图所示的两块完全相同的大长方形纸板裁剪小纸板． 任务一：裁剪三块面积分别为，，的正方形纸板． 任务二：裁剪四块面积为，且长与宽的比为的小长方形纸板． 【操作探究】如图1，为完成任务一，莉莉设计如下裁剪方案： ①先在右下角裁剪下面积为的正方形纸板A； ②继续在左下角裁剪下面积为的正方形纸板B； ③最后在左上角裁剪下面积为的正方形纸板C． （在裁剪过程中相邻两个正方形之间无缝隙） 为完成任务二，倩倩设计如下裁剪方案： 按如图2所示虚线裁剪四块相邻的小长方形纸板，每块面积为，且长与宽的比为． 【解决问题】 （1）正方形纸板A的边长为____．图1中D部分的周长为___． （2）求大长方形纸板的面积； （3）试通过计算说明倩倩设计的方案能否成功裁剪出四块任务二所要求的小长方形纸板． 19．在数轴上点表示，点表示，且，满足． （1）①　 　． ②表示的整数部分，表示的小数部分，则　 　； （2）若，则取最小整数值为　 　； （3）若点与点之间的距离表示，点与点之间的距离表示，请在数轴上找一点，使得，求点在数轴上表示的数． 20．已知a>0且a的立方根是它本身，3b+1的算术平方根是4。 （1）直接写出a=　 　，b=　 　； （2）求5a+8b的平方根； （3）若 的整数部分是x，小数部分是y，求xy的值。 21．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： （1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝　 　； ②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝　 　； （2）【公式运用】已知：＋x＝3，求的值： 22．阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： （1）； （2）． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A：被开方数含分母，可化简为，不是最简二次根式， B：16是完全平方数，，可化简为整数，不是最简二次根式， C：0.4化为分数为，被开方数含分母，可化简为，不是最简二次根式， D：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解为平方数的乘积，因此是最简二次根式， 故选：D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可. 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 【解析】【解答】解：表示不超过的最大整数， ， ， 故选：． 【分析】根据[]的意义可先求得， 然后再两边同时平方即可得 ． 6．【答案】C 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A选项：只有化成最简二次根式后被开方数相同的同类二次根式才能进行加减运算，故A选项错误； B选项：只有化成最简二次根式后被开方数相同的同类二次根式才能进行加减运算，故B选项错误； C选项：分子分母同乘，可得，故C选项错误； D选项：利用二次根式的乘法法则，，故D选项正确. 故答案为：D. 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，包括加减法和乘除法，根据运算法则对每个选项进行逐一判断即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，先计算两个正方形的边长： 面积为27的正方形边长为，面积为12的正方形边长为； 图中空白部分的面积为：. 故答案为：B. 【分析】先根据正方形面积求出对应边长，再结合图形可得，空白部分面积为长方形面积，长为小正方形边长，宽为大小正方形边长的差，进而根据长方形面积公式列式计算即可. 9．【答案】A 10．【答案】1 【解析】【解答】解：：，被开方数9是可开方数，所以不是最简二次根式； ：15=3×5，3和5都是质数，被开方数15不存在开的尽方的因数，且15是整数，符合最简二次根式的定义，所以是最简二次根式； ：20=4×5，其中，被开方数20含有能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式； ：被开方数是分数，所以不是最简二次根式； ：，被开方数是分数，所以不是最简二次根式； 综上所述，最简二次根式只有一个. 故答案为：1. 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须同时满足以下条件：①被开方数不含分母（即不能是分数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.根据以上条件即可判断出题中最简二次根式只有一个. 11．【答案】 【解析】【解答】解： ； 故答案为： . 【分析】直接进行分母有理化． 12．【答案】m≥2 【解析】【解答】解：由题意可知，m-2≥0， 解得：m≥2， 故答案为：m≥2. 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可. 13．【答案】14 【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ∴， 故答案为：14． 【分析】根据同类二次根式的定义（最简二次根式的被开方数相同），据此列出方程，解出x、y后，代入计算xy的值. 14．【答案】（1）解：由题意可得： a+2≥0 解得：a≥-2 （2）解：由题意可得： 3-a≥0 解得：a≤3 （3）解：∵a2≥0， ∴5a2≥0， ∴a取任意实数 （4）解：由题意可得： 2a+1≥0 解得：a≥ 【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可求出答案. （2）根据二次根式有意义的条件即可求出答案. （3）根据二次根式有意义的条件即可求出答案. （4）根据二次根式有意义的条件即可求出答案. 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】解：∵，代入， ∴， ∵， ∴， 答：肇事汽车的车速大约是． 【解析】【分析】将，代入，然后将二次根式化简，进而根据题干给出的近似值结合有理数乘法法则即可求出肇事汽车的车速大约是多少. 17．【答案】（1）解：的立方根是2， ， ， 的算术平方根是3， ， ； （2）解：由（1）得，， ， 的平方根是， 的平方根是 ​​​​​​​ 【解析】【分析】 （1）分别按照立方根、算术平方根的定义化简，再完成后续加减运算； （2）先代入数值求出代数式的结果，再根据平方根定义求出它的平方根，注意平方根有两个，互为相反数 ． （1）解：的立方根是2， ， ， 的算术平方根是3， ， ； （2）由（1）得，， ， 的平方根是， 的平方根是 18．【答案】（1）5，18 （2） （3）倩倩设计的方案能成功裁剪出四块任务二所要求的小长方形纸板 19．【答案】（1）； （2）4 （3）解：设点C表示的数为m， 当点C在A， B之间时，，， ， ， ， 当点C在点B的左边时，， ， ， ， 综上所述C点在数轴上表示的数为或 【解析】【解答】解：（1）①， ， ， ② ， 故答案为：①；②； （2）根据二次根式有意义的条件得， ， 又， ， 当时，则的最小整数是； 故答案为：4. 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可求得a＋b的值，进而求得a＋b整数部分，a＋b的小数部分； （2）根据题意，从而求得的最小整数是； （3）设C点表示的数为m，根据AC＝2BC列出方程，解方程即可； 20．【答案】（1）1；5 （2）解：∵a=1，b=5，∴5a+8b=5×1+8×5=45， ∴5a+8b的平方根为 (3)∵a=1，b=5， （3）解：∴， ∵4<5<9， 即 ∴的整数部分是2，小数部分是2， 即x=2， 【解析】【解答】(1)∵a>0且a的立方根是它本身， ∴a=1. ∵3b+1的算术平方根是4， ∴3b+1=16， ∴b=5， 故答案为1，5. 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义求出a，b的值即可； （2）把a，b的值代入，计算平方根即可； （3）代入a，b的值得到，然后根据无理数的估算求出x，y的值，然后代入计算即可. 21．【答案】（1）a3-b3；100 （2）解：， ， 由上述公式的逆运用可得 【解析】【解答】解：（1） ； 故答案为：a3-b3；100. 【分析】 (1)、 第1空、 考察对题目公式的理解，观察得知两个式子具有高度相似性，因此可以把“-”与b放一起，构造与题目公式相同的形式即可； 第2空、 考察对题目公式的逆运用， （993＋1）可以写为 （993＋13），即可以利用题目公式展开，展开后最终与“”后的式子消掉，即最后剩下； (2)、主要考察对题目公式的理解及运用， 已知：＋x＝3，求的值 ，根据对公式的理解，还需要存在关于＋x＝3的平分项，即，将等式两边同时减“1”，得，等价，最终得到，代入数据即可计算. 22．【答案】（1） （2） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $