精品解析：江苏江阴市石庄中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次课堂练习

2026-2027学年第一学期八年级数学课堂练习 （一） 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项是整数； C选项是有限小数，D选项是分数，均为有理数； B选项是无理数． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义，进行计算即可解答，掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，5cm B. 3cm，3cm，6cm C. 2cm，5cm，8cm D. 4cm，5cm，6cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可． 【详解】解：A、2＋3＝5，不能构成三角形； B、3＋3＝6，不能构成三角形； C、2＋5＜8，不能构成三角形； D、4＋5＞6，能构成三角形． 故选：D． 【点睛】考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 4. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 5. 如图，在 中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了钝角三角形的高，根据过顶点作对边的高的方法即可判定． 【详解】解：根据图示可得，边上的高是， 故选：A ． 6. 如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 7. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，含角平分线的三角形的内角和问题．由作图痕迹可知，是线段的中垂线，是的角平分线，根据中垂线的性质以及角平分线平分角，结合三角形的内角和是，进行求解即可． 【详解】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接， ，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝，∠DAE＝，即可得出∠CAE＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝＝90°−． 【详解】解：如图，连接，，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上， ∴AC垂直平分， ∴AB＝， ∴∠BAC＝∠， ∵AB＝AD， ∴AD＝， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠， ∴∠CAE＝∠BAD＝α， 又∵＝＝90°， ∴四边形中， ＝180°−α， ∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α， ∴∠ACB＝＝90°−α， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判断①；在上取一点N，使，证得，得到，再证得，得到，进而判断②正确；作于H，于M，根据三角形的面积可证得③错误． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴， ， 故①正确． ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点N，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故②正确． 作于H，于M， ∵和的平分线，相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴． 故③错误． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，均为正数且，， ∴ 故答案为：<． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于先平方后比较大小． 12. 一个正数的平方根分别是和，则__． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得． 【详解】根据题意可得：x+1+x﹣5=0， 解得：x=2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 13. 已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和7， ∴第三边长x的取值范围是：， 即：， 故答案为：． 14. 若，则的立方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 15. 如图，在中，以B为圆心，为半径画弧，交于点D．若，，则________°． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理和内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的外角定理． 由题意可得，，那么，，然后设，根据三角形的外角定理表示出，最后对运用三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】解：由作图得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 17. 如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】连接，，由垂直平分线的性质可得，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：连接，， 是线段的垂直平分线，点在线段上， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，，， ，， ， ， 周长， 周长的最小值为7． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义，有理数的乘方计算即可求出值； （2）根据平方根、立方根定义，计算即可求出值 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 20. 求下列各式中的的值： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：整理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或． 21. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 【答案】 证明：因为AE＝BF， 所以，AE＋EF＝BF＋EF， 即AF＝BE， 在△ADF和△BCE中， 所以，． 【解析】 【分析】先将AE=BF转化为AF＝BE，再利用SAS证明两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】用SAS证明两三角形全等． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一个点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点为所求作的点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，作的平分线交于D，则点D即为所求； （2）解法一：根据角平分线定义和等腰三角形的性质得到．然后利用三角形的内角和定理求得．再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； 解法二：过点作，交于点，利用角平分线的性质定理得到，证明得到，再利用等腰三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由（1）得，点到的距离等于， 平分，即． ， ． ， ， ． ， ； 解法二：过点作，交于点， 由（1）得，到的距离等于， 即， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 即的长为6． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、角平分线的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） （1）在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； （2）在图中找一点O，使得； （3）在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2）如图，点即为所求． （3） 点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识； （1）取格点，，作直线交于点，由作图可知垂直平分，则点即为所求； （2）三边垂直平分线的交点，即为所求． （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解；根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 24. 如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． （2）3 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 25. 如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2）； （3）当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 26. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【答案】【问题情境】； 【类比解答】； 【拓展延伸】（1）， 证明：如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】问题情境：根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 拓展延伸：（1）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论；（2）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（1）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】解：问题情境： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 故答案为：； 类比解答： 延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； 拓展延伸： （1）略 （2）如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级数学课堂练习 （一） 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，5cm B. 3cm，3cm，6cm C. 2cm，5cm，8cm D. 4cm，5cm，6cm 4. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 如图，在 中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 8. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12. 一个正数的平方根分别是和，则__． 13. 已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是_____． 14. 若，则的立方根是_____． 15. 如图，在中，以B为圆心，为半径画弧，交于点D．若，，则________°． 16. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 17. 如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 18. 如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下列各式中的的值： （1）； （2）； 21. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一个点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 23. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） （1）在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； （2）在图中找一点O，使得； （3）在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 24. 如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的面积． 25. 如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 26. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $