精品解析：河南郑州高新区朗悦慧外国语中学2026-2027学年上学期八年级数学课后练习一

2026－2027学年上学期八年级数学学科课后练习一 时长：90分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，1，2 B. C. D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，不是勾股数． B、C．选项中的数不全是正整数，不是勾股数． D．，是勾股数． 2. 是一个数学函数，它表示自然常数的指数次幂．其中自然常数是一个无理数，则在下列实数中，（ ）也是无理数． A. B. C. D. （每两个3之间有一个0） 【答案】A 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数的定义判断各选项是否为无理数． 【详解】解：∵，是分数，（每两个3之间有一个0）是无限循环小数， ∴这三个数都是有理数， ∵是无理数， ∴是无理数． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，，均不是最简二次根式． 是最简二次根式． 4. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得出的长，最后根据点的坐标及点的位置求出点表示的数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为和， ， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点 ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点表示的数为． 5. 如图，为了加固一个高2米、宽4米的大门，需在相对角的顶点间加一根木条．请你估算这根木条的长度应该在（ ）两个连续整数之间． A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出木条长度的平方，再根据算术平方根的估算方法确定其取值范围． 【详解】解：设这根木条的长度为米． 由勾股定理得． ， 即． ． 6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义，大正方形的面积等于正方形、、、的面积之和． 【详解】解：设正方形的面积为，根据勾股定理的几何意义，正方形与下方的正方形面积为， 正方形与下方的正方形面积为， ∵最大正方形的面积等于其上方两个正方形面积之和，， 即 ， 解得． 7. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，化简二次根式得到结果． 【详解】解：将代入，得， 即鸡蛋落到地面所用的时间是． 8. 若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围，再结合最简二次根式的定义，从最小的整数开始验证，找到满足条件的最小n． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴n的最小整数值为3， 当时，，的被开方数1是能开得尽方的数，不是最简二次根式， 当时，，的被开方数3不含能开得尽方的因数，是最简二次根式， ∴n的最小值为4． 9. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是． 10. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个数的平方根是2027，则它的另一个平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，其中一个平方根是， ∴它的另一个平方根是． 12. 若在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的实数_____． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】二次根式的被开方数大于等于时，二次根式在实数范围内有意义，据此求出的取值范围，任取一个范围内的值即可. 【详解】解：由题意得， 解得， 故任意小于等于的实数都符合条件，可以取，答案不唯一 13. 《算法统宗》中有一道田地计算题：一块长方形田地，长为16步，宽与对角线长度之和为32步，则这块田地的宽为_____步． 【答案】 【解析】 【分析】设宽为步，根据宽与对角线的和得到对角线的表达式，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这块长方形田地的宽为步，则对角线的长为步， ∵长方形的内角为直角， ∴由勾股定理可得： 整理得 解得， ∴这块田地的宽为步． 14. _____2．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】估算的范围，推导得到的取值范围，再和比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，在中，，，，点是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点，当为直角三角形时，_____． 【答案】或 【解析】 【分析】当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；当时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 情况1：当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 情况2：当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图，把两个全等的直角和按图放置，已知． （1）请用含的式子表示下列图形的面积： _____（用含的代数式表示）： _____（用含的代数式表示）； _____（用仅含的代数式表示）； （2）根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． 【答案】（1）；；； （2）证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意利用梯形，三角形的面积公式表示即可，四边形的面积可表示成，再用三角形的面积公式进行变形即可； （2）根据，把（1）中的代数式代入进行化简即可证明． 【小问1详解】 解：，， ； ，， ， ； ，， 【小问2详解】 略． 18. 已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， （1）求a，b，c的值 （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可； （2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，∴，∴； ∵，∴，∵，∴； ∵，∴； 【小问2详解】 把：代入得： ， ∵， ∴的平方根是：． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键． 19. 阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方可得证． 根据以上材料，解决以下问题： （1）补全小明的证明过程． （2）若和为两个相邻整数，则的值是_____． （3）若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】（1）证明：∵和为相邻的两个整数，且， ∴， 移项得， 两边同时平方，得， 即， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对两边平方展开，整理即可证明结论． （2）利用（1）的结论，代入两被开方数的差求解． （3）根据两平方根相差4的关系列等式，平方后消去求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和为相邻整数，， ∴由（1）的结论得， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵和为相差4的整数，， ∴， 移项得， 两边平方得， 整理得， 解得， ∴． 20. 我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； （1）数对的“衍生数对”是_____； （2）若数对的“衍生数对”是，求的值； （3）若数对的“衍生数对”是，已知，且，求值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“衍生数对”的定义求解即可； （2）根据“衍生数对”的定义可得，据此可得答案； （3）根据“衍生数对”的定义可得，，据此求出m、n的值，则可求出b的值． 【小问1详解】 解：由题意得，数对的“衍生数对”是，即； 【小问2详解】 解：∵数对的“衍生数对”是， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵数对的“衍生数对”是，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． （1）村庄会受水雾影响吗？为什么？ （2）若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1）会受影响，理由如下： 过点作于点， 根据题意可知，，， ，， ， ， ， ， ， 村庄会受水雾影响． （2）分钟． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形面积的两种求法求出，作比较即可解答； （2）设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响，先利用勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一求出，即可求出受影响的时间． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响， 则， 在中，由勾股定理可得， ， ， （分钟） 答：洒水车水雾影响该村庄持续的时间有分钟． 22. 定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为_____； （2）如图2，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点； （3）如图3，已知点在线段上，且，点在上，且是线段的勾股分割点，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论； （3）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期八年级数学学科课后练习一 时长：90分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，1，2 B. C. D. 8，15，17 2. 是一个数学函数，它表示自然常数的指数次幂．其中自然常数是一个无理数，则在下列实数中，（ ）也是无理数． A. B. C. D. （每两个3之间有一个0） 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了加固一个高2米、宽4米的大门，需在相对角的顶点间加一根木条．请你估算这根木条的长度应该在（ ）两个连续整数之间． A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（ ） A. B. C. D. 8. 若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个数的平方根是2027，则它的另一个平方根是_____． 12. 若在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的实数_____． 13. 《算法统宗》中有一道田地计算题：一块长方形田地，长为16步，宽与对角线长度之和为32步，则这块田地的宽为_____步． 14. _____2．（填“”“”或“”） 15. 如图，在中，，，，点是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点，当为直角三角形时，_____． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图，把两个全等的直角和按图放置，已知． （1）请用含的式子表示下列图形的面积： _____（用含的代数式表示）： _____（用含的代数式表示）； _____（用仅含的代数式表示）； （2）根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． 18. 已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， （1）求a，b，c的值 （2）求的平方根． 19. 阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方可得证． 根据以上材料，解决以下问题： （1）补全小明的证明过程． （2）若和为两个相邻整数，则的值是_____． （3）若和为相差4的两个整数，求的值． 20. 我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； （1）数对的“衍生数对”是_____； （2）若数对的“衍生数对”是，求的值； （3）若数对的“衍生数对”是，已知，且，求值． 21. 如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． （1）村庄会受水雾影响吗？为什么？ （2）若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 22. 定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为_____； （2）如图2，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点； （3）如图3，已知点在线段上，且，点在上，且是线段的勾股分割点，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $