河南省信阳市浉河区信阳高级中学2026-2027学年高三上学期9月测试（一）数学试题

**基本信息** 本试卷以函数与不等式为核心，通过单选、多选、填空、解答题的梯度设计，综合考查抽象能力、推理能力和运算能力，适合高三月考复习巩固，体现数学思维与问题解决的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数值域、不等式解集、最值|结合函数性质与不等式求解，考查数学思维| |多选题|3/18|最值问题、命题真假判断|多选项设计，区分不同推理能力层次| |填空题|3/15|函数图像、最值|跨知识点综合，考查数学眼光| |解答题|5/77|函数性质、不等式证明|分层设问（如15题三问），综合考查数学语言表达与问题解决能力|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学试题 命题人：熊成兵 审题人：朱新凤 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 7．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，，命题“，恒成立”是假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 10．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 11．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为_______． 13．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 14．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 16．（15分）已知实数，，，，满足，． (1)判断的正负，并证明； (2)若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 17．（15分）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 18．（17分）已知函数（其中为常数，且）. (1)若是奇函数，求实数的值； (2)在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 19．（17分）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B B A A B A AC ACD AD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．2 14． 15．（1） （2）①；②；③. 【分析】（1）令，代入表达式中结合余弦二倍角公式，辅助角公式即可求解； （2）①结合已知条件，利用基本不等式先求解的最大值，即可得出的最大值；②将代入中化简，利用基本不等式求解即可；③由，得且，代入式子化简得，令，得出，代入化简后的式子，根据所给条件利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，令， 所以 ， 其中，所以当时，有最大值， 所以的最大值为：，即的最大值为. （2）①因为，所以， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. ②因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. ③因为，所以，， 所以 ， 令，由，则，此时， 所以原式化为 因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最大值为. 16．(1)依题意得，. 方法一（最优解）：韦达定理应用， 变形结构，显然， 由韦达定理，可知，和是一元二次方程的两个根． 其中， 所以为非负数； 方法二：由已知，可用表达，， ， 所以为非负数. (2)不可以． 【分析】（1）方法一，利用韦达定理可得和是一元二次方程的两个根，利用根的判别式得到； 方法二：由已知，可用表达，并得到； （2）若都为整数，其可能的情况有都为奇数和其中至少有一个为偶数，就两种情况，分别推出矛盾，故、不能都为整数. 【详解】（1）略 （2）若都为整数， 其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数． ①若、都为奇数，则为偶数，为奇数， 则为偶数，与已知矛盾． ②若、为整数，且其中至少有一个为偶数， 则必为偶数，为偶数，与已知矛盾． 因此，，不可能都为整数． 17．(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果； （3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）当时，； 令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析． 18．(1) (2)在上单调递减；时，解集为；时，解集为或；时，解集为或. 【分析】奇函数条件，化简得到恒等式，求出； （2）利用奇函数性质移项，结合在R上单调递减，脱去f转化为二次不等式，再分类讨论两根大小. 【详解】（1）因为为奇函数，有，即， 即，所以，所以. （2）当时，， 当时，令， 函数是增函数，函数是增函数， 故是增函数，又在定义域上是减函数， 所以函数在上是减函数， 又因为函数图象是连续的，所以在R上单调递减， 不等式等价于， 由单调性可得，，， 时,，解集为， 时,，解集为或， 时,，解集为或. 19．(1)证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. (2)比更接近于； (3)，理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近. 【分析】（1）利用两个数与的差的符号异号即可证明夹在两数之间；（2）根据题目的定义，等价于两式作商，去掉绝对值比较，判断绝对值的大小关系，绝对值更小的那个数就更接近于即可；（3）参考第（1）问的构造思路，仿照的分式构造形式，再构造一个新的正有理分式；计算它与差的绝对值，证明这个绝对值比第（2）问得到的更小，即可满足更接近的条件. 【详解】（1）略 （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于； （3）略 $