4.7-4.8 相似多边形与位似图形分层练习 2026～2027 学年浙教版数学九年级上册

4.7-4.8 相似多边形与位似图形分层练习 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.7 相似多边形　4.8 图形的位似 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下面的两个四边形中，四边形 是正方形，四边形 是长与宽不相等的矩形。下列判断中正确的是（　　） A．这两个四边形各角分别相等，所以它们相似　B．这两个四边形各边分别成比例，所以它们相似 C．这两个四边形不相似，因为它们各边不成比例　D．这两个四边形不相似，因为它们各角不相等 【答案】C 正方形的四个角都是 ，矩形的四个角也都是 ，所以这两个四边形各角分别相等。 但正方形 的四条边都相等，而矩形 的长与宽不相等， 所以它们各边不成比例。 相似多边形的定义是：各角分别相等、各边分别成比例的两个多边形叫做相似多边形，两个条件缺一不可。 这两个四边形只满足「各角分别相等」，不满足「各边分别成比例」，所以它们不相似，选 C。 A 只看到了角相等，B 的说法本身就不成立，D 的说法不对 —— 这两个四边形的各角确实是分别相等的。 2．图中有两个四边形 与 ，它们相似，、、 分别与 、、 是对应角。若 ，，，则 的度数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 四边形的内角和是 ， 所以 。 相似多边形对应角相等， 与 是对应角，所以 ，选 D。 3．如图，五边形 与五边形 是相似五边形，其中 与 、 与 分别是对应边。若 ，，，则 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 相似多边形对应边成比例，所以 。 把已知数据代入，得 ，所以 ，，选 B。 4．若两个相似多边形的相似比是 ，则它们的周长之比是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 相似多边形的周长之比等于相似比，所以它们的周长之比是 ，选 A。 要注意区分： 是这两个相似多边形的面积之比，不是周长之比； 则是把相似比写反了。 5．已知两个相似多边形的相似比是 ，其中较小多边形的面积是 ，则较大多边形的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 相似多边形的面积之比等于相似比的平方，即 。 设较大多边形的面积为 ，则 ，所以 ，，选 C。 若误把面积之比当作相似比，就会得到 ，这是 A 项设下的陷阱。 6．四边形 与四边形 是位似图形（如图），位似中心为点 ，点 在四边形 的内部，且点 、、 在同一条直线上。下列关于位似图形的说法中，正确的是（　　） A．两个相似图形一定是位似图形　B．两个位似图形一定是相似图形 C．位似图形中任意一对对应点到位似中心的距离相等　D．位似图形的对应边一定相等 【答案】B 位似图形是特殊的相似图形：它不仅要求两个图形相似，还要求每组对应点的连线都经过同一点（这一点叫做位似中心）， 所以位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，B 正确、A 错。 位似图形中任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，不一定相等，C 错； 位似图形的对应边成比例，不一定相等，D 错。 7．如图， 与 是位似图形，位似中心为点 ，点 、 在射线 上，点 、 在射线 上。若 ，，，则 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 位似中心是点 ， 与 是对应点，所以点 、、 在同一条直线上，且点 在点 与点 之间， 所以 。 位似图形中对应点到位似中心的距离之比等于位似比，所以位似比为 。 位似图形是相似图形，对应边成比例，所以 ，即 ，所以 ，选 C。 8．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点 、、 的坐标分别是 、、。以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，得到 ，且 与 在原点 的同侧，则点 的坐标是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 以原点为位似中心、相似比为 的位似变换中，点 的对应点的坐标是 或 。 两个三角形在原点同侧时取 。本题 ， 所以点 的坐标是 ，选 A。 若两个三角形在原点两侧，则点 的坐标是 ，即 B 项。 9．两个相似多边形的面积之比是 ，则它们的相似比是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 相似多边形的面积之比等于相似比的平方，所以相似比的平方是 ， 相似比是 ，选 D。 A 项把面积之比直接当成了相似比；C 项把 又平方了一次；B 项则是把比写反了。 10．下列关于相似多边形与位似图形的说法中，正确的是（　　） A．若两个相似多边形的面积之比是 ，则它们的相似比是 　B．两个位似图形的位似比等于它们的相似比 C．位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形　D．两个多边形的各边分别成比例，它们就一定相似 【答案】B A 错：相似多边形的面积之比等于相似比的平方，面积之比是 时，相似比应为 。 B 对：位似图形一定是相似图形，且位似比就是相似比。 C 错：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，只有当每组对应点的连线都经过同一点时，才叫位似图形。 D 错：相似多边形要求各角分别相等且各边分别成比例，只满足各边成比例不一定相似（如正方形与一般的菱形）。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．两个相似多边形的周长之比是 。若较大多边形的一边长为 ，则较小多边形中与之对应的边长为 　　　　　。 【答案】 相似多边形的周长之比等于相似比，所以这两个相似多边形的相似比是 。 相似多边形的对应边成比例，所以两组对应边之比也是 。 设较小多边形中与之对应的边长为 ，则 ，所以 ，。 12．甲、乙两个相似多边形的对应边之比是 。若它们的面积之差是 ，则较大多边形的面积是 　　　　　。 【答案】 相似多边形的对应边之比就是它们的相似比，所以相似比是 。 面积之比等于相似比的平方，即 。 设较小、较大多边形的面积分别为 、（）， 由面积之差是 得 ，即 ，。 所以较大多边形的面积是 。 13．如图， 与 是位似图形，位似中心为点 ，点 与 、 与 、 与 分别是对应点，且点 与点 在点 的两侧。若 ，，，则 　　　　　。 【答案】 位似图形中对应点到位似中心的距离之比等于位似比， 所以 。 把 代入，得 ，所以 ，。 14．图中四边形 与四边形 是相似四边形， 与 是对应角。若 ，，则 　　　　　。 【答案】 相似多边形的对应角相等，所以 。 去括号得 ，所以 ，。 15．如图，矩形 与矩形 是位似图形，位似中心为点 ，点 是矩形 的中心，且 。若矩形 的面积为 ，则矩形 的面积为 　　　　　。 【答案】 位似图形中对应点到位似中心的距离之比等于位似比，所以位似比为 。 位似图形一定是相似图形，位似比就是相似比，所以矩形 与矩形 的相似比为 。 相似多边形的面积之比等于相似比的平方，即 。 设矩形 的面积为 ，则 ，所以 ，。 16．位似图形 与 的位似比为 。若 边上的中线长为 ，则 边上的中线长为 　　　　　。 【答案】 位似图形一定是相似图形，且位似比就是相似比，所以 与 的相似比为 。 相似三角形中对应中线的比等于相似比，所以 边上的中线长为 。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，四边形 与四边形 都是矩形，且 。 (1) 求证：； (2) 求证：矩形 与矩形 相似。 【答案】见解析 (1) 证明：因为四边形 是矩形，所以 ，； 因为四边形 是矩形，所以 ，。 由 得 ，， 所以 。 (2) 证明：因为四边形 与四边形 都是矩形，所以 ，，，， 即它们的各角分别相等。 又由 (1) 知它们的各边分别成比例， 所以矩形 与矩形 相似。 18．（7 分）已知四边形 与四边形 相似，相似比为 ，其中 与 、 与 、 与 分别是对应角， 与 、 与 分别是对应边。已知 ，，，，。 (1) 求 的度数； (2) 求 与 的长； (3) 求四边形 与四边形 的周长之比。 【答案】(1) ；(2) ，；(3) (1) 四边形的内角和是 ，所以 。 因为四边形 与四边形 相似，对应角相等， 所以 。 (2) 因为相似比为 ，所以 ， 即 ，所以 ，； 同理 ，即 ，所以 ，。 (3) 相似多边形的周长之比等于相似比，所以它们的周长之比是 。 19．（7 分）如图，已知 和点 。以点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，作出 ，使 与 在位似中心 的同一侧（点 、、 分别是点 、、 的对应点）。 (1) 用直尺作出 （保留作图痕迹）； (2) 若 的面积为 ，求 的面积。 【答案】(1) 见解析；(2) (1) 作法如下： ① 连结 并延长，在射线 上取点 ，使 ； ② 同法在射线 上取点 ，使 ；在射线 上取点 ，使 ； ③ 依次连结 、、， 就是所求作的三角形。 (2) 因为 与 位似，位似比为 ，所以它们相似，相似比为 。 相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即 ， 所以 的面积是 。 20．（8 分）图中 与 是位似图形，位似中心为点 ，点 与 、 与 、 与 分别是对应点，且 与 在位似中心 的同一侧。设 。 (1) 求证：； (2) 若 ，且 的周长为 ，求 的周长。 【答案】(1) 见解析；(2) (1) 证明：因为 与 位似，位似中心为点 ， 所以点 、、 在同一条直线上，点 、、 在同一条直线上， 且 。 又 ，所以 （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 从而 。 同理 ，。 所以 ， 所以 （三边成比例的两个三角形相似）。 (2) 因为 ，相似比为 ， 所以它们的周长之比等于相似比，即 ， 所以 的周长为 。 21．（8 分） 的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为 、、。以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，得到 ，且 与 在原点 的同侧，点 、、 分别是点 、、 的对应点。 (1) 写出点 、、 的坐标； (2) 求 的面积； (3) 若点 是 内部的一点，直接写出它在 中的对应点 的坐标。 【答案】(1) ，，；(2) ；(3) (1) 以原点为位似中心、相似比为 ，且两个三角形在原点同侧时，点 的对应点的坐标是 。 所以 ，，。 (2) 在 中，， 点 到直线 （即直线 ）的距离是 ， 所以 。 因为 与 位似，位似比为 ，所以它们的相似比为 ， 相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即 ， 所以 。 (3) 。 22．（9 分） 的三个顶点的坐标分别为 、、，在平面直角坐标系中以原点 为位似中心作 ，使 与 位似，且 的面积等于 面积的 倍。 (1) 求 与 的相似比； (2) 求点 的对应点 的坐标，写出所有可能的结果； (3) 若 与 在原点 的同侧，求 的面积。 【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) (1) 位似图形一定是相似图形。设 与 的相似比为 ， 则它们的面积之比为 。由题意得 ，所以 （相似比取正值）， 即 与 的相似比为 。 (2) 以原点为位似中心、相似比为 的位似变换中，点 的对应点的坐标是 或 。 因为 ，所以点 的坐标是 或 。 其中 对应 与 在原点同侧， 对应两个三角形在原点两侧。 (3) 在 中，， 点 到直线 （即直线 ）的距离是 ， 所以 。 因为 ，所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7-4.8 相似多边形与位似图形分层练习 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.7 相似多边形　4.8 图形的位似 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下面的两个四边形中，四边形 是正方形，四边形 是长与宽不相等的矩形。下列判断中正确的是（　　） A．这两个四边形各角分别相等，所以它们相似　B．这两个四边形各边分别成比例，所以它们相似 C．这两个四边形不相似，因为它们各边不成比例　D．这两个四边形不相似，因为它们各角不相等 2．图中有两个四边形 与 ，它们相似，、、 分别与 、、 是对应角。若 ，，，则 的度数是（　　） A．　B．　C．　D． 3．如图，五边形 与五边形 是相似五边形，其中 与 、 与 分别是对应边。若 ，，，则 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 4．若两个相似多边形的相似比是 ，则它们的周长之比是（　　） A．　B．　C．　D． 5．已知两个相似多边形的相似比是 ，其中较小多边形的面积是 ，则较大多边形的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 6．四边形 与四边形 是位似图形（如图），位似中心为点 ，点 在四边形 的内部，且点 、、 在同一条直线上。下列关于位似图形的说法中，正确的是（　　） A．两个相似图形一定是位似图形　B．两个位似图形一定是相似图形 C．位似图形中任意一对对应点到位似中心的距离相等　D．位似图形的对应边一定相等 7．如图， 与 是位似图形，位似中心为点 ，点 、 在射线 上，点 、 在射线 上。若 ，，，则 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 8．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点 、、 的坐标分别是 、、。以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，得到 ，且 与 在原点 的同侧，则点 的坐标是（　　） A．　B．　C．　D． 9．两个相似多边形的面积之比是 ，则它们的相似比是（　　） A．　B．　C．　D． 10．下列关于相似多边形与位似图形的说法中，正确的是（　　） A．若两个相似多边形的面积之比是 ，则它们的相似比是 　B．两个位似图形的位似比等于它们的相似比 C．位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形　D．两个多边形的各边分别成比例，它们就一定相似 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．两个相似多边形的周长之比是 。若较大多边形的一边长为 ，则较小多边形中与之对应的边长为 　　　　　。 12．甲、乙两个相似多边形的对应边之比是 。若它们的面积之差是 ，则较大多边形的面积是 　　　　　。 13．如图， 与 是位似图形，位似中心为点 ，点 与 、 与 、 与 分别是对应点，且点 与点 在点 的两侧。若 ，，，则 　　　　　。 14．图中四边形 与四边形 是相似四边形， 与 是对应角。若 ，，则 　　　　　。 15．如图，矩形 与矩形 是位似图形，位似中心为点 ，点 是矩形 的中心，且 。若矩形 的面积为 ，则矩形 的面积为 　　　　　。 16．位似图形 与 的位似比为 。若 边上的中线长为 ，则 边上的中线长为 　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，四边形 与四边形 都是矩形，且 。 (1) 求证：； (2) 求证：矩形 与矩形 相似。 18．（7 分）已知四边形 与四边形 相似，相似比为 ，其中 与 、 与 、 与 分别是对应角， 与 、 与 分别是对应边。已知 ，，，，。 (1) 求 的度数； (2) 求 与 的长； (3) 求四边形 与四边形 的周长之比。 19．（7 分）如图，已知 和点 。以点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，作出 ，使 与 在位似中心 的同一侧（点 、、 分别是点 、、 的对应点）。 (1) 用直尺作出 （保留作图痕迹）； (2) 若 的面积为 ，求 的面积。 20．（8 分）图中 与 是位似图形，位似中心为点 ，点 与 、 与 、 与 分别是对应点，且 与 在位似中心 的同一侧。设 。 (1) 求证：； (2) 若 ，且 的周长为 ，求 的周长。 21．（8 分） 的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为 、、。以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，得到 ，且 与 在原点 的同侧，点 、、 分别是点 、、 的对应点。 (1) 写出点 、、 的坐标； (2) 求 的面积； (3) 若点 是 内部的一点，直接写出它在 中的对应点 的坐标。 22．（9 分） 的三个顶点的坐标分别为 、、，在平面直角坐标系中以原点 为位似中心作 ，使 与 位似，且 的面积等于 面积的 倍。 (1) 求 与 的相似比； (2) 求点 的对应点 的坐标，写出所有可能的结果； (3) 若 与 在原点 的同侧，求 的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $