4.5-4.6 相似三角形性质与应用分层练习 2026～2027 学年浙教版数学九年级上册

4.5-4.6 相似三角形性质与应用分层练习 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.5 相似三角形的性质　4.6 相似三角形的应用 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．若两个相似三角形的相似比是 ，则它们对应角的平分线之比是（　　） A．　B．　C．　D． 2．已知两个相似三角形的一组对应边上的高线长分别是 和 ，则这两个三角形的相似比是（　　） A．　B．　C．　D． 3．在 与 中，。若 的周长为 ，则 的周长是（　　） A．　B．　C．　D． 4．已知 的三边长分别为 、、，与它相似的 的最大边长为 ，则 与 的面积比是（　　） A．　B．　C．　D． 5．两个相似三角形的面积比是 ，其中一个三角形的周长为 ，则另一个三角形的周长是（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 6．如图， 是 的中位线（点 、 分别是边 、 的中点）， 把 分成上、下两部分，面积分别为 、（），则 等于（　　） A．　B．　C．　D． 7．两个相似三角形的对应高之比为 。若较小三角形的一条中线长为 ，则较大三角形对应的中线长是（　　） A．　B．　C．　D． 8．如图，小刚用镜面反射的方法测量教学楼 的高度。他站在地面上的点 处，眼睛在点 ，把一面小镜子放在点 处，且 、、 在同一条直线上。经测量 米， 米， 米，则教学楼的高 是（　　） A． 米　B． 米　C． 米　D． 米 9．同一时刻，身高 米的小明在阳光下的影长为 米。他旁边一棵树的影子有一部分落在地面上，另一部分落在竖直的墙面上。测得落在地面上的影长为 米，落在墙面上的影长为 米，则这棵树的高度是（　　） A． 米　B． 米　C． 米　D． 米 10．下列结论中，正确的是（　　） A．相似三角形对应中线的比等于对应高的比　B．相似三角形周长之比等于相似比的平方 C．相似三角形面积之比等于相似比　D．若两个相似三角形的面积之比为 ，则它们的周长之比为 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 ，相似比为 。若 、 分别是 、 边上的中线，且 ，则 　　　　　。 12．若两个相似三角形的相似比为 ，面积之和为 ，则其中较大三角形的面积是 　　　　　。 13．若 ，相似比为 ，且 的面积为 ，则 的面积是 　　　　　。 14．如图，在 中，点 是边 上一点，连结 交对角线 于点 。若 ，则 　　　　　。 15．在 中，点 、 分别在边 、 上，且 。若 与四边形 的面积之比为 ，则 　　　　　。 16．相似三角形 与 的对应中线之比为 。若这两条中线的长相差 ，则较短的那条中线长为 　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分） 与 相似，相似比为 。、 分别是 、 的角平分线，且 。 (1) 求 的长； (2) 若 的周长为 ，求 的周长； (3) 若 的面积为 ，求 的面积。 18．（7 分）如图，，相似比为 （即 ），、 分别是边 、 上的高。 (1) 求证：； (2) 求证：。 19．（7 分）如图，小明要测量楼房 的高度。他在楼底 所在的地面上取一点 ，在 处竖立一根高 米的标杆 ；小明站在点 处，他的眼睛在点 处，且 米。此时视线经过标杆顶端 恰好看到楼房顶端 。经测量 米， 米。 (1) 求证：（其中 、 分别是过点 的水平线与 、 的交点）； (2) 求楼房 的高度。 20．（8 分） 与 相似，它们的周长之比为 ，面积之差为 。 (1) 求 与 的面积之比； (2) 求 的面积。 21．（8 分）如图，在 中，， 边上的高为 。矩形 的边 在 上，顶点 、 分别在边 、 上，且 。 (1) 求证：； (2) 求矩形 的面积。 22．（9 分）在 中，，，（如图）。点 从点 出发沿 向点 运动，点 从点 出发沿 向点 运动，两点的速度都是每秒 个单位长度，同时出发，当点 到达点 时两点同时停止运动。设运动时间为 秒。 (1) 用含 的代数式表示 与 的长； (2) 当 为何值时， 与 相似？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5-4.6 相似三角形性质与应用分层练习 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.5 相似三角形的性质　4.6 相似三角形的应用 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．若两个相似三角形的相似比是 ，则它们对应角的平分线之比是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 相似三角形对应角的平分线之比等于相似比，所以对应角的平分线之比是 。 要注意区分：对应角平分线的比、对应高的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比； 只有面积之比等于相似比的平方，即 ，所以 C 是面积比，不是角平分线之比。 2．已知两个相似三角形的一组对应边上的高线长分别是 和 ，则这两个三角形的相似比是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 相似三角形对应边上的高线之比等于相似比， 所以这两个三角形的相似比是 。 若把 与 看成两个三角形的面积之比，那才要平方，得 ；本题给的是高线，直接用比值即可。 3．在 与 中，。若 的周长为 ，则 的周长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 三组对应边的比都等于 ，所以 ，相似比是 。 相似三角形的周长之比等于相似比， 所以 的周长 ，选 B。 4．已知 的三边长分别为 、、，与它相似的 的最大边长为 ，则 与 的面积比是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 相似三角形中最大边对应最大边，所以相似比是 。 相似三角形的面积之比等于相似比的平方， 所以面积比是 ，选 C。 5．两个相似三角形的面积比是 ，其中一个三角形的周长为 ，则另一个三角形的周长是（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 由面积比是 得相似比的平方是 ，所以相似比是 ，周长之比也等于相似比，即 。 题目没有说明周长为 的是哪一个三角形，所以要分类讨论： ① 若周长为 的三角形对应比中的 ，则另一个三角形的周长为 ； ② 若周长为 的三角形对应比中的 ，则另一个三角形的周长为 。 所以另一个三角形的周长是 或 ，选 C。 6．如图， 是 的中位线（点 、 分别是边 、 的中点）， 把 分成上、下两部分，面积分别为 、（），则 等于（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 因为 、 分别是 、 的中点，所以 ，，且相似比是 。 所以 与 的面积之比为 ， 从而 ，选 B。 注意： 不是 —— 是 与整个三角形面积之比。 7．两个相似三角形的对应高之比为 。若较小三角形的一条中线长为 ，则较大三角形对应的中线长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 相似三角形中对应中线的比等于对应高的比，它们都等于相似比， 所以对应中线之比也是 。 设较大三角形对应的中线长为 ，则 ，所以 ，，选 B。 8．如图，小刚用镜面反射的方法测量教学楼 的高度。他站在地面上的点 处，眼睛在点 ，把一面小镜子放在点 处，且 、、 在同一条直线上。经测量 米， 米， 米，则教学楼的高 是（　　） A． 米　B． 米　C． 米　D． 米 【答案】B 由光的反射定律，入射角等于反射角，可得 。 又 ，，所以 。 在 与 中，，， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 由对应边成比例得 ，即 ， 所以 ，（米），选 B。 9．同一时刻，身高 米的小明在阳光下的影长为 米。他旁边一棵树的影子有一部分落在地面上，另一部分落在竖直的墙面上。测得落在地面上的影长为 米，落在墙面上的影长为 米，则这棵树的高度是（　　） A． 米　B． 米　C． 米　D． 米 【答案】C 同一时刻，物高与影长成正比。设树上与地面影长对应的一段高为 米， 则 ，所以 ，（米）。 落在墙面上的影子是竖直的，它对应的树高就等于影长，即 米。 所以树高为 （米），选 C。 10．下列结论中，正确的是（　　） A．相似三角形对应中线的比等于对应高的比　B．相似三角形周长之比等于相似比的平方 C．相似三角形面积之比等于相似比　D．若两个相似三角形的面积之比为 ，则它们的周长之比为 【答案】A 相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比，所以 A 正确。 相似三角形周长之比等于相似比，不是相似比的平方，B 错； 面积之比等于相似比的平方，不是相似比，C 错； D 中面积之比为 ，则相似比为 ，周长之比也是 ，不是 ，D 错。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 ，相似比为 。若 、 分别是 、 边上的中线，且 ，则 　　　　　。 【答案】 相似三角形对应中线的比等于相似比，所以 。 把 代入，得 ，所以 ，。 12．若两个相似三角形的相似比为 ，面积之和为 ，则其中较大三角形的面积是 　　　　　。 【答案】 相似比为 ，所以面积之比为 。 设两个三角形的面积分别为 、（）， 由面积之和为 得 ，即 ，。 所以较大三角形的面积是 。 13．若 ，相似比为 ，且 的面积为 ，则 的面积是 　　　　　。 【答案】 相似比为 ，所以面积之比为 。 设 的面积为 ，则 ， 所以 ，。 14．如图，在 中，点 是边 上一点，连结 交对角线 于点 。若 ，则 　　　　　。 【答案】 因为 是平行四边形，所以 ，。 由 得 。 因为 ，所以 （内错角相等），（对顶角相等）， 所以 ，从而 ，即 。 15．在 中，点 、 分别在边 、 上，且 。若 与四边形 的面积之比为 ，则 　　　　　。 【答案】 设 的面积为 ，则四边形 的面积为 ， 的面积为 。 因为 ，所以 ，面积比为 。 所以相似比为 ，即 ，从而 ，。 16．相似三角形 与 的对应中线之比为 。若这两条中线的长相差 ，则较短的那条中线长为 　　　　　。 【答案】 相似三角形对应中线之比等于相似比，所以 与 的相似比为 ，它们对应中线的长度之比也是 。 设两条中线的长分别为 、（）， 由两条中线的长相差 得 ，所以 。 所以较短的那条中线长为 。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分） 与 相似，相似比为 。、 分别是 、 的角平分线，且 。 (1) 求 的长； (2) 若 的周长为 ，求 的周长； (3) 若 的面积为 ，求 的面积。 【答案】(1) ；(2) ；(3) (1) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比，所以 。 把 代入，得 ，所以 ，。 (2) 相似三角形周长之比等于相似比， 所以 的周长 。 (3) 相似三角形面积之比等于相似比的平方，即 ， 所以 的面积 。 18．（7 分）如图，，相似比为 （即 ），、 分别是边 、 上的高。 (1) 求证：； (2) 求证：。 【答案】见解析 (1) 证明：因为 ，所以 。 因为 、 分别是边 、 上的高，所以 。 在 与 中，，， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）， 所以 。 (2) 证明：因为 ，所以 。 因为 ，， 所以 。 19．（7 分）如图，小明要测量楼房 的高度。他在楼底 所在的地面上取一点 ，在 处竖立一根高 米的标杆 ；小明站在点 处，他的眼睛在点 处，且 米。此时视线经过标杆顶端 恰好看到楼房顶端 。经测量 米， 米。 (1) 求证：（其中 、 分别是过点 的水平线与 、 的交点）； (2) 求楼房 的高度。 【答案】(1) 见解析；(2) 米 (1) 证明：过点 作水平线，分别交 、 于点 、。 因为 ，，所以 ，， 即 。 又 （公共角）， 所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 (2) 因为 、、 在同一条水平线上，、、 都垂直于地面， 所以 （米），（米）。 又 （米），所以 （米）， 从而 （米）。 由 得 ，即 ， 所以 ，（米）。 所以 （米）。 20．（8 分） 与 相似，它们的周长之比为 ，面积之差为 。 (1) 求 与 的面积之比； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ；(2) (1) 相似三角形周长之比等于相似比，所以 与 的相似比为 。 相似三角形面积之比等于相似比的平方，即 。 (2) 设 、 的面积分别为 、（）， 由面积之差为 得 ，即 ，。 所以 的面积为 。 21．（8 分）如图，在 中，， 边上的高为 。矩形 的边 在 上，顶点 、 分别在边 、 上，且 。 (1) 求证：； (2) 求矩形 的面积。 【答案】(1) 见解析；(2) (1) 证明：因为四边形 是矩形，所以 ，即 。 由预备定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）得 。 (2) 设 边上的高为 ，则 。 因为 ，，所以 与 之间的距离是 。 所以 的边 上的高为 。 所以 与 的相似比为 ， 从而 ，。 所以矩形 的面积为 。 22．（9 分）在 中，，，（如图）。点 从点 出发沿 向点 运动，点 从点 出发沿 向点 运动，两点的速度都是每秒 个单位长度，同时出发，当点 到达点 时两点同时停止运动。设运动时间为 秒。 (1) 用含 的代数式表示 与 的长； (2) 当 为何值时， 与 相似？ 【答案】(1) ，；(2) 或 (1) 在 中，。 点 从 出发运动 秒，走了 个单位，所以 ，； 点 从 出发运动 秒，走了 个单位，所以 。 (2) 因为 在 上、 在 上，所以 ， 是公共角。 要使 与 相似，分两种情况讨论： ① 若 ，则 ， 即 ，去分母得 ，即 ，解得 ； ② 若 ，则 ， 即 ，去分母得 ，即 ，解得 。 因为 ，而 ，，两种情况都符合题意， 所以当 或 时， 与 相似。 学科网（北京）股份有限公司 $