精品解析：河南郑州市第八十中学2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试题

数学 一、选择题（本大题共10小题） 1. 在，π，0，，，0.2020020002……（每两个相邻2之间依次多一个0）中，无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如果将一个正方体的体积扩大为原来的n倍，则它的棱长变为原来的（ ） A. n倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根等于 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 点一定在第四象限 B. 点到轴的距离为 C. 若中，则点在轴上 D. 若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 6. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（ ） A. 5 B. 7.5 C. 10 D. 12.5 二、填空题（本大题共5小题） 10. 如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第2026次跳动至点对应的坐标是__________ 11. 在平面直角坐标系中，与点A（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是_____． 12. 如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 13. 若点 在轴上，则点在第________象限． 14. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 15. 如图，中，，，，，，，P是直线AC上一点，把沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上，求线段CP的长度________． 三、解答题（本大题共8小题） 16. 计算： （1） （2） 17. 按要求解题 （1）若，求的立方根； （2）若，求的值． 18. 有一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的x的值为36时，输出的________． （2）是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． （4）若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为和． （1）根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系； （2）画出关于y轴的对称图形； （3）判断的形状，并证明你的结论． 20. 如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 21. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 22. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： （1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，求两个村庄的距离； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站P，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式的最小值为________． ②代数式的最大值为________． 23. 定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，且，点C在x轴的正半轴上，且． （1）点A的坐标为________，点C的坐标为________； （2）若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． （3）若点P是直线和y轴的“等距点”，且点P在x轴上，则点P的坐标为________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本大题共10小题） 1. 在，π，0，，，0.2020020002……（每两个相邻2之间依次多一个0）中，无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：，0是整数，是分数，均为有理数， 是无限不循环小数，为无理数， 是开方开不尽的数，为无理数， 0.2020020002……（每两个相邻2之间依次多一个0）是无限不循环小数，为无理数 综上，无理数共3个． 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 选项中只有满足， 因此，实数的值可以是． 3. 如果将一个正方体的体积扩大为原来的n倍，则它的棱长变为原来的（ ） A. n倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，推导体积变化后棱长的倍数关系即可求解． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设体积扩大为原来的倍后，新正方体的棱长为， ∵ 扩大后的体积为，且， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根等于 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 点一定在第四象限 B. 点到轴的距离为 C. 若中，则点在轴上 D. 若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可判断点A的横纵坐标的符号，据此可判断A；点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可判断B；根据题意可得或，据此可判断C；平行于轴的直线上的点的横坐标相同，再结合点B在第一象限和求出点B的坐标，即可判断D． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴，， ∴ 点横坐标为正，纵坐标为负，即点A在第四象限，原说法正确； B选项： 点到轴的距离为，原说法正确； C选项： ∵， ∴或， ∴点在轴或轴上，并非一定在轴上，原说法错误； D选项： ∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵点在第一象限，， ∴点的纵坐标为，即，说法正确． 6. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出． 因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵面积为7的正方形边长为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， ∴点表示的数为， 故选：B． 7. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为尺，根据题意可得尺，利用勾股定理即可得出方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺， ∵秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步后，踏板升高到离地尺， ∴尺， ∵， ∴可列方程为． 8. 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 9. 如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（ ） A. 5 B. 7.5 C. 10 D. 12.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题（本大题共5小题） 10. 如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第2026次跳动至点对应的坐标是__________ 【答案】 【解析】 【分析】通过计算前几次跳动后点的坐标，发现每4次跳动为一个循环组，每组横坐标增加3，纵坐标增加2.利用的商和余数，结合初始点或第2次跳动后的点坐标进行计算即可． 【详解】解：由题意及图形可知，点的跳动规律如下： 第1次跳动至点，横坐标加1，纵坐标不变； 第2次跳动至点，横坐标不变，纵坐标加3； 第3次跳动至点，横坐标加2，纵坐标不变； 第4次跳动至点，横坐标不变，纵坐标减1； 第5次跳动至点，横坐标加1，纵坐标不变； 第6次跳动至点，横坐标不变，纵坐标加3； 每4次跳动为一个循环组，一个循环组内横坐标增加，纵坐标增加 点的坐标可由点的坐标经过506个循环组得到 点的横坐标为，点的纵坐标为 点对应的坐标是． 11. 在平面直角坐标系中，与点A（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是_____． 【答案】（-5，-1）． 【解析】 【分析】考查平面直角坐标系点的对称性质． 【详解】解：点A（m，n）关于y轴对称点的坐标A′（-m，n） ∴点A（5，-1）关于y轴对称的点的坐标为（-5，-1）． 故答案为：（-5，-1）． 【点睛】此题考查平面直角坐标系点对称的应用． 12. 如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 13. 若点 在轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0求出n的值，得到点B的坐标后，根据象限坐标特征判断点B所在象限. 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 将代入点的坐标，得， ∵点的横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限. 14. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 15. 如图，中，，，，，，，P是直线AC上一点，把沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上，求线段CP的长度________． 【答案】或10 【解析】 【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1， 由折叠性质得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则，， ∵， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2， 由折叠知，， ∴， 设，则，， ∵ ， ∴， 解得，， 即； 综上，或10． 三、解答题（本大题共8小题） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 按要求解题 （1）若，求的立方根； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 18. 有一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的x的值为36时，输出的________． （2）是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． （4）若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 【答案】（1） （2）存在；0与1 （3）输入的数据是负数；因为负数没有算术平方根． （4）2与4 【解析】 【分析】（1）按照数值转换器的程序进行计算即可； （2）根据0与1的算术平方根是它本身的特点即可完成； （3）根据负数没有平方根的性质即可说明； （4）根据开平方与算术平方根是互逆的运算即可完成． 【小问1详解】 解：36的算术平方根为6，是有理数，6的算术平方根是，而是无理数，输出结果为； 【小问2详解】 解：由于0与1的算术平方根是它本身，无论多少次开算术平方根，其结果始终是它本身，故存在数0与1，始终输不出y的值； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：若，则，，，……， 即2与4是输入的最小的2个不同x的值，输出的数都是． 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为和． （1）根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系； （2）画出关于y轴的对称图形； （3）判断的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示： （2）如图，即为所求； （3） 是直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，其中． 【解析】 【分析】此题考查点的坐标、轴对称的作图、勾股定理及其逆定理的应用，正确作图是关键． （1）根据已知点的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）找到关于y轴的对称点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出三边的长度，再用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】（1）海里 （2）本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【解析】 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． 【小问2详解】 解：本次航行符合安全标准，理由略 21. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】（1） （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； 【小问3详解】 解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 22. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： （1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，求两个村庄的距离； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站P，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式的最小值为________． ②代数式的最大值为________． 【答案】（1）千米 （2）千米 （3）①；②10． 【解析】 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是长方形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． 【小问2详解】 解：由题意可知， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． 【小问3详解】 解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点， 则四边形是长方形，，； ∵点、点关于对称， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作于点，连接， 则四边形是长方形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 23. 定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，且，点C在x轴的正半轴上，且． （1）点A的坐标为________，点C的坐标为________； （2）若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． （3）若点P是直线和y轴的“等距点”，且点P在x轴上，则点P的坐标为________________． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标求出的长，得到点A的坐标，利用勾股定理求出的长，得到点C的坐标； （2）根据三角形的面积公式得到，据此求出的长即可得到答案； （3）设点P的坐标为，则点P到y轴的距离为，根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点A在y轴正半轴上， ∴点A的坐标为； ∵，， ∴， 又∵点C在x轴的正半轴上， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 ，解：∵点P在x轴上，的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵点B的坐标为， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则点P到y轴的距离为， ∵点P是直线和y轴的“等距点”， ∴点P到直线的距离为， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $