精品解析：四川成都市金牛区实外高级中学2026-2027学年度高二上学期第一阶段考试数学试题

成都市金牛区实外高级中学高2025级2026-2027学年度上 第一阶段考试数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 2. 甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生（ ） A. 20人，25人，30人 B. 30人，25人，20人 C. 25人，30人，20人 D. 20人，30人，25人 3. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 4. 已知，且互斥，则（ ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 5. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项不正确的（ ） A. 丁险种最受参保人青睐 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D. 30~41周岁参保人数最多 7. 已知10个样本数据，，…，均为正数，其方差为11，且，则这10个样本数据的平均数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本数据则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 极差为 D. 分位数为 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（ ） A. 与互斥 B. ， C. D. ，为对立事件 11. 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在线段上 C. 当时，点在棱上 D. 当时，点在线段上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在空格处. 12. 点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 13. 澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 14. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求向量的坐标及； （2）若，求的值． 16. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为，，），女同学名（记为，），现从中随机一次性选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 17. 为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 19. 1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. （1）分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； （2）当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? （3）根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市金牛区实外高级中学高2025级2026-2027学年度上 第一阶段考试数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生（ ） A. 20人，25人，30人 B. 30人，25人，20人 C. 25人，30人，20人 D. 20人，30人，25人 【答案】A 【解析】 【详解】甲，乙，丙三个学校的学生比例为， 故甲，乙，丙三校分别抽取学生人数为， . 3. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 4. 已知，且互斥，则（ ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为互斥，所以， 所以. 5. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项不正确的（ ） A. 丁险种最受参保人青睐 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D. 30~41周岁参保人数最多 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可. 【详解】对A：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故C错误； 对D：由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故D正确． 故选：C． 7. 已知10个样本数据，，…，均为正数，其方差为11，且，则这10个样本数据的平均数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，结合已知条件建立关于平均数的方程，结合样本均为正数求解即可. 【详解】设这10个样本数据的平均数为，样本容量.  因为， 所以，即. 由于所有样本数据均为正数，因此平均数，故. 8. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本数据则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 极差为 D. 分位数为 【答案】ACD 【解析】 【详解】先将数据从小到大排序为：所以众数为，中位数为，极差为，因为，所以分位数是排序后的第个数字，即为. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（ ） A. 与互斥 B. ， C. D. ，为对立事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据事件的关系逐一判断. 【详解】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确； 事件包含基本事件，事件包含基本事件， 因此，，B正确； 事件包含基本事件，故，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误． 故选：ABC 11. 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在线段上 C. 当时，点在棱上 D. 当时，点在线段上 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确； 对于B，当时，，，连接，即， 即，所以点在线段上，故B错误；    对于C，当时，，，所以， 所以，即，所以点在棱上，故C正确； 对于D，当时，，， 由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在空格处. 12. 点关于坐标平面对称的点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标规律是： 坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数 按照这个规律，对称点的坐标为． 13. 澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算各自未猜中灯谜的概率，根据对立事件的概率即可求出至少猜中1道灯谜的概率. 【详解】设：甲猜中灯谜为事件，乙猜中灯谜为事件， 则至少猜中1道灯谜的概率. 14. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设一班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；二班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；名同学的总平均分为，总方差为. ∴ . ∵ 分层合并方差公式为， 代入得， 即总方差为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求向量的坐标及； （2）若，求的值． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标表示中加减法的运算即可求得向量的坐标，再使用模长计算公式即可求得； （2）同（1）中的加减法运算，先分别计算和的坐标，由可得，再使用空间向量的坐标表示中数量积的运算即可求得的值. 【小问1详解】 已知，． 设，则， 则有，解得，即， 则. 故，. 【小问2详解】 由（1）得，又，， 则，， 由得， 即，解得， 故的值为. 16. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为，，），女同学名（记为，），现从中随机一次性选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）根据题意写出事件，再由古典概型求概率. 【小问1详解】 根据题意，可知样本空间． 【小问2详解】 设事件为“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”， 则，共个基本事件， 样本空间中共有个基本事件，所以． 17. 为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1）200人； （2）37.5. 【解析】 【分析】频率分布直方图中，小矩形的面积表示相应组的频率．先利用总面积为 求出 ，再根据相应组的频率求人数，并用各组区间中点值作加权平均估计平均数． 【小问1详解】 各组组距均为 ． 由各组频率之和为 ，得解得 ． 年龄在 内的频率为 ，所以所求人数为 （人）． 【小问2详解】 五组的频率依次为 ． 各组区间的中点值依次为 ． 因此这 名中国 AI 大模型用户年龄的平均数估计为 故估计平均数为 ． 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， ， 所以． 19. 1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. （1）分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； （2）当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? （3）根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【答案】（1）游戏一，游戏二获胜的概率分别为， （2） 同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. （3） 应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型可得所求概率； （2）当时，可求出游戏三获胜的概率，记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”，事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列，则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜，讨论第二个游戏选择游戏几时获得观影票的概率，比较即可； （3）当时，同（2），当时，参考（2），比较即可. 【小问1详解】 记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”， 所以. 【小问2详解】 游戏三的所有样本点为共个， 当时，获胜的样本点为，有2个， 所以， 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜. 所以，其中，，相互独立，，，两两互斥， 则 , 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有. 所以. 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 【小问3详解】 考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示： 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，， ， 当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 当时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $