4.8图形的位似（分层作业，11大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 4.8 图形的位似 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 位似图形的识别 题型02 求位似图形的相似比、周长比、面积比 题型03 判断/确定位似中心 题型04 网格中画已知图形的位似图形 题型05 坐标系中求位似图形的对应坐标 题型06 坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比 题型07 坐标系中画已知图形的位似图形 题型08 求位似图形的线段长度 题型09 位似图形在实际问题中的应用 B组 能力进阶 题型 坐标系中判断/确定位似中心 C组 思维拔高 题型 与位似有关的规律探究 位似图形的识别题型01 1．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 2．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线_______，那么这样的两个图形叫做位似图形． 4．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点______，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为_____．    5．（25-26九年级·期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 求位似图形的相似比、周长比、面积比题型02 1．（25-26九年级·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则和的面积比是（   ） A．2∶3 B．1∶2 C． D．1∶4 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 4．（2025·陕西西安·模拟）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________． 5．（2026·江苏苏州·模拟）如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． (1)如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； (2)如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； (3)如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 判断/确定位似中心题型03 1．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26九年级·质检）如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 3．画出图（）、（）中的位似中心． 4．如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 5．（2025·云南·模拟）如图为直径，点为直径上方一动点，过点作交直径于点，点、、、分别为、、、最靠近点的等分点，连接并延长、、、交于点、、、，连接、、、、、． (1)探究、、的数量关系． (2)探究、的位置关系． (3)在上取中点，当满足_____________的条件时（只能利用题目自带的字母，补充角的数值）、、、、、六点共线． 网格中画已知图形的位似图形题型04 1．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（  ） A．E B．F C．G D．H 2．在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形． 3．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． (1)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． (2)的面积为_____． 4．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O． （1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形； （2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2； （3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来． 5．如图在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)如图1，将以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为，得到，画出； (2)如图2，点D也是格点，连接，在上画出点E，使； (3)如图3，在边上分别画出点F，G，H，使的周长最小． 坐标系中求位似图形的对应坐标题型05 1．如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点在上的对应点的坐标为(    ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26九年级·河南信阳·期末）如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 5．（25-26九年级上·陕西·月考）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比题型06 1．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（    ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 2．（2025·重庆·模拟）如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为5，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．45 3．（25-26九年级·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，将放大倍，得到． (1)点的对应点的坐标是______． (2)若的面积为，求的面积． 坐标系中画已知图形的位似图形题型07 1．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 2．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 3．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 4．（26-27九年级上·江苏·质检）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 5．如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使； (2)在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． 求位似图形的线段长度题型08 1．（25-26九年级上·陕西渭南·联考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点，若，则的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 2．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（    ） A．9 B．16 C．21 D．28 4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板 A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 5．如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 位似图形在实际问题中的应用题型09 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（   ） A． B． C． D． 3．一棵树小孔成像的示意图如图所示．已知和是以点O为位似中心的位似图形．若像高，像距（小孔到像的距离），物高，则物距为（     ） A． B． C． D． 4．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    5．如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为． （1）与___________；（填“位似”或“不位似”） （2）屏幕图形的高度为___________． 坐标系中判断/确定位似中心题型 1．（25-26九年级上·福建·月考）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（    ）． A．点R B．点O C．点P D．点Q 3．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 与位似有关的规律探究题型 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，其中第一个的边长为1，点O是中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点都在边上． (1)试写出和的相似比和位似中心； (2)求出第n个三角形的周长． 3．（2026·江苏盐城·二模）“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.8 图形的位似 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 位似图形的识别 题型02 求位似图形的相似比、周长比、面积比 题型03 判断/确定位似中心 题型04 网格中画已知图形的位似图形 题型05 坐标系中求位似图形的对应坐标 题型06 坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比 题型07 坐标系中画已知图形的位似图形 题型08 求位似图形的线段长度 题型09 位似图形在实际问题中的应用 B组 能力进阶 题型 坐标系中判断/确定位似中心 C组 思维拔高 题型 与位似有关的规律探究 位似图形的识别题型01 1．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键． 根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可． 【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的， 所以这两张图片之间的关系是位似， 故选：D． 2．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 3．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线_______，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【答案】相交于一点 【详解】解：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形． 故答案为：相交于一点 4．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点______，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为_____．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 5．（25-26九年级·期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2) 如图即为所求； ． 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2） ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 求位似图形的相似比、周长比、面积比题型02 1．（25-26九年级·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则和的面积比是（   ） A．2∶3 B．1∶2 C． D．1∶4 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 先根据和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ∴与的面积比是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，相似三角形的判定及性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的性质得，，从而，，于是，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上， ∴，， ∴，， ∴ ∵的周长为， ∴的周长为． 故选：B． 3．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 4．（2025·陕西西安·模拟）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________． 【答案】250 【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：250． 5．（2026·江苏苏州·模拟）如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． (1)如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； (2)如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； (3)如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 【答案】(1)解：和是位似抛物线，理由如下： ∵、， ∴设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 同法可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵三点共线，三点共线，点是两条抛物线的共用顶点， ∴和关于点位似，且在点的同侧， ∴抛物线和是位似抛物线； (2) (3)如图，点即为所求； 【分析】（1）求出两点坐标，进而证明和关于点位似，且在点的同侧，即可得出结论； （2）根据题意，求出位似抛物线的顶点坐标，设另一条抛物线的解析式为，再设抛物线任意一点的坐标为，则其关于原点位似的对应点的坐标为，该点在抛物线上，将点代入进行求解即可得出结果； （3）①连接，作平行四边形交抛物线于点，作射线，交于点，点即为所求；②过点作轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为，得到位似抛物线的位似比为，即两条抛物线的开口大小之比，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，设其顶点坐标为 则， ∵两条抛物线关于点为位似抛物线，且位似比为， ∴另一条抛物线的顶点坐标为， ∴设另一条抛物线的解析式为， 设抛物线任意一点的坐标为，则其关于原点位似的对应点的坐标为，该点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式为； （3）解：①略 ②过点作轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为， 则位似抛物线的位似比为，即两条抛物线的开口大小之比， 又∵抛物线的开口大小只由二次项的系数决定， ∴抛物线和的位似比为. 判断/确定位似中心题型03 1．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似中心，注意根据位似图形的性质求解是关键．连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． 【详解】∵如图，连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：C． 2．（25-26九年级·质检）如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 3．画出图（）、（）中的位似中心． 【答案】 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了作位似中心，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，据此作图即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】略 4．如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1) 解：如图，位似中心即为所求． ． (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2025·云南·模拟）如图为直径，点为直径上方一动点，过点作交直径于点，点、、、分别为、、、最靠近点的等分点，连接并延长、、、交于点、、、，连接、、、、、． (1)探究、、的数量关系． (2)探究、的位置关系． (3)在上取中点，当满足_____________的条件时（只能利用题目自带的字母，补充角的数值）、、、、、六点共线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角以及垂径定理可得，根据得出，即可求解． （2）根据题意得出是以为位似中心的位似图形，位似比为，则，即可得出，即； （3）添加条件，设交于点，交于点，连接交于点，证明四边形是正方形，进而证明是等腰直角三角形，得出，根据垂径定理可得在上，即、、、、、六点共线． 【详解】（1）解：， 如图，连接 ∵交直径于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：， ∵点、、、分别为、、、最靠近点的等分点， ∴ ∴是以为位似中心的位似图形，位似比为 ∴ ∴，即； （3）解：当时，、、、、、六点共线． 理由如下，如图所示，设交于点，交于点，连接交于点， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵，，则 ∴，是等腰直角三角形， ∴，则 ∵，则即重合， ∴是直径， ∵是的中点， 又∵ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴， 又∵是直径，是的中点， ∴在上，即、、、、、六点共线． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，正切的定义，位似图形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 网格中画已知图形的位似图形题型04 1．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（  ） A．E B．F C．G D．H 【答案】D 【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接并延长， 以点为位似中心，点D是点C的对应点， 位似比为， 则点A的对应点是H， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 2．在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形． 【答案】按放大原图形即可得到符合要求的放大图形，作图结果如图所示： 【分析】图形放大后形状不变，所有对应边长扩大相同倍数．解题时应先确定原图形所有顶点的位置，按照放大比例计算得到放大后各对应顶点的位置，再按原图形的顺序连接顶点并填充颜色即可，本题默认放大比例为． 【详解】解：略 3．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． (1)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． (2)的面积为_____． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可； （2）利用割补法计算即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：， 故答案为：． 4．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O． （1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形； （2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2； （3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来． 【答案】 （1）图形如图所示： （2）图形如图所示： （3）如图所示，P点即为所求： 【分析】（1）根据平移的方向和距离，确定正方形四个顶点的对应点的位置后，顺次连接即可； （2）连接O点与各顶点，在同一方向延长，使延长后的线段为之前的两倍，确定对应点的位置后，顺次连接即可； （3）连接A'C1、B'D1、C'A1、D'B1，它们的交点即为位似中心． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了网格中的作图，涉及到了平移、作位似图形、找位似中心等内容，要求学生理解并掌握相关概念与作图步骤等，解题的关键是明白两个图形位似，则对应点的连线交于一点，该点即为位似中心，同时应明白位似比的概念，能利用位似比作一个图形的位似图形等． 5．如图在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)如图1，将以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为，得到，画出； (2)如图2，点D也是格点，连接，在上画出点E，使； (3)如图3，在边上分别画出点F，G，H，使的周长最小． 【答案】(1) 如图1， 即为所作； (2) 如图2，取格点M，连接交于E，则点E即为所求； (3) 如图3，平移线段到，在上取格点F，取格点L，连接，交于点R，则是的垂直平分线，平移线段到，取格点，连接并延长交于点N，则是的垂直平分线，连接，分别交于点G，H，连接，则此时的周长最小．点F，G，H即为所求． 【分析】（1）延长分别交格点、格线于点，再连接，则即为所作； （2）如图2，取格点M，连接交于E，根据边边边可证，可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，则点E即为所求； （3）平移线段到，在上取格点F，取格点L，连接，交于点R，则是的垂直平分线，平移线段到，取格点，连接并延长交于点N，则是的垂直平分线，连接，分别交于点G，H，连接，则此时的周长最小． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是网格作图题，主要考查了作位似图形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平移的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，综合性较强，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 坐标系中求位似图形的对应坐标题型05 1．如图，点在的边上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点在上的对应点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似的性质解答即可. 【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′， ∴点P在A′C′上的对应点P′的坐标为：（4，3）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案． 2．（25-26九年级上·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数， 位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵ 点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴ 点B的对应点的坐标为或 ， 即或． 故选：C． 3．（25-26九年级·河南信阳·期末）如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 5．（25-26九年级上·陕西·月考）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1) 即为所求： (2) (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比题型06 1．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（    ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 【答案】D 【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3； △OAB 与△OCD的相似比等于； 故选D． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力． 2．（2025·重庆·模拟）如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为5，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据相似比等于位似比可得：四边形的周长：四边形的周长，据此解答即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长：四边形的周长， ∵四边形的周长为5， ∴四边形的周长为， 故选：B． 3．（25-26九年级·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 4．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与的面积的比为， ∴． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，将放大倍，得到． (1)点的对应点的坐标是______． (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)或； (2) 【分析】本题考查了位似变换的性质，包括位似图形对应点的坐标变化规律以及面积比与位似比的关系，熟练运用相关性质是解答本题的关键． （1）利用位似变换中对应点坐标的变化规律，结合位似中心为原点，确定点对应点的坐标； （2）根据位似图形的面积比等于位似比的平方，结合已知的面积，计算的面积． 【详解】（1）解：位似图形对应点的坐标比等于位似比，点的坐标为， 当位似图形与原图形在位似中心同侧时：， 当位似图形与原图形在位似中心异侧时： 点的坐标是或； （2）解：位似比为，则面积比为， ， ． 坐标系中画已知图形的位似图形题型07 1．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 2．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 【答案】(1) 如图，即为所求 (2) 【分析】本题考查了作位似图形，位似图形的性质掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质作图即可； （2）根据与的相似比为，可得面积之比． 【详解】（1）略 （2）解：与的相似比为， ． 故答案为：． 3．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 4．（26-27九年级上·江苏·质检）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 5．如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使； (2)在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． 【答案】(1)如图所示，点P即为所求； (2) 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点D、E，连接交于P，点P即为所求； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解；取格点D、E，连接交于P，点P即为所求； 易证，则． （2）略 求位似图形的线段长度题型08 1．（25-26九年级上·陕西渭南·联考）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点，若，则的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形中的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比是解题关键．根据题意可得，且相似比为，即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，， ，且相似比为， ， ， 故选：B 2．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点、的坐标利用勾股定理求出的长，再根据点、的坐标求出位似比，最后利用位似图形的性质求解即可 ． 【详解】解； 在中，由勾股定理得 四边形与四边形位似，位似中心是原点，且 位似比为 ． 3．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（    ） A．9 B．16 C．21 D．28 【答案】C 【详解】解：∵四边形与四边形位似，其位似中心为点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板 A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，过点作于点，延长交于点，由位似图形的性质可得，进而可得，即得，再根据相似三角形的性质可得，得到，再求出遮挡板水平移动后的长，进行比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分别为和对应边上的高， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍， ∴， 设， ∵物体和屏幕位置不变， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动， 故选：． 5．如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 【答案】(1) (2) 如图所示：      (3)与是位似图形，位似中心，位似比为 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）先确定点到，，的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可； （3）先根据题意画出，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：，，， ． （3）解：把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标 与是位似图形，位似中心． 位似比为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、位似作图、位似中心、位似的定义等知识点，掌握位似的相关概念是解答本题的关键． 位似图形在实际问题中的应用题型09 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键． 根据位似图形的周长比等于位似比解答即可． 【详解】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是， 图形的周长是， 故选：C． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点可得对应到幕布上的点的坐标． 【详解】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为， ∴位似比为， ∴道具上的另一点对应到幕布上的点为． 3．一棵树小孔成像的示意图如图所示．已知和是以点O为位似中心的位似图形．若像高，像距（小孔到像的距离），物高，则物距为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用位似图形的性质，对应边成比例，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，列方程即可求出物距的长度． 【详解】解：，， 由题意得，， ，即， 解得：． 4．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 5．如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为． （1）与___________；（填“位似”或“不位似”） （2）屏幕图形的高度为___________． 【答案】 位似 【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论； （2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知： ， ， 与位似． 故答案为：位似． （2）过点作于点，线段的延长线交与点， ，， ， 由题意：，，， 由（1）得， ， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 坐标系中判断/确定位似中心题型 1．（25-26九年级上·福建·月考）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 2．如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（    ）． A．点R B．点O C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接， 则相交于一点O， ∴这两个三角形的位似中心是点O． 故选：B． 3．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 4．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或##或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)如图： (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 与位似有关的规律探究题型 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可． 【详解】∵△OAB是等边三角形，边长为8， ∴点A的坐标为（8，0）， 由位似变换的性质可知，点A1的坐标为（8×，0），即（4，0）， 点A2的坐标为（8×，0），即（2，0）， 由题意得，8×=， 解得，n=11， 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键． 2．如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，其中第一个的边长为1，点O是中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点都在边上． (1)试写出和的相似比和位似中心； (2)求出第n个三角形的周长． 【答案】(1)相似比为，它们的位似中心为点O (2) 【分析】（1）观察图形，找出变化规律即可进行解答； （2）观察图形，总结出一般规律，用含n的式子表示即可． 【详解】（1）解：∵的边长为1，点O是中点，是的中点， ∴正的边长为 ， 正的边长为 正和的边长为，正的边长为， ∴正和正的相似比= ；它们的位似中心为点O； （2）∵第n个三角形的边长为， ∴第n个三角形的周长为． 【点睛】本题主要考查了图形的位似，以及图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握位似的定义，仔细观察图形总结出图像变化的一般规律． 3．（2026·江苏盐城·二模）“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 【答案】(1) (2)解：不变，理由如下： 联立与得：， 解得（舍去）， 即 同理可得 如图，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N， ∵， ∴ ∴， ∵是与无关的常数， ∴的值不随直线旋转变化； (3)相似 (4) 或 【分析】（1）联立与求出，同理可得，根据勾股定理求出，，即可求出的值； （2）同（1）得，，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N，证明，得到，可知的值不随直线旋转变化； （3）根据位似图形一定是相似图形作答即可； （4）设放大后新坐标为，根据位似的性质可知，或，，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：联立与得：， 解得：（舍去）， ∴， 同理可得 ∴，， ∴； （2）略 （3）解：位似图形一定是相似图形， 因此任意两个二次函数的图象都相似； （4）解：设放大后新坐标为， ∵以点为位似中心将二次函数图象按放大， ∴，或， 当，时，， 代入得， 即， 可知放大后新的二次函数图象的表达式为； 当，时，同理可得放大后新的二次函数图象的表达式为； 综上所述，放大后新的二次函数图象的表达式为 或． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $