4.5相似三角形的性质（分层作业，15大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 4.5 相似三角形的性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明相似三角形的对应线段成比例 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的性质与判定综合 题型04 利用相似的性质作图 题型05 相似三角形的对应角相等 题型06 相似三角形的周长比等于相似比 题型07 相似三角形的面积比等于相似比平方 题型08 相似三角形与格点综合应用 题型09 相似三角形的性质（三线问题） 题型10 重心的概念 题型11 重心的有关性质 B组 能力进阶 题型 相似三角形与坐标系综合求点坐标 C组 思维拔高 题型01 与相似三角形有关的动点问题 题型02 相似三角形的性质结合判定求最值 题型03 折叠与旋转中的相似关系探究 证明相似三角形的对应线段成比例题型01 1．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； (2) 证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知可得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】略 3．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】 证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，M、N分别在和上，于点E，于点D，． (1)若，，，求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据相似三角形的性质可得，则可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得； （2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】（1）解：，， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，． （2）略 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， 即； (2) 证明：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 利用相似三角形的性质求解题型02 1．若'，，，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得：与的相似比为. 【详解】因为，，，所以与的相似比为. 故选D. 【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质是关键. 2．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：， ， ， ， 或(不符合题意，舍去)， ， ， 故选：． 3．（25-26九年级上·上海·月考）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则______ 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴， ， 故答案为：6． 4．（2026·江苏南通·模拟）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 5．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 【答案】(1) 下图即为所求： (2) ①证明：在中，，，   ∴；   ∵， ∴；   又∵平分， ∴；   ∴；   ∵，且，   ∴． ②的长为5 【分析】本题考查了尺规作图（角平分线的作法）、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过角平分线定义和三角形内角和求出相等角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）以B为圆心画弧交、于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交于内部一点，过B与该点作射线交于D，保留作图痕迹；   （2）①先由三角形内角和求，再根据点B在上得，结合平分求，证明，加公共角可判定相似；②利用相似三角形对应边成比例求，再根据C、D在上得，计算得长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵，   ∴；   ，， ， ， ∴． 相似三角形的性质与判定综合题型03 1．（2026·云南·模拟）如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是证明三角形相似． 方法一：根据等边三角形性质先计算，再由两角相等证明，所以，即解出，进而求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， 即， 而， ， ， ， ，即， 解得， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，是边上的高，，，则等于________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·河南开封·联考）如图，在中，，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据题意可以得到和相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求得的面积； （2）根据的面积从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ． （2）解：∵，， ∴． 5．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 利用相似的性质作图题型04 1．（24-25九年级上·上海·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 【答案】 与图1中的格点三角形相似的格点三角形如图所示： 【分析】本题考查网格中作已知三角形的相似三角形，已知的三角形是直角三角形，两直角边长比值为，据此作图即可． 【详解】略 3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中画线段，点，分别在，边上，且． (2)在图②中作格点与相似，使与的相似比． 【答案】(1) 线段如图所示： (2) 如图所示： 【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质； （1）分别找到和的中点，再根据三角形中位线得到． （2）由图可得，，，根据与的相似比得到三边分别为，，，据此作图即可． 【详解】（1）解：点，分别在，边上，且， （2）解：格点与相似，使与的相似比， 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线，使点、分别在边、上． (3)在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 解：如图，即为所求； 【分析】（1）取格点T，连接交于点P即为所求； （2）由网格的特点取的中点E， 的中点F，连接即为所求； （3）取格点，H，连接即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由网格得， ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了画三角形高，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图． (1)在图①中，在边上找一点，使． (2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且． (3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等． 【答案】(1)点即为所求； (2)点、即为所求； (3)点即为所求. 【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键． （1）只需将线段分成的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接即可； （2）只需找到和靠近点的三等分点，根据相似三角形的性质，找到的三等分点，连接即可； （3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为：， 、、的面积相等， 、、的面积都为：， 的高为：，的高为：， ∵， ∴，且相似比为， ， 点即为所求. 相似三角形的对应角相等题型05 1．如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的对应边相等，对应角相等．根据相似三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ， 故选：A 2．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，则，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，三角形的外角． 3．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由是等腰三角形，，则，即，分和两种情形，分别根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质求解即可．正确分类是解题的关键 【详解】解：∵和相似， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，即， ∴， ②当时，， ∴， 故选：C． 4．如图，已知，，，，，．    (1)求与的相似比； (2)求的度数和的长． 【答案】(1)2 (2)， 【分析】（1）根据形似三角形的形似比即可求出； （2）根据相似三角形性质求出，再根据形似比求出． 【详解】（1）∵，，， ∴相似比． （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， 即． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质． 5．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵ ∴． 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质．根据相似三角形的性质，求得，由平行四边形的性质可得，据此即可证明． 【详解】略 相似三角形的周长比等于相似比题型06 1．（25-26九年级上·云南·期末）两个相似三角形的相似比是，则其周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比也是. 故选：C 2．如图，已知平行四边形ABCD．点E在DC上，DE：EC=2：1．连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（    ）    A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC=2：1，即可得出△DEF与△BAF的周长之比，此题得解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=2：1， ∴△DEF与△BAF的周长之比为2：3 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 3．（25-26九年级上·上海·期末）一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知，若与的面积比为，则与的周长比为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 故答案为：． 5．如图，在中，，，是边上一点且，、分别在边、上，，，求四边形的周长．    【答案】13 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的定义等知识，根据相似三角形的判定和性质分别求出和，再根据平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 相似三角形的面积比等于相似比平方题型07 1．两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴其面积之比是， 故选：D 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键． 2．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴=2， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似． 3．（25-26九年级上·江苏靖江·期中）如果两个相似三角形对应边的中线之比为∶，其中较小的三角形面积为，那么另一个三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质；关键是知道面积比等于相似比的平方； 根据给定中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可求另一个三角形面积。 【详解】解：设另一个三角形的面积为， ∵相似三角形对应边的中线之比为∶， ∴相似比为∶， ∴面积比为∶， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）由是平行四边形，得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴, ， ∴ ∴与周长的比等于相似比等于． （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴． 5．已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 【答案】(1) 证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），结合（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】（1）略 （2）在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 相似三角形与格点综合应用题型08 1．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【详解】∵∠BAC=∠PED=90°，， ∴当时，△ABC∽△EPD时． ∵DE=4， ∴EP=6． ∴点P落在P3处． 故选C． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 【答案】 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 4．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示： ． 故答案为：． 5．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标． 【答案】C(4，4)或C(5，2) 【分析】本题可根据图形得出AC与AB的长度比，再根据角A或角B为直角，来判断P点的位置． 【详解】解：△OAB的两直角边之比为1：2，那么△ABC两直角边之比为1：2， ∵AB= ∴当∠A=90°，AC=2，此时点C（5，2）， 当∠B=90°，BC=2，此时点P（4，4）， 故C点的坐标是C（4，4）或C（5，2）． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况． 相似三角形的性质（三线问题）题型09 1．如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 2．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个相似三角形的对应中线的比为， ∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴这两个相似三角形的对应角平分线的比为． 3．（24-25九年级上·上海·月考）已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则_____． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则和对应边上的中线比为_____． 【答案】##0.5 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应边上的中线比等于相似比． 【详解】解：∵，且， ∴ 相似比为， 又 ∵ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比， ∴ 中线比为， 故答案为：． 5．已知，相似比为． (1)如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． (2)如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． (3)如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 【答案】(1) 的长为（或） (2) 的长为 (3) 的值为 【分析】利用相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质，结合已知条件分别求解各小问． 【详解】（1） 解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应高， ∴ ∵， ∴， 解得； （2）解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应中线， ∴ ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应角平分线， ∴， ∴． 重心的概念题型10 1．三角形的重心是指(    ) A．三边高的交点 B．三角角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据重心的概念：三角形三边中线的交点是三角形的重心进行解答即可． 【详解】解：三角形三边中线的交点是三角形的重心， 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形三边中线的交点是三角形的重心是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故选：A． 3．在△ABC中，中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD＝___． 【答案】2：3 【分析】由三角形重心的概念可知，再根据重心的性质即可求得AG=2GD，AD=3GD，即可求得AG：AD． 【详解】解：∵AD、AE分别是三角形的中线， ∴G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，AD=3GD， ∴AG：AD=2：3． 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 4．（25-26上·上海·月考）如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么__________． 【答案】12 【分析】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：进而得到，再根据是的中线可得进而得到答案． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：12． 5．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 解：三条中线分成的六个三角形面积相等， 理由如下： 设， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即三条中线分成的六个三角形面积相等； (3) 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形面积相等，中点的性质是解题的关键． （1）根据等底等高的三角形面积相等，直接可求即可得到答案； （2）设，根据题意可得，即可得到，三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与等底等高， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，则每个小三角形的面积是大三角形面积的， ， ， ∴，即的值为． 重心的有关性质题型11 1．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·期末）如图，点O是的重心，若的面积为12，则阴影部分的面积是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的定义，三角形中线的性质，根据点O是的重心，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海·期中）如果直角三角形的斜边长为，那么它的重心与斜边中点之间的距离为_______． 【答案】 【分析】本题考查了重心的有关性质，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 直角三角形的外心是斜边中点，重心位于中线上，且重心到斜边中点的距离等于中线长度的三分之一．斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为， 则斜边上的中线长度为． 因为重心将中线分为的两段， 其中重心到斜边中点的距离为中线长度的， 所以它的重心与斜边中点之间的距离为． 故答案为：． 4．如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 【答案】 【分析】根据重心的性质得到，再根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵点为的重心， ∴， ∴， ∵为的一条中线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即与的比为． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍． 5．综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）如图， （2）；（3）2；（4）4 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义与性质、三角形中线的性质、三角形面积的计算以及等高三角形面积比与底边比的关系，熟练掌握三角形重心分中线成2:1的比例、中线分三角形面积为相等的两部分是解题的关键． （1）根据三角形重心的定义，即三条中线的交点，先作出边的中线，再与已知中线相交，交点即为重心． （2）利用重心的性质，即重心将三角形分成面积相等的三部分，以及中线分三角形面积为相等的两部分，通过面积的等量代换，得出与面积相等． （3）连接，利用重心分中线的比例关系，结合等高三角形面积比等于底边比，从而求出的值． （4）先根据重心分中线为的比例求出、的长度，结合算出的面积，再利用（2）的结论得到和的面积，进而求出的总面积，最后用总面积减去三个三角形的面积得到四边形的面积． 【详解】解：（1）作出边的中线，连接与，交点即为重心； （2）∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵点是的重心，的面积为， ∴是边上的中线， ∴， ∴ 由（2）知， ∵和同高 ∴； （4）∵点G是△ABC的重心， ∴BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线， ∴， ， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵，， ∴． 相似三角形与坐标系综合求点坐标题型 1．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 2．如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的8×4网格，且点A，B，C都是格点，则的重心坐标为________． 【答案】（4，2） 【分析】根据重心的定义即可得答案． 【详解】∵重心是三角形三边中线的交点， ∴的重心坐标为（4，2），如图， 故答案为：（4，2） 【点睛】本题考查平面直角坐标系及三角形重心的定义，重心是三角形三边中线的交点；熟练掌握定义是解题关键． 3．已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为________；若于点，则点到点的最大距离为________． 【答案】 【分析】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型． 【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，，， ，， ， ， ，即：， ， 设直线解析式，将、坐标代入， ，解得：， 则直线解析式：， 当时，，将代入，得：， 与轴的交点为， 设与轴的交点为点，中点为，点为点， ，，为中点， 在中，， 在中，， 点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆， 的最大值为：， 故答案为：，． 4．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 5．如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接 (1)求的面积 (2)若点是边上一点，且∽，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解； （2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标． 【详解】（1）点为的中点，， ， 把代入得， 反比例函数解析式为， ，  点的横坐标为， 当时，，即， 的面积； （2）∽， ，即，解得， ， 点坐标为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征． 与相似三角形有关的动点问题题型01 1．（25-26上·四川眉山·月考）如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．根据点是边的中点可得，然后根据相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：，由题意可得：， 根据题意，当△△时， ， ， ． 当△△时， ， ， ． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 3．如图，在中，，点D是线段上一动点，作，连接．若是等腰三角形，则_____________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由相似三角形的性质，等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：， ，，， ， ， ，， ， ， ， 当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， 当时， ，， ， ， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是要分三种情况讨论． 4．如图，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，设运动时间为秒．（点到达点后，点也停止运动） (1)________，________（含的代数式表示）， (2)当为何值时，与相似？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可求解； （2）分①，则有，②；列出比例式，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，； 故答案为：；． （2）当时， ①若，则， ， ， ， ， 解得：， ②当，若，则有 ， 所以， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴当时，． 【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点． （1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长； （2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由． 【答案】（1）2或6； （2）m2﹣4ab≥0；理由： 设PA=x， ∵△ADP∽△BPC， ∴=， ∴， 整理得：x2﹣mx+ab=0， 由题意△≥0， ∴m2﹣4ab≥0． ∴当a，b，m满足m2﹣4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC． 【分析】(1)分和两种情形构建方程求解即可; (2)由△ADP∽△BPC,可得=,即,整理得: x2﹣mx+ab=0,根据题意△≥0,即可解决问题; 【详解】（1）设AP=x． ∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似， ①当 时，，解得x=2或6． ②当时，，解得x=2， ∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或6； （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式及分类讨论的数学思想. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 相似三角形的性质结合判定求最值题型02 1．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，． 【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心； 如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图，点不是中点，所以点不是重心； ①正确    ②当，如图时最大，， ，，， ， ， ②错误；    ③如图5，若，， ∴，，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴③错误； ④如图6，， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 当时，最大为5， ∴④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，点E是上的动点，F是的中点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先求出，，的长度，当，即时，的值最小，根据，求出最小值 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，． ． F是的中点， ． 当，即时，的值最小． ，， ． ，即． . 故答案为：． 4．（2025·四川成都·月考）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】##0.7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 5．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．设，． （1）______（用含的式子表示）； （2）这个矩形的最大面积是______． 【答案】 2400 【分析】（1）根据矩形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． （2）构造二次函数，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，二次函数最值，熟练掌握性质，二次函数性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：矩形面积， 故当时， 此时矩形的面积最大，最大面积为． 故答案为：2400． 折叠与旋转中的相似关系探究题型03 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　） A． B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】试题解析：由题意得：DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∵∠C=∠DEA， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB, ∴=, ∵A′为CE的中点， ∴C A′=E A′， ∴C A′=E A′=AE， ∴==， ∴DE=1. 故选D. 2．如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则______． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键． 3．如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 【答案】或 【分析】根据折叠得到线段相等，分类讨论相似的对应边，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：沿折叠和重合， ， 设，则， 当时，， ，， ∴， 解得：， 则， 当时，，即， 解得：， 则， 故或， 故答案是：或． 【点睛】本题考查折叠的性质及相似三角形对应边成比例，解题的关键是分类讨论列方程． 4．如图，在矩形中，，．动点E从点B出发，沿线段B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接并延长交的延长线于点M，再把沿翻折交延长线于点N，连接．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)在点E运动的过程中是否存在某个时刻使？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由； (3)在运动的过程中，的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)的面积不变，为108 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例，列出关于的式子，求出； （2）证明，得到成比例线段，用t表示、、，代入比例式求出t的值； （3）根据的面积的面积的面积，求出的面积，可知是否是定值． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 由题意可知，，，， 若，则，即：， ∴， 解得（舍去），， ∴当时，； （2）存在时，，理由如下： 在矩形中，， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴当时，， （3）的面积不变，理由如下： 在矩形中，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ =108． ∴的面积不变为108． 5．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．            （2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．    （3）如图，，且直线与之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线上，点A在直线上，=，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△，线段交于点D．当点落在直线上时，则的值为____．    【答案】（1）结论：△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”． 理由：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．    ∵AC＝8，∠C＝30°， ∴AD＝4， ∴＝ ∴△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”； （2）； （3） 【分析】(1)过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．解直角三角形求出AD即可得出结论． (2) 根据A，D关于BC对称，得到BE⊥AD，AE＝ED，根据△ABC是“准黄金”三角形，得到BC是“金底”，再利用C是△ABD的重心求解即可得到答案； (3) 过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．证明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，设DF=4k，CF=3k，CD=5k，再求出AD（用k表示）即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）如图，    ∵A，D关于BC对称， ∴BE⊥AD，AE＝ED， ∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”， ∴＝，不妨设AE＝4k，BC＝5k， ∵C是△ABD的重心， ∴BC：CE＝2：1， ∴CE＝ ，BE＝ ， ∴AB＝， ∴； （3）如图4中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．    在Rt△CB′G中，∵∠CGB′=90°，GB′=4，=CB=5， ∴ ， 又∵=， ∴ ， ∴ ， ∴EC=7， ∵∠GCB′=∠FCD=α，∠CGB′=∠CFD=90°， ∴△CGB′∽△CFD， ∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5， 设DF=4k，CF=3k，CD=5k， ∵△AEC∽△DFA， ， 解得： ， ∴AF=7k， ∴ ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，“准黄金”三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.5 相似三角形的性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明相似三角形的对应线段成比例 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的性质与判定综合 题型04 利用相似的性质作图 题型05 相似三角形的对应角相等 题型06 相似三角形的周长比等于相似比 题型07 相似三角形的面积比等于相似比平方 题型08 相似三角形与格点综合应用 题型09 相似三角形的性质（三线问题） 题型10 重心的概念 题型11 重心的有关性质 B组 能力进阶 题型 相似三角形与坐标系综合求点坐标 C组 思维拔高 题型01 与相似三角形有关的动点问题 题型02 相似三角形的性质结合判定求最值 题型03 折叠与旋转中的相似关系探究 证明相似三角形的对应线段成比例题型01 1．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 2．如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 3．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，M、N分别在和上，于点E，于点D，． (1)若，，，求的长． (2)求证：． 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 利用相似三角形的性质求解题型02 1．若'，，，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·月考）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则______ 4．（2026·江苏南通·模拟）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 5．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 相似三角形的性质与判定综合题型03 1．（2026·云南·模拟）如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则  ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A．5 B． C．6 D． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，是边上的高，，，则等于________． 4．（25-26九年级上·河南开封·联考）如图，在中，，，，． (1)求； (2)求． 5．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 利用相似的性质作图题型04 1．（24-25九年级上·上海·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中画线段，点，分别在，边上，且． (2)在图②中作格点与相似，使与的相似比． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线，使点、分别在边、上． (3)在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为． 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图． (1)在图①中，在边上找一点，使． (2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且． (3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等． 相似三角形的对应角相等题型05 1．如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 4．如图，已知，，，，，．    (1)求与的相似比； (2)求的度数和的长． 5．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：． 相似三角形的周长比等于相似比题型06 1．（25-26九年级上·云南·期末）两个相似三角形的相似比是，则其周长比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知平行四边形ABCD．点E在DC上，DE：EC=2：1．连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（    ）    A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3 3．（25-26九年级上·上海·期末）一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知，若与的面积比为，则与的周长比为________ ． 5．如图，在中，，，是边上一点且，、分别在边、上，，，求四边形的周长．    相似三角形的面积比等于相似比平方题型07 1．两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C． D． 3．（25-26九年级上·江苏靖江·期中）如果两个相似三角形对应边的中线之比为∶，其中较小的三角形面积为，那么另一个三角形的面积为________． 4．如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 5．已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 相似三角形与格点综合应用题型08 1．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 4．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    5．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标． 相似三角形的性质（三线问题）题型09 1．如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为________． 2．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 3．（24-25九年级上·上海·月考）已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则_____． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则和对应边上的中线比为_____． 5．已知，相似比为． (1)如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． (2)如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． (3)如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 重心的概念题型10 1．三角形的重心是指(    ) A．三边高的交点 B．三角角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边中垂线的交点 2．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．在△ABC中，中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD＝___． 4．（25-26上·上海·月考）如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么__________． 5．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 重心的有关性质题型11 1．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 2．（25-26八年级上·期末）如图，点O是的重心，若的面积为12，则阴影部分的面积是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26九年级上·上海·期中）如果直角三角形的斜边长为，那么它的重心与斜边中点之间的距离为_______． 4．如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 5．综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 相似三角形与坐标系综合求点坐标题型 1．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 2．如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的8×4网格，且点A，B，C都是格点，则的重心坐标为________． 3．已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为________；若于点，则点到点的最大距离为________． 4．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    5．如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接 (1)求的面积 (2)若点是边上一点，且∽，求点坐标． 与相似三角形有关的动点问题题型01 1．（25-26上·四川眉山·月考）如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 3．如图，在中，，点D是线段上一动点，作，连接．若是等腰三角形，则_____________． 4．如图，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，设运动时间为秒．（点到达点后，点也停止运动） (1)________，________（含的代数式表示）， (2)当为何值时，与相似？ 5．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点． （1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长； （2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由． 相似三角形的性质结合判定求最值题型02 1．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 2．如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，点E是上的动点，F是的中点，连接，则的最小值为_____． 4．（2025·四川成都·月考）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 5．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．设，． （1）______（用含的式子表示）； （2）这个矩形的最大面积是______． 折叠与旋转中的相似关系探究题型03 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　） A． B．3 C．2 D．1 2．如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则______． 3．如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 4．如图，在矩形中，，．动点E从点B出发，沿线段B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接并延长交的延长线于点M，再把沿翻折交延长线于点N，连接．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)在点E运动的过程中是否存在某个时刻使？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由； (3)在运动的过程中，的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值． 5．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．            （2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．    （3）如图，，且直线与之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线上，点A在直线上，=，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△，线段交于点D．当点落在直线上时，则的值为____．    1/1 学科网（北京）股份有限公司 $