2026-2027学年苏科版八年级数学上册第四滚动练习（含解析）

2026-2027学年第一学期初二数学（2024版）第四滚动练习 一．选择题（共8小题） 1．下列各图中，正确画出△ABC的AB边上的高的是（　　） A．B．C．D． 2．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B．C． D． 3．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，将格点△ABC（顶点在小正方形的顶点上）分别作下列三种变换： ①先以点A为中心顺时针旋转90°，再向右平移4格，最后向上平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针旋转90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，最后以点A的对应点为中心顺时针旋转90°． 其中，能将△ABC变换成△PQR的种数是（　　） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 第3题第4题 4．如图，是两个能完全重合的三角形．点A对应点A′，点B对应点B'，点C对应点C′，且BC和B'C'在同一条直线上．我们知道△A'B'C'可由△ABC经过1次平移得到，那么△A'B'C'还可以看作是由△ABC经过怎样的图形变换得到呢？下列结论：①1次轴对称；②2次旋转；③2次轴对称；④1次旋转和1次轴对称．其中，正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 5．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 第5题第6题 6．如图，∠MON＝90°，△ABC关于OM的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于ON的对称图形是△A2B2C2，则下列说法正确的是（　　） A．△A2B2C2可以由△ABC通过平移得到； B．△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称； C．△ABC与△A2B2C2关于∠MON的平分线成轴对称；D．△ABC与△A2B2C2关于直线ON成轴对称。 7．如图，△A′B′C′是由△ABC经过轴对称得到的，△A′B'C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 第7题第8题 8．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等；②AD（AB+AC）；③若点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接PB，PC，则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP＝DQ，连接PB，QC，则PB∥QC．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 二．填空题（共8小题） 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 ________ ． 第9题第10题 10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝5，EF＝2，则△AEF的周长是_____ ． 11．等腰三角形的顶角是70°，则其底角是________ ． 12．如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°．∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD．那么∠ACD的度数是 ________ ． 第12题第13题第14题 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 _____ ． 14．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 _____ ． 15．如图，已知△ABC，分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，其中∠BAE＝∠CAD＝90°，连接CE、BD，若DC与BC在同一直线上，延长DA与CE交于点F，连接BF并延长，BF的延长线与边AE交于点G，且AF＝AG，若△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABG的面积为6，则线段EG的长为_____ ． 第15题第16题 16．☆☆如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝10，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），将△ADC沿AD翻折，点C的对应点是点C'．若以B、C、C'为顶点的三角形是直角三角形，则BD的长度为____________________ ． 三．解答题（共11小题） 17．先阅读下面材料，再回答问题： 如图甲，把△ABC沿BC所在的直线平行移动，可以变到△ECD的位置； 如图乙，以BC为轴把△ABC翻转180°，可以变到△DBC的位置； 如图丙，以点A为中心，把△ABC旋转一定的度数（如180°），可以变到△AED的位置． 像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，且△ABE≌△ADF． （1）指出图中线段BE与DF之间的大小关系，AF与AD之间的等量关系． （2）在图中，若将BE延长交DF于点H，则BH垂直于DF吗？请说明理由． （3）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF？ 18．如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，AD平分∠BAC； （1）求证：BE＝CF； （2）已知AC＝20，BE＝4，DF＝8，求四边形ABDC的面积． 20．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）当∠BCD＝ ________ °时，△BED是等边三角形； （3）当∠ADE+∠ABE＝45°时，若BD＝5，取BD中点F，求EF的长． 21．CD是经过∠BCA顶点C的直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面三个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则∠BCE _____ ∠CAF，BE _____ CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；并证明这两个结论． ②如图2，若∠BCA＝80°，要使∠BCE与∠CAF有①中的结论，则∠α＝ _________ ． ③如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 _________________ 使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 22．如图，等边△ABC中，过点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP＝α（30°＜α＜45°），点B与点E关于射线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C、E两点的直线交射线AP于点F，连接BF． （1）当α＝40°时，求∠BEF的度数； （2）求证：AF＝BF+CF； （3）如图2，点M为射线AP上的一动点，过点M作MN⊥AB于点N，连接BM，当BM+MN的值最小时，请直接写出∠AMB的大小（用含α的代数式表示）． 23．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD＝30°时，证明：△APD是直角三角形； （2）若QB＝BD，AE＝1，则AD＝_____ ； （3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由． 24．☆☆已知，如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，动点P在直线AB上，过点C作CQ⊥PC，且CQ＝PC，连接PQ，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝3，，则：AB＝________________ ，PB＝________________ ，PQ＝________________ ； （2）如图②，若点P在AB的延长线上，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系，并请你给出证明过程； （3）若动点满足PA：PB＝5：3，求PC：AC的值． 25．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． （1）证明：MN⊥BD； （2）若∠BAD＝60°，AC＝8，求MN的长． 26．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是边BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADB′． （1）直接写出AD与BB′的位置关系：___________ ； （2）如图①，当∠BAD＝40°时，求证：△ADB′≌△AFC； （3）在点D运动过程中，直线B′D与直线AC相交于点E，连接B′C，当B′C＝AB＝5时，求线段EC长度． 27．如图1，等边三角形△ABC的边长为18，点M是AC边上一动点，由点A向点C方向运动（点M不与点A，C重合），点N是CB延长线上一点，由点B向CB延长线方向运动（点N不与点B重合），点M与点N同时以相同的速度出发，连接MN交AB于点D． （1）当∠CNM＝30°时，AM＝_____ ； （2）求证：在运动过程中，点D是线段MN的中点； （3）如图2，过点M作ME⊥AB于点E，在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由； （4）如图3，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得线段MF，连接FA，当FA取最小值时，则BN为_____ ． ∴PB∥QC，故本选项正确．故选B． 【点评】本题考查了三角形的面积、平行线的判定，作出适当辅助线是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°， ∵AB＝2AC，∴CA＝CD，∵CA＝CE，∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED（180°﹣30°）＝75°．故答案为：75°． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 10．【解答】解：∵AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D，E，∴EA＝EB， ∵AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，∴FA＝FC，∵BC＝5，EF＝2，∴△AEF的周长＝AF+EF+AE＝CF+EF+BE＝CE+EF+EF+BE＝BC+2EF＝9故答案为：9． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 11．【解答】解：∵等腰三角形的顶角是70°，∴底角（180°﹣70°）＝55°．故答案为：55°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，是基础题，主要利用了两底角相等的性质． 12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°， ∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键． 13．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长等于16， ∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝16， ∵AB＝10，∴BC＝16﹣10＝6，故答案为：6． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长＝AC+BC是解题的关键． 14．【解答】解：∵BE＝CE，∴BEBC，∵S△ABC＝6，∴S△AECS△ABC6＝3． ∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△ACDS△ABC＝4， ∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，即S1﹣S2的值为1． 【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记． 15．【解答】解：∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴AB＝AE，AC＝AD，∵∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，∴∠CAE＝∠BAD， 在△CAE和△DAB中， ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∵△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABE和△ACD均为等腰直角三角形， ∴AB2+AC2＝40，∠ACD＝∠D＝45°，∠BAE＝∠CAD＝90°，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠CAF＝180°﹣90°＝90°，∵△CAE≌△DAB，∴∠ACE＝∠D＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴∠CFD＝90°﹣∠D＝45°，∴∠CFD＝∠ACE， ∴AF＝AC，∵AF＝AG，∴AG＝AC，∵△ABG面积为6，∠BAG＝90°，∴AB•AG＝6，即AB•AG＝12， ∴AB•AC＝12，∴（AB+AC）2＝AB2+AC2+2AB•AC＝40+24＝64，∵AB+AC＞0，∴AB+AC＝8， ∵（AB﹣AC）2＝AB2+AC2﹣2AB•AC＝40﹣24＝16，∴|AB﹣AC|＝4， ∵∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴∠ACB＞∠ABC，∴AB＞AC，∴AB﹣AC＝4，∴AB＝6，AC＝2， ∴AE＝6，AG＝2，∴EG＝AE﹣AG＝6﹣2＝4．故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝10，设BD＝x，则CD＝6﹣x， ∵将△ADC沿AD翻折，点C的对应点是点C'．∴C′D＝CD＝6﹣x，AC′＝AC＝10． 以B、C、C'为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当∠C′BC＝90°时，如图1，过C′作C′E⊥AC于E，连接C′D，AC′， ∵∠C′BC＝90°，∠ACB＝90°，∴四边形BCEC′是矩形，∴C'E＝BC＝6，CE＝BC'， 在Rt△AEC′中，由勾股定理得：， ∴CE＝AC﹣AE＝2，即BC′＝2，在Rt△BC′D中，由勾股定理x2+22＝（6﹣x）2，解得． ②当∠BC′C＝90°时，如图2，∵C′D＝CD，∴∠C'CD＝∠CC'D， ∵∠BC′C＝90°，∠C'CD+∠C'CB＝90°，∠BC′D+∠CC′D＝90°， ∴∠CBC′＝∠BC′D，∴C′D＝BD，又∵C′D＝CD，∴． 综上所述，BD的长度为或3．故答案为：或3． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：（1）BE＝FD，AFAD，理由如下： ∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，AF＝AE．∵E是AD的中点，∴AEAD，∴AFAD； （2）BE⊥DF，理由如下： ∵△ABE≌△ADF，∴∠ABE＝∠ADF．∵∠ADF+∠F＝90°，∴∠ABE+∠F＝90°， ∴∠BHF＝90°，∴BE⊥DF； （3）由三角形全等变换的定义可知，△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°到△ADF的位置． 【点评】此题考查的是全等三角形的性质、旋转的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 18．【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1，又∵∠1＝∠2，∠2＝40°，∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C，∴EC＝ED，由（1）知∠AEB＝∠1，又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED，即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS）． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF； （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFA＝90°， 22．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵点B与点E关于射线AP对称，∴AB＝AE，∠EAP＝∠BAP＝40°， ∴∠BAE＝2∠BAP＝80°，∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝20°， ∴AC＝AE，∠AEB＝∠ABE， ∴∠AEC＝∠ACE80°， ∴∠BEF＝∠AEC﹣∠AEB＝80°﹣50°＝30°； （2）证明：如图1，延长BF至G，使FG＝CF，连接CG， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵点B与点E关于射线AP对称，∴AB＝AE，∠EAP＝∠BAP＝40°，BF＝EF，AF⊥BE， ∴∠BAE＝2∠BAP＝2α，∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝2α﹣60°，∠EBF＝∠BEF， ∴∠AEB＝∠ABE，AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE120°﹣α， ∴∠BEF＝∠AEC﹣∠AEB＝（120﹣α）﹣（90°﹣α）＝30°，∴∠EBF＝30°， ∴∠AFB＝90°﹣∠EBF＝60°，∴∠ACB＝∠AFB，△CFG是等边三角形， ∴CF＝CG，∠G＝60°，∴∠G＝∠AFC＝60°，设AF，BC交于点O， ∵∠AOC＝∠BOF，∴∠CBF＝∠CAF，∴△BCG≌△AFC（AAS），∴AF＝BG＝BF+FG＝BF+CF； （3）解：如图2，作EN⊥AB于N，交AF于M，连接BM，则MB+MN最小， ∴∠ANE＝90°，∴∠AEN＝90°﹣∠BAE＝90°﹣2α， ∵∠ADE＝90°，∠EAF＝α，∴∠AEB＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，∴∠MEB＝∠AEB﹣∠AEN＝α， ∵AF是BE的垂直平分线，∴BM＝EM，∴∠MBE＝∠MEB＝α， ∴∠AMB＝∠ADB+∠MBE＝90°+α． 【点评】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 23．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝CA＝a， ∵∠ABC＝∠BQD+∠BDQ，∠BQD＝30°，∴∠BDQ＝30°，∴∠BDQ＝∠ADP＝30°， ∴∠A+∠ADP＝90°，∴∠APD＝90°，∴△APD是直角三角形； （2）解：∵QB＝BD，∴∠BQD＝∠BDQ，∵∠ABC＝∠BQD+∠BDQ， ∴∠BDQ＝∠BQD＝30°，∴∠BDQ＝∠ADP＝30°，∴∠A+∠ADP＝90°， ∴∠APD＝90°，∴△APD是直角三角形；∴AD＝2AP， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵PE⊥AB，∴∠APE＝30°，∴AP＝2AE，∴AD＝4AE，∵AE＝1，∴AD＝4，故答案为：4； （3）解：线段ED的长不会发生变化，且，理由如下： ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵PE⊥AB，∴∠APE＝30°，∴AP＝2AE，设AP＝QB＝2x，则AE＝x， 过点P作PF∥BC交AB于点F，∴∠APF＝∠ACB＝60°，∠AFP＝∠ABC＝60°， ∴△APF是等边三角形，∴AF＝PF＝AP＝2x，∴AE＝EF＝x，∴BF＝AB﹣AE﹣EF＝a﹣2x， ∵QB＝AP，∴QB＝PF，∵PF∥BC，∴∠DPF＝∠DQB， 在△DPF和△DQB中，∵，∴△DPF≌△DQB（AAS），∴， ∴，故线段ED的长不会发生变化，且为． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第23题图1第24题图2 24．【解答】解：（1）∵AC＝3，BC＝AC，∠BCA＝90°，∴， ∵，∴．∵QC＝PC，∠BCA＝∠QCP＝90°，BC＝AC， ∴∠CAB＝∠CBA＝∠CPQ＝∠CQP＝45°，∠PCA＝90°﹣∠PCB＝∠QCB， ∵，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，， ∴∠ABC+∠CBQ＝90°，∴∠PBQ＝90°，∴，故答案为：； （2）PQ2＝BP2+PA2，理由如下： ∵QC＝PC，∠BCA＝∠QCP＝90°，BC＝AC， ∴∠CAB＝∠CBA＝∠CPQ＝∠CQP＝45°，∠ACB+∠BCP＝∠PCQ+∠BCP，∴∠ACP＝BCQ， ∵，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，PA＝QB， ∴∠ABC+∠CBQ＝90°，∴∠PBQ＝90°，∴PQ2＝BP2+BQ2，∴PQ2＝BP2+PA2． （3）当点P在AB的延长线上时，∵PA：PB＝5：3， 不妨设PA＝5x，PB＝3x， 则AB＝PA﹣PB＝5x﹣3x＝2x，∵BC＝AC，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2＝2AC2， ∴4x2＝2AC2，∴，（舍去），根据（2）证明，得△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，PA＝QB，∴∠ABC+∠CBQ＝90°，∴∠PBQ＝90°，∴PQ2＝BP2+BQ2， ∴PQ2＝BP2+PA2，∴PQ2＝9x2+25x2＝34x2，∴，（舍去）， ∵∠QCP＝90°，QC＝PC，∴PQ2＝PC2+QC2＝2PC2，∴，∴， ∴； 图3 图4 当点P在AB上时，∵PA：PB＝5：3， 不妨设PA＝5x，PB＝3x，则AB＝PA+PB＝5x+3x＝8x， ∵BC＝AC，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2＝2AC2，∴64x2＝2AC2， ∴，（舍去）， 根据（2）证明，得△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，PA＝QB， ∴∠ABC+∠CBQ＝90°，∴∠PBQ＝90°，∴PQ2＝BP2+BQ2，∴PQ2＝BP2+PA2， ∴PQ2＝9x2+25x2＝34x2，∴，（舍去）， ∵∠QCP＝90°，QC＝PC，∴PQ2＝PC2+QC2＝2PC2，∴， ∴，∴； 当点P在AB的反向延长线上时，不成立；综上所述，的值为或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25．【解答】（1）证明：连接BM、DM，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC，BD的中点， ∴，∵N是BD中点，∴MN⊥BD； （2）解：∵AC＝8，∴由（1）可得BM＝AM＝MC＝MDAC8＝4， ∴∠ABM＝∠BAM，∠MAD＝∠MDA，∵∠BMC是△ABM的外角，∠CMD是△ADM的外角， ∴∠BMC＝2∠BAM，∠CMD＝2∠MAD， ∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD， ∵∠BAD＝60°，∴∠BMD＝120°，∵N是BD中点， ∴∠BMN＝∠DMN＝60°，∴，∴MN＝2， 则MN的长为2． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，三角形外角的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 第25题第26题 26．【解答】（1）解：AD与BB′的位置关系：AD⊥BB′；理由如下： 如图①，连接BB′，∵将△ABD沿AD翻折得到△ADB′，∴DB＝DB′，AB＝AB′， ∴点D在线段BB′的垂直平分线上，点A在线段BB′的垂直平分线上， ∴AD是线段BB′的垂直平分线，∴AD⊥BB′，故答案为：AD⊥BB′； （2）证明：将△ABD沿AD翻折得到△ADB′．∠BAD＝40°， ∴∠B′AD＝∠BAD＝40°，∠B′＝∠B＝30°，AB＝AB′，∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠CAF＝120°﹣40°﹣40°＝40°＝∠B′AD，AC＝AB'，∠B′＝∠C＝30°， 在△ADB′和△AFC中，，∴△ADB′≌△AFC（ASA）； （3）解：当直线B′D与射线CA相交于点E时，如图②， 由折叠的性质得AB＝AB′，∵B′C＝AB＝5，∴B′C＝AB＝AB′＝5， ∴△AB′C是等边三角形，∴∠AB′C＝∠ACB′＝60°， ∵∠AB′D＝∠B＝30°，∴∠EB′C＝30°+60°＝90°，∴∠CEB′＝30°，∴CE＝2B′C＝10； 当直线B′D与线段CA相交于点E时，如图③，同理△AB′C是等边三角形， ∴∠B′AC＝60°，B′A＝B′C，∵∠BAC＝120°，∴∠BAB′＝180°， ∴B、A、B′在同一直线上，由（1）得AD⊥BB′，∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°＝∠ACD，∴DA＝DC， ∵B′A＝B′C，∴B′D垂直平分AC，∴∠B′EC＝90°，∠CB′E＝30°，∴， ∵B′C＝5，∴，综上所述，线段EC的长度为10或． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 27．【解答】（1）解：∵点M是AC边上一动点，由点A向点C方向运动（点M不与点A，C重合），点N是CB延长线上一点，由点B向CB延长线方向运动（点N不与点B重合），点M与点N同时以相同的速度出发，∴AM＝BN，设AM＝BN＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵∠CNM＝30°，∠C＝60°，∴∠NMC＝180°﹣∠CNM﹣∠C＝90°， 在Rt△CMN中，NC＝2MC，∴x+18＝2（18﹣x），解得：x＝6，∴AM＝6，故答案为：6； （2）证明：如图1，过点M作MP∥BC，交AB于点P， ∴∠MPA＝∠ABC＝60°，∠NBD＝∠MPD，∴△AMP是等边三角形，∴PA＝PM＝AM， ∵AM＝BN，∴PM＝BN，在△NBD和△MPD中，， ∴△NBD≌△MPD（AAS），∴DN＝DM，即在运动过程中，点D是线段MN的中点； （3）解：线段ED的长为定值．理由如下： 由（2）知，△AMP是等边三角形，∵ME⊥AB，∴AP＝2PE， 由（2）的结论可知：BP＝2BD＝2PD，∴AB＝AP+BP＝2PE+2PD＝2（PE+PD）＝2ED， 又∵AB＝18，∴ED＝9，故线段ED的长为定值9． （4）解：∵将线段MN绕点M顺时针旋转60° 得线段MF，∴∠FMN＝60°，FM＝MN， ∴∠AMF＝180°﹣∠FMN﹣∠CMN＝120°﹣∠CMN， ∵∠BNM＝180°﹣∠C﹣∠CMN＝120°﹣∠CMN，∴∠AMF＝∠BNM， 在△AMF和△BNM中，，∴△AMF≌△BNM（SAS），∴FA＝MB， 当MB⊥AC时，MB的值最小，此时FA的值最小， ∵MB⊥AC，∴∠BMC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠MBC＝30°， ∴，则AM＝AC﹣MC＝9，∴BN＝AM＝9，故答案为：9． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，垂线段最短，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 备用题：【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，则线段AD，BE与DE之间满足的数量关系是_____________ ； ②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝5，BE＝2，则DE的长为_____ ． 【模型初探】（2）①如图3，四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD＝8，则△BCD的面积为______ _ ．②如图4，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°．分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连DC交OB延长线于点E．判断AO与BE的数量关系并证明． 【模型拓展】（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝6，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，则△BCD的面积为_________ ． 【解答】解：（1）①在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE， 在△CAD和△BCE中，，∴△CAD≌△BCE（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝CD+CE＝BE+AD，故答案为：DE＝BE+AD； ②在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE， 在△CAD和△BCE中，，∴△CAD≌△BCE（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE， ∵AD＝5，BE＝2，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3，故答案为：3； （2）①如图1，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H． ∵∠H＝∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠BCH+∠ACD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠BCH＝∠CAD， 在△BHC和△CDA中，，∴△BHC≌△CDA（AAS），∴BH＝CD＝8， ∴S△BCD•CD•BH8×8＝32．故答案为：32； 学科网（北京）股份有限公司 $