31.2.3相似三角形的性质（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础性质应用到综合判定推理，衔接中考真题，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|对应线段比、周长比等单一性质|选择填空题为主，结合重庆、上海等地期末真题，强化概念辨析| |综合应用|相似判定与性质结合|菱形、正方形网格等几何图形题，如第13题菱形中相似计算，培养空间观念| |拓展提升|跨知识点综合与定理证明|中考题（如2026云南中考）及定理证明题，含折叠、动态几何，发展推理能力与创新意识|

分层作业 31.2.3相似三角形的性质 目 录 1 利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”解决问题 1 利用“相似三角形周长的比、面积的比与相似比的关系”解决问题 1 利用相似三角形的判定和性质解决问题 2 3 4 5 利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”解决问题题型01 1．（2025-2026·八年级下·重庆·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 2．如果两个相似三形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（     ） A．1：2 B．1：3 C．1∶9 D．1：81 3．（2019-2020·九年级上·上海·期末）如果两个相似三角形的对应高比是，那么它们的相似比是__________． 4．如果两个相似三角形的对应高之比为2：3，已知其中小三角形的一条角平分线长，则大三角形对应角的平分线长________． 利用“相似三角形周长的比、面积的比与相似比的关系”解决问题题型02 5．（2023-2024·九年级上·四川内江·期中）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 第6题图 第7题图 7．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．两个相似三角形面积比为，则对应高的比为___________． 9．（2022-2023·九年级上·河南郑州·开学考）已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 10．两个相似三角形的对应高之比是，如果它们的面积之和为130平方厘米，那么较小的三角形的面积是_______平方厘米 11．（2025-2026·八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 利用相似三角形的判定和性质解决问题题型03 12．（2026·云南·中考）如图，，相交于点，，记的面积为，的面积为．若，则（     ） A． B． C． D． 第13题图 第14题图 第15题图 13．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 14．如图所示，在的方格纸上有和，它们的顶点都在格点上，和分别是它们的高，则等于（    ） A． B． C． D． 15．（2020·江苏南通·中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 第15题图 第16题图 16．（2025·江苏南京·中考）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 1．（2026·四川泸州·中考）如图，在中，，点在上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（     ） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 第1题图 第2题图 3．如图所示，在中，D，E分别是的边上的点，，分别是与的中线，已知，，求的长． 课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 定理证明 (1)为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，、、分别为两三角形的高，且． 求证． 定理应用 (2)如图2，在等腰中，，D为延长线上的一点，过点D作于点E，与相交于点F，且，在线段上取点G，使，连接，若． ①求的值； ②若，则的面积为________． 1．（2024·重庆·中考）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·中考）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 第2题图 第3题图 第4题图 3．（2026·辽宁·中考）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 4．（2026·河北·中考）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 31.2.3相似三角形的性质 目录 A组 巩固过关 …1 利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”解决问题… 利用“相似三角形周长的比、面积的比与相似比的关系”解决问题…2 利用相似三角形的判定和性质解决问题……。 5 B组能力进阶 7 C组 思维拔高 10 拓展 链接中考 .12 A组 巩固过关 颗型01 利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”解决问题 1.B 2.C. 3.3:2 4.9 颗型02 利用“相似三角形周长的比、面积的比与相似比的关系”解决问题 5.B 6.B 7.D 8.1:2 9.12 10.40 1/5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(1)12: (2)4+/10+3V2 题型03 利用相似三角形的判定和性质解决问题 12.C 13.B 14.A 2 15.2 1602 B组 能力进阶 1.B 2.B 3.CF=7cm C组 思维拔高 课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应 高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 定理证明 (1)为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程 AD=k 己知：如图，△ABC一△ABC、AD、AD分别为两三角形的高，且AD SAABC=k2 求证SAABC 定理应用 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,D为CB延长线上的一点，过点D作DE⊥AC于点B,DE与 GE2 AB相交于点R,且EF=DP,在线段AP上取点G,使FG=BF,连接GE,若BC5· AG ①求gC的值： ②若GE=4/10 5 则△ABC的面积为 B 图1 图2 【详解】(1①)证明：：△ABC一△ABC,AD、AD分别为两三角形的高， BC_AD=k. BC AD SAABC= RC-AD BC·AD SAABC =k2 BC·AD BC·AD 2 (2)解：①如图，连接DG,BE, G E ..EF=DF,FG=BF ∴，四边形BEGD是平行四边形， .GE‖DC, ∠GAE=∠BAC, ∴，△AGE~△ABC, 315 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG_GE_2 AB BC 3' AG_2 ·BG3-2 2, ②设AG=4X,则BG=2X, :PG=号BG=X, ∴.AF=AG+FG=5x, .AB=AC,GE BC, .'.AG=AE=4x, 在Rt△AEF中，EF=VAF-AE=3x, 如图，过点G作GH⊥AC于点H,则GH‖FE, H G D B ,∠GAH=∠FAE, ∴，△AHG-△AEF, AH_AG_GH BAH=4x-GH AE-AEFE，即4X5x专 ..AH=16x GH=12x 5 ..HE=4x-16x_4x 5 在Rt△GEH中， e 解得x=1(负值舍去)， AE=4x=4,GH=12X=12 5 ∴.S△AGEF 55 S△AGE S△ABC AB 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24 5 SAABC .S△ABC= 54 拓展 链接中考 1.D 2.D 3.3 4.C 5/5 分层作业 31.2.3相似三角形的性质 目 录 1 利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”解决问题 1 利用“相似三角形周长的比、面积的比与相似比的关系”解决问题 2 利用相似三角形的判定和性质解决问题 5 7 10 12 利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”解决问题题型01 1．（2025-2026·八年级下·重庆·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 2．如果两个相似三形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（    ） A．1：2 B．1：3 C．1∶9 D．1：81 【答案】C 【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：9， 又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应中线之比为1：9． 故选：C． 3．（2019-2020·九年级上·上海·期末）如果两个相似三角形的对应高比是，那么它们的相似比是__________． 【答案】 【详解】∵两个相似三角形的对应高比是， ∴它们的相似比是， 故答案为：． 4．如果两个相似三角形的对应高之比为2：3，已知其中小三角形的一条角平分线长，则大三角形对应角的平分线长____． 【答案】9 【详解】解：设大三角形对应角的角平分线长是xcm， 由题意得，， 解得x=9． 故答案为：9． 利用“相似三角形周长的比、面积的比与相似比的关系”解决问题题型02 5．（2023-2024·九年级上·四川内江·期中）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 6．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 7．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 8．两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______． 【答案】 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形对应高比为． 9．（2022-2023·九年级上·河南郑州·开学考）已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【答案】12 【详解】解：，、是对应角平分线， 相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比， ， 已知周长为16，代入得：， 解得：． 10．两个相似三角形的对应高之比是，如果它们的面积之和为130平方厘米，那么较小的三角形的面积是_______平方厘米 【答案】40 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高之比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， ∵它们的面积之和为130平方厘米， ∴较小的三角形的面积是（平方厘米）． 故答案为：40． 11．（2025-2026·八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【详解】(1)如图，即为所求作，； 的面积为； (2)如图，即为所求作，． ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 利用相似三角形的判定和性质解决问题题型03 12．（2026·云南·中考）如图，，相交于点，，记的面积为，的面积为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 13．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图所示，在的方格纸上有和，它们的顶点都在格点上，和分别是它们的高，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由格点图可知，，，，，，， ∴， ∴． ∴． ∴． 即． 故选：A． 15．（2020·江苏南通·中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 16．（2025·江苏南京·中考）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 1．（2026·四川泸州·中考）如图，在中，，点在上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ，， ，， ， ， 设，，则，， ， 即， 等式两边同时除以 ， 得：， 解得 （负值舍去）， 与 在 边上的高相等， ， ． 故选 B． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（     ） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H， ∵EF⊥AC，∴EF∥BC， ∴△AFE∽△ACD，∴， ∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG， ∴△AEG∽△ADH，∴， ∴ ∵EF=EG， ∴DC=DH， 设DH=DC=x，则BD=12-x， 又∵△BDH∽△BCA， ∴，即， 解得：x=4，即CD=4， 故选B. 3．如图所示，在中，D，E分别是的边上的点，，分别是与的中线，已知，，求的长． 【答案】 【详解】解：， ． ∵， ． 分别是与对应边上的中线， ，即， ． 课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 定理证明 (1)为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，、、分别为两三角形的高，且． 求证． 定理应用 (2)如图2，在等腰中，，D为延长线上的一点，过点D作于点E，与相交于点F，且，在线段上取点G，使，连接，若． ①求的值； ②若，则的面积为________． 【详解】(1)证明：∵，、分别为两三角形的高， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 如图，过点G作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2024·重庆·中考）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 2．（2026·四川内江·中考）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁·中考）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（2026·河北·中考）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $