第02讲 排列组合（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

排列组合 第02讲 3大知识点 12大题型 核心考点 2026 2025 2024 排列组合 全国二卷T6（5分） _______ 全国甲卷（文）T4（5分） 全国甲卷（理）T16（5分） 考情分析 从近三年全国卷考查情况来看，本节为高考常考内容，以基础概念、基本方法为核心，重点考查特殊元素与位置、相邻不相邻、分组分配等题型，一般为选择或填空题，分值5分。命题更重视真实情境建模，常结合生活场景设置问题，强调分类分步思维。复习时可关注人员分配等现实计数场景，培养数学建模与应用意识，避免机械套用模板。 复习目标 1.理解排列、组合的概念。 2.能借助计数原理推导排列数、组合数公式。 3.会运用排列组合知识，区分有序与无序，解决简单的实际计数问题。 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识点1排列与排列数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1排列与排列数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点1排列与排列数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点1排列与排列数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1排列与排列数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2组合与组合数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2组合与组合数 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点2组合与组合数 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点2组合与组合数 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3排列与组合区分 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点3排列与组合区分 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点3排列与组合区分 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点3排列与组合区分 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【例1-1】 题型1 排列数、组合数的化简与证明 解 析 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例1-2】 题型1 排列数、组合数的化简与证明 解 析 故选：A 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-1】 题型1 排列数、组合数的化简与证明 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-2】 题型1 排列数、组合数的化简与证明 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 排列数、组合数的化简与证明 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-3】 题型1 排列数、组合数的化简与证明 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-1】 题型2排列数、组合数的方程与不等式 解 析 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-2】 题型2排列数、组合数的方程与不等式 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 范围约束求解法 方法技巧 易错点 题型2排列数、组合数的方程与不等式 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-1】 题型2排列数、组合数的方程与不等式 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-2】 题型2排列数、组合数的方程与不等式 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-3】 题型2排列数、组合数的方程与不等式 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2排列数、组合数的方程与不等式 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-1】 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-2】 题型3相邻问题和不相邻问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 捆绑插空法 方法技巧 易错点 题型3相邻问题和不相邻问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-1】 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-2】 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-3】 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3相邻问题和不相邻问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-1】 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-2】 题型4定序问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 定序消序法 方法技巧 易错点 题型4定序问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-1】 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-2 】 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-3 】 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4定序问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-1】 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-2】 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-1】 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-2】 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-3】 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5多面手问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-1】 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-2】 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-1】 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-2】 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-3】 题型6 涂色问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 涂色问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例7-1】 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例7-2】 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 分组消序法 方法技巧 易错点 题型4定序问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式7-1】 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式7-2】 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式7-3】 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7分组分配问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例8-1】 题型8隔板法 解 析 故选：A 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例8-2】 题型8隔板法 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 隔板模型法 方法技巧 易错点 题型4定序问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式8-1】 题型8隔板法 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式8-2】 题型8隔板法 解 析 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式8-3】 题型8隔板法 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例9-1】 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例9-2】 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式9-1】 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式9-2】 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式9-3】 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9 数字排列问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例10-1】 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例10-2】 题型10最短路径问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式10-1】 题型10最短路径问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式10-2】 题型10最短路径问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式10-3】 题型10最短路径问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10最短路径问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例11-1】 题型11元素配对问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例11-2】 题型11元素配对问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式11-1】 题型11元素配对问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式11-2】 题型11元素配对问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式11-3】 题型11元素配对问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型11元素配对问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例12-1】 题型12环排问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型12环排问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例12-2】 题型12环排问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式12-1】 题型12环排问题 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式12-2】 题型12环排问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式12-2】 题型12环排问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【1】 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 【2】 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 【3】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【4】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【5】 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 【1】 解 析 05 课本典例・高考素材 137 【2】 解 析 05 课本典例・高考素材 138 解 析 05 课本典例・高考素材 139 【3】 解 析 05 课本典例・高考素材 140 【4】 解 析 05 课本典例・高考素材 141 【5】 05 课本典例・高考素材 142 解 析 05 课本典例・高考素材 143 【6】 05 课本典例・高考素材 144 解 析 05 课本典例・高考素材 145 解 析 05 课本典例・高考素材 146 【7】 解 析 05 课本典例・高考素材 147 【8】 05 课本典例・高考素材 148 解 析 05 课本典例・高考素材 149 1.定义 从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，称为排列数，记作。 2.排列数公式 （1）当时，为全排列：；（2）规定：。 3.排列数性质 （1） （2） （3） 使用说明：乘积形式多用于数字计算；阶乘形式多用于字母式子化简、证明。 4.排列应用题解题思路 审题确定元素，判断是否与顺序有关；标记特殊元素、特殊位置，优先处理限制条件。 由于任何两名同学间进行1次主场比赛与1次客场比赛， 所以一场比赛相当于从13个不同元素中任取2个元素的一个排列， 因此总共进行的比赛场次是. 某学校的羽毛球比赛共有13名同学参加，要求每名同学都要与其余参赛同学在主､客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为_________. （1）方法一：. 方法二：. 计算或化简下列各式：(1)；(2)； (3)． （2）． （3）因为， 所以 1.定义 从个不同元素中取出个元素，合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做组合数，记作。 2.组合数公式 推导思路：先组合，再对选出的个元素全排列，由分步乘法计数原理：，变形得到组合数：，特例：。 使用说明：展开式适合数字运算；阶乘式适合化简证明。 3.组合数性质 （1） 4.组合常见题型 （1）"含有"或"不含有"某些元素的组合问题； （2）"至少""最多"含有若干元素的组合问题。 . 的值为（   ） A．101 B． C．6 D． 先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有种选派方法． 某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（    ） A．10种 B．20 种 C．30种 D．60种 类型 核心判断 排列 选出元素之后考虑顺序，元素去向、分工、位置不同，属于排列 组合 选出元素只归为一组，不考虑顺序，元素地位平等 综合问题核心思想：先组合，后排列。先选取元素，再对选取出来的元素安排顺序。 由题意知第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种，第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天 现有4名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有（    ）种 A．24 B．12 C．81 D．64 1人，安排方案有种，根据分步乘法计数原理，安排方案共有种. 第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种；第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种；第三步，后排7人全排列，有种，由分步乘法计数原理可得共有种. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（    ）种． A． B． C． D． . （2026·广西钦州·二模）（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 对于A，，A错误；对于B，由组合数性质，得，B正确；对于C，，C正确； 对于D，由二项式定理，， 令得：，D正确. （2025·广西百色·二模）下列错误的是（    ） A． B． C． D． ，， 故分子为，又， 因此原式. （2025·江苏淮安·二模）计算（   ） A． B． C． D． (1)由题意得，，， 又，所以． (2)由题意得，， 而， （2026·湖北随州·二模）若，证明： (1)；(2)． 而， 所以． (1)证明： ； (2)证明： . （2025·山西太原·二模）证明：(1)；(2)． 由可得， 整理可得，即， 由题意可知且，故. （2025·湖南岳阳·一模）满足等式的的值为（     ） A． B． C．或 D． 因为，即，解得或（舍）． （2026·福建泉州·一模）若，则n＝（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 先把、展开写成乘积形式，转化为普通代数方程或不等式求解。 解完代数之后，必须附加组合数隐含条件：且，筛掉不符合实际意义的增根。 不要直接只解代数式子忽略定义域，很多错误都来自没有检验参数的实际取值。 由，由组合数性质可知：或， 当时，解得：不满足； 当时，解得：，此时，且满足. （2026·湖北武汉·二模）若满足，则______． 根据组合数的公式及性质： 对整数，有，， 将上述结果代入原方程得： ，化简得 ，即 ，即，解得，满足且的条件，故. （2026·广东潮州·一模）若 且 ，则 _____. （1）根据题意，若，则， 则有， 即，解得. （2）原方程可变形为，即， （1）若，求的值：（2）已知，求的值． 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)，故． 第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列， 所以有种． （2025·山东青岛·模拟预测）甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（    ） A．10 B．16 C．32 D．64 （2025·浙江杭州·二模）在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元（3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”）排成一条线性序列进行布线.为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位.则满足上述条件的布线方案共有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 若“主控门”不在首位，先排“主控门”，再排列其他4个功能单元，共有种；若“主控门”不在首位，且2个“经典控制单元”相邻，先排列2个“经典控制单元”（捆绑）和剩下的2个功能单元，再将“主控门”进行插空，共有种， 则满足条件的布线方案共有种. 相邻问题使用捆绑法，把要求相邻的元素捆成一个整体，将整体与其余元素全排列，捆绑内部再做内部排列。 不相邻采用插空法，先排无限制元素，元素之间生成空隙，再把不相邻元素插入空隙之中。 注意区分“只能互不相邻”和“部分相邻部分不相邻”，两类方法可以结合使用。 法一：先把其他的8本书排好，形成了9个空，再将2本数学书插入9个空，则有种不同的排法. （2025·黑龙江鸡西·模拟预测）（多选）把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 法二：若两本数学书相邻，则有种排法， 所以两本数学书不能相邻的排法有种. 甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为，则满足要求的方法数为36种．也可以仅考虑甲乙相邻排法数为，甲与乙相邻且甲与丙相邻排法数为， 则满足要求的方法数为． （2026·江苏南京·二模）甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（    ）． A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．42 种 在不考虑a，b是否相邻的情况下，第一棒的选取方法有2种，第四棒的选取方法有4种，剩下两棒的选取方法有种，此时共有种选取方法，若相邻，则只能是第一、二棒， （2025·黑龙江哈尔滨·二模）高二(3)班从6名同学a，b，c，d，e，f中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a，b中选一人跑，且a，b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有（    ） A．88种 B．78种 C．66种 D．58种 有2种选取方法，第四棒的选取方法有3种，第三棒的选取方法有3种，共有18种选取方法，所以符合条件的选取方法共有种. 因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡 （2026·湖南邵阳·三模）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 脯肉后下锅，所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. （2026·黑龙江绥化·二模）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 部分元素指定先后顺序，不可以随意调换位置。先对全部元素做整体全排列，再除以定序元素自身的全排列数，消除多余的顺序。 也可以用选位法：先从总位置选出指定位置放定序元素，剩余位置排其余元素。 两种思路结果一致，除法运算更加快捷，做题注意识别隐藏的定序条件。 ∵ 人无约束条件下排成一排的全排列数为. 已知要求在的左边，在的右边，即三人的相对顺序固定，三人的全排列共种，仅1种符合条件； 同时要求在的左边，即二人相对顺序固定，二人的全排列 （2025·河北承德·二模）有、、、、、、7人排成一排站队，要求、、三人满足在的左边，在的右边，同时满足在的左边，在的左边，那么不同的站队方法种数为__________. 共种，仅种符合条件； 要求在的左边，即二人相对顺序固定，二人的全排列共种，仅种符合条件. ∴ 符合所有要求的不同站队方法种数为. 第一种情况，4个0全部相邻，把4个0看成1个元素，共有种；第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，每组不相邻，利用插空法共有种．综上，这样的信号共有6种． （2025·湖南娄底·一模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有_____种． 法一：采用位置选对象法，8个确定顺序的位置选出4个，分别放置“万事如意”，则剩下4个位置分别放置“恭喜发财”，共有种不同取法；法二：采用倍缩法，这八个字共 （2026·广东云浮·模拟预测）元宵灯展后，悬挂有8盏不同的灯需要逐一取下，如图所示，有______种不同的取法． 有种排列方法，其中：“万事如意”和“恭喜发财”是定序的， 故有种不同取法. 因为英语翻译只能从多面手中选，所以有（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有种选法；（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有种选法；（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人 （2026·江西宜春·一模）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法． 从事俄语翻译，所以有种选法；共有18+36+6=60种选法． 根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人；则不同的选派方法 （2025·广东揭阳·二模）为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 有以下三种：（1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有，（2）从中选择1人划左桨，从中选1人划左桨，再从剩下的3名能划右桨的人中选2人划右桨，共有；（3）从中选2人划左桨，中的两人划右桨，共有．所以，不同的选派方法共有19种． 若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． （2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； （2025·辽宁鞍山·三模）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有________种不同的选法.（用数字作答） 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 由题知，有2名医生既会外科，也会内科，只会外科的1名，5名会内科，以选出只会外科的人数进行分类：从只会外科的人中选1 （2025·江苏盐城·三模）某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2名.现在要从医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有___________种派遣方法. 人：，从只会外科的人中选0人：， 所以共114种. 图中A，B，C三个区域涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻区域不用同一种颜色， （2025·四川资阳·一模）给图中A，B，C三个区域涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻区域不用同一种颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．24种 B．20种 C．18种 D．16种 可先从4种颜色中选3种颜色，再涂A，B，C三个区域， 则不同的涂色方法有种不同的涂法. 如图所示： 当选择种颜色时，从种颜色中选 （2025·河南商丘·二模）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（     ）种． A．1440 B．120 C．72 D．1560 共有种方法，将选出的种颜色分配给个区域有种方法，总方法数为种，当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法，从（A，D）或（B，C）中选择一组涂同一颜色，有种选择，比如选择（A，D）组，将选出的4种颜色分配有种方法，总方法数为种，当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法，则（A，D），（B，C）各涂同一颜色，有 种选择，将选出的种颜色分配有种方法，总方法数为种，则所有的方法数为种. 若颜色全相同，选颜色共种选法； 涂：每个区域不能是的颜色， （2025·海南三亚·模拟预测）某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．36 B．60 C．66 D．78 因此每个区域各有种选择，共种.共有种方法. 若用两种不同颜色，选2种颜色种；再分配给三个区域种， 因此共种涂法. 涂，仅夹在两个同色区域之间的那个区域有种选择， 其余两个夹在异色区域之间的区域各只有种选择，共种. 因此共有种方法. 若颜色全不同，用3种颜色，共种涂法； 涂，每个区域夹在两个异色区域之间，仅剩余1种颜色可选，共种. 共有种方法. 将三类相加，总涂色方法为种. （1）若用2种颜料，对角位置颜色相同，则涂色方案有种； （2026·山东济宁·模拟预测）如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ）种. A．24 B．48 C．60 D．84 （2）若用3种颜料，一组对角位置颜色相同，一组对角位置颜色不同，则涂色方案有种； （3）若用4种颜料，则涂色方案有种；所以共有种，故选D. （2025·江苏镇江·一模）（多选）有红、黄、蓝、绿、黑五种不同颜色可供图中的a，b，c，d四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（   ） A．只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法 B．刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有24种不同涂法 C．总共有180种不同涂法 D．同时用上黑、绿两种颜色涂色有100种不同涂法 先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，故共有种方法，所以只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法，A选项正确；刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有种不同涂法，故B正确；当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂 法，共有种方法，当，不同色时，四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故可知有种方法，即任选若干种颜色涂色的不同方法数为，故C正确；同时用上黑、绿两种颜色涂色且用三种颜色涂色种涂色方法；同时用上黑、绿两种颜色涂色且用四种颜色涂色种涂色方法；所以同时用上黑、绿两种颜色涂色有种不同涂法，D选项错误； 第一步：首先确定乙社区的人员安排，选法为：（种）， 第二步：剩余4名学生分为两组，均不为空： 第一类：分为2人、2人的两组，由于人数相同，分组时存在重复 （2025·浙江宁波·一模）甲、乙、丙三个社区开展活动，某中学派出五名学生参与活动，若每个社区都要有该校学生参与活动，且乙社区只需要一名该校学生参与活动，则不同的安排方式共有（    ） A．60种 B．70种 C．100种 D．120种 计数，需除以两组的排列数消除重复，分组方法数为：，将两组分配到甲、丙两个社区，分配方法数为（种），所以第一类方法数为（种）. 第二类：分为人、人的两组，由于人数不同，不存在重复计数， 分组方法数为：， 将两组分配到甲、丙两个社区，分配方法数为（种），所以第 二类方法数为（种）. 所以总的安排方法数为：（种）. 分两类：①A馆只安排甲，另外4个人分配在B，C两馆，第一种情况每馆2人，有种方法， 第二种情况B，C两馆分别为3人和1人，有种方法； （2026·湖南怀化·模拟预测）有含甲在内的5名记者分别去2026美加墨世界杯A，B，C三个场馆进行现场报道．若每个场馆至少安排一名记者，且甲必去A馆，则不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．30种 C．32种 D．50种 A馆安排2人以上，将4人分成三组，再分配到3个馆，有种． 不同的安排方法有种． 先分组，后分配。完全平均分组必须除以组数的阶乘消除分组重复；部分平均分组只对平均的那几组消序。 不平均分组直接组合选取不用除；分组完成后，若分给不同对象，需要再乘对象的全排列。 看清是“分组（无对象）”还是“分配（分给不同人）”，二者极易混淆。 若每个地区至少派送2名支教老师，则不同的分组方案为2人、4人或3人、3人：若是2人、4人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则共有种方法； （2025·浙江湖州·模拟预测）根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 若是3人、3人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则有种方法； 综上，共有 种方法. 将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务， 共有种方案，甲、乙在同一个场馆服务 （2025·四川广安·三模）为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 的分配方案有种方案，所以甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有种方案. 依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学，先分组再排列，5人分为：1，1，3，则有种； （2025·湖北黄石·二模）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（   ） A．60 B．90 C．150 D．240 5人分为：1，2，2，则有种， 所以一共有种方法 先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球，将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法． （2025·四川乐山·模拟预测）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 已知密码由个正整数组成，设四个数字分别为， 满足，且. 根据隔板法，解的个数为，共有种可能. （2026·河北廊坊·三模）已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）． 专门处理相同元素分给不同对象，每个对象至少分得一个的问题。个相同元素中间个空隙插入块隔板。 若允许对象分得0个，先补齐虚拟元素转化为至少1个标准模型再计算 这是相同元素分配问题．把10本书排成一列，中间有9个空隙，从中选2个空隙插入隔板，把书分成3份，每人至少1本．因此分法数为． （2026·山东聊城·二模）10本相同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，则不同分法共有________种． 6个相同的布娃娃排成一排，中间有5个间隙，要分给3位小朋友，且每位小朋友至少有一个布娃娃，则只需插入2块隔板，把它分成3份，每份至少1个，共有种. （2025·辽宁辽阳·二模）将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（ ） A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 根据题意，先将18个名额分配给一班、二班每班3个，三、四、五班每班1个，还剩下9个名额，将剩下的9个名额进行分组，每组至少一个名额，利用“隔板法”求解，9个元素间有8个间隔，要分成5组，8个间隔选4个插入隔板即可，则有分配方法 （2025·广东广州·二模）现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（   ） A．35种 B．70种 C．126种 D．210种 从 2，4，6中取出的2个数一共种， 情况一：四位数不含0，从0，1，3，5，7 中取出的2个数字不含0一共种，组成无重复四位数有种；情况二：四位数含0，从0，1，3， （2025·宁夏中卫·一模）从0，1，3，5，7中任取2个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_______个没有重复数字的四位数？（     ） A．72 B．108 C．540 D．648 5，7 中取出的2个数字含0一共种，0不能在首位一共种，则组成无重复四位数有种； 所以组成无重复四位数一共有种 由且，得只能取，对应为，共组合法的，因为集合，元素互异，故且，每组对应的可选值有种，数字为两个、一个、一个，存在重复元素，故每组可构成的不同四位数有种， （2026·甘肃平凉·二模）设，且，则由，，，可以构成不相同的四位数的个数为（   ） A． B． C． D． 所以总个数为，故C正确. 若不取0，则可以组成个没有重复数字的四位数； 若取0，则可以组成个没有重复数字的四位数， 于是可以组成个没有重复数字的四位数. （2025·四川自贡·二模）从中任取两个数字，从中任取两个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数． 当取出的卡片写有数字7的张数为1时，能组成个不同的四位数；当取出的卡片写有数字7的张数为2时，能组成个不同的四位数； （2025·吉林白城·模拟预测）现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（    ） A．60 B．72 C．84 D．120 则从中随机取出4张卡片，共可组成个不同的四位数. 设方格表为 由题意每行从左到右、每列从上到下数字递减，可知，，因此填入，且必须为三者最大值， 6 1 （2025·甘肃武威·模拟预测）将这个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为______. 6 1 剩余安排在，共种.剩余填入，需满足，，，从这个数中任选个放入，有种选法，余下两数由单调性唯一确定.由分步乘法计数原理，总填法数为. 解：参观路线分步完成：第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法；而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方 （2025·安徽安庆·一模）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成，根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. （2025·辽宁阜新·模拟预测）（多选）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（    ） A．31条 B．36条 C．210条 D．315条 设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为， 若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种； 若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种. 综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条. （2025·四川内江·模拟预测）（多选）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ） A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种 C．小明与小华能相遇的不同路径共有164 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以选择的不同路径共有种，故A正确； 对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C，小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为， 再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为，所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正 确；对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，则小明与小华相遇的点为正方形过点C的对角线上的四个点， 不同路径共有种，C正确； 对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，所以一共有400种， 则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确． （2025·山东淄博·一模）（多选）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地．下列结论正确的有（    ） A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有61条 C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有9条 由图可知，从A地出发去往B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，则不同的路径共有条． 若甲途经C地，则不同的路径共有条．若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有条． （2026·湖南长沙·一模）某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从A至B的路径条数有n条：若P、Q两处因故施工，不能通行，从A至B的路径条数有m条，则n，m分别为(    ) A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288 由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点A到任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，从A至B的路径条数如图所示：n=1552；P、Q两处因故施工，不能通行，P，Q点处的数记为0，算法不变，从A至B的路径条数如图所示：m=256. 从4双不同花色的袜子中，其中恰有2只花色相同， 先选1种花色，有种，再从剩余6个中选一只，有种， 所以共有（种）不同的选取方法. （2025·山东滨州·二模）数学人教B版2019选择性必修第二册）小明家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的取法种数为______ 在3双鞋子中任意抽取两只，共种情况，其中满足一双鞋子的情况有3种，故在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是. （2025·陕西西安·三模）在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是______. 先从四对双胞胎中选出一对，有种选择， 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择， 根据乘法原理，总共有种选法. （2026·山西长治·模拟预测）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种． 当恰好有2只能配成一双有：； 当恰好有4只能配成两双有：； 故共有种不同的取法. （2025·吉林通化·三模）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法． （2025·江苏南通·二模）“嘉游赣”是江西省总工会组织的，旨在提高全省职工生活品质、缓解工作压力的一项文旅活动.元旦期间，上饶某学校高二年级数学组有6位老师相约去了著名的国家5A景区——上饶市三清山景区观看雪景.神女峰前，白雪轻洒，神女犹如身披白色婚纱，寓意极好，于是大家提议拍合照留念.6人中恰好3对夫妻，故拍照时要求夫妻相邻，而非夫妻关系的老师同性别相邻，则共有（   ）种不同的排位方法. A．12 B．16 C．24 D．48 根据题意，整体的性别排列模式只有两种情况，情况一：三对夫妻的排列为“女男，男女，女男”，将三对夫妻安排进这三个位置，先选一对夫妻在中间有种，再选一对在左边有种，剩余一对在右边只有种，此时排位方法有 种；情况二：三对夫妻的排列为“男女，女男，男女”，同理，方法也有 种，所以共有 种不同的排位方法. 由题意可知，个元素圆桌环形排列的所有情况为，故所有的情况数是种， （2025·吉林吉林·一模）从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成新的三个元素，环排共有种， 又每个班两名同学可以排序，则有种，同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为. 因为10位男生全排列有种排法，因为是围成一圈，所以不分头尾，所以10位男生围成一圈有种，再把10位女生插入男生间的空隙中共有种方法，所以10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，不同的排列数为. （2025·河北张家口·模拟预测）10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________ 将10人排成1列，有种方法，安排第1人坐下，有10种可能性，但因是围着一张圆桌坐成一圈，第1人坐不同位置没有区别，则总排法数为：. （2025·吉林四平·模拟预测）某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法， 甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）. （2025·浙江温州·模拟预测）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为_____________. 因为站成一排时甲在乙左边与甲在乙右边的站法数相同，而m位同学站成一排有种站法，所以，解得，所以5位同学围成一个圆的站法种数为． （2025·广东汕头·二模）现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法种数为______（用数字作答）． 情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； （2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 B组已有{丁}，还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为.若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组，甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ，所以当甲、乙在B组时，方案数为 种.故所有分配方案共有种. 依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， （2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. （2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法. （2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， （2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ，故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为. 根据排列的定义，可知一共有5×4×3＝60种． 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_____． （1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上，共有种选法； 一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上. （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ （2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开， 则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法，3种书共有种排法， 共有种放法． (1)左边 右边， ∴结论成立，即； (2)当时，左边 右边， ∴结论成立，即. 求证：(1)；(2). 第一步选做第1题：选法有种，第二步选做第2题：选法有种， 第三步选做第3题：选法有种，所以一共有：种选法. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法. 班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛． (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？ （1）由题意可得每个小组有种选法， （2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，所以由分步乘法原理可得共有种选法，（3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有种选法 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法? (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ （1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法． （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内， 则在剩下的7人中任选2人，有种选法． （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内， 共有种选法． （4）如果4人中必须既有男生又有女生， 先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况， 故有种选法． 先排I，II，III共有种，IV有种 不同的着色方法数有种． 如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？ 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个人的“群”，其中人在平台上发了一条信息，“群”里除本人外有且只有人能看到，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？ 由题意可知：人中有人与发信息的人是好友，人与发信息的人不是好友，所以关系的情况可能种数为：种， 故“好友”关系的情况可能有种. $