统计与统计案例专项训练-2027届高三数学一轮复习

统计与统计案例测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．“互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三200人，则应从高一学生中抽取的人数为 A．10 B．20 C．30 D．40 3．某校“数学月”活动记录了名学生改进数学学习方法后，每天增加学习时间（分钟）与月考成绩增加分数（分）的几组对应数据： 根据表中提供的数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程为，则表中的值为 A． B． C． D． 4．如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 5．两个相关变量满足如下关系： 2 3 4 5 6 25 ● 50 56 64 根据表格已得回归方程：，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（  ） A．37 B． C．39 D． 6．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为(　　) A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 7．在一次演讲比赛中，8位评委对某选手的评分分别为8.6，8.8，8.8，9.0，9.2，9.3，9.5，9.7，记该组数据为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后所得评分记为数组，则数组与数组有相同的（   ） A．极差 B．平均数 C．方差 D．第40百分位数 8．某公司生产的某型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 0 1 2 3 4 年销售量y/万件 10 15 20 30 35 根据表中的数据，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，则预测2024年该型号无人机的年销售量为（    ） A．40万件 B．41.5万件 C．46万件 D．48万件 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知一组个数据：，满足：，中位数是，平均数为，方差为，则（    ） A． B． C．函数的最小值为 D．若成等差数列，则 10．对某中学的高中女生体重y(单位：)与身高x(单位：)进行线性回归分析，根据样本数据，计算得到相关系数，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则以下结论中正确的是（    ） A．x与y正相关 B．x与y具有较强的线性相关关系，得到的回归直线方程有价值 C．若该中学某高中女生身高增加，则其体重约增加 D．若该中学某高中女生身高为，则可断定其体重为 11．下列结论正确的是（    ） A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 B．已知随机变量，若，则 C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中） D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件 三、填空题（每题5分，共15分） 12．用线性回归某型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中_________（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性关系性最强． 13．某单位有技工人，技术员人，工程师人，需要从这些人中抽取一个容量为的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法，都不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则样本容量为_________. 14．在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______． 四、解答题（共77 分） 15．（13分）经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数与每辆车的销售价格（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据： 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 7 4.5 (1)试求y关于x的回归直线方程； (2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数的函数关系为，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 16．（15分）对某种电子元件进行寿命追踪调查，抽取若干个样本测试其寿命（单位:天），画出频率分布直方图，如图所示: (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若某公司大批量购置了一批30000个该种电子元件，估计这批电子元件中，寿命超过400天的有多少个? (3)估计该种电子元件寿命的平均数. 17．（15分）在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈. (1)根据上述信息完成下列列联表；零假设为：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1. 疗法 疗效 合计 痊愈 未痊愈 服用白开水 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论. 附：参考公式：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．（17分）某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格. 男生 女生 农作物种植课程 160 80 田间管理课程 40 120 (1)根据小概率值的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异. (2)选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率分别为，，，，，.学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：①，②，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19．（17分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. (2)为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《统计与统计案例测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C C D D B ACD ABC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据百分位数的计算公式求解即可 【详解】由题意，，故第80百分位数是 故选：C 2．C 【详解】试题分析：因,故应选C. 考点：抽样方法及运用． 3．A 【分析】计算出样本数据的中心点的坐标，将该点的坐标代入回归直线方程可解出的值. 【详解】由表格中的数据得，， 所以，样本数据的中心点为， 将该点坐标代入回归直线方程得，解得，故选A. 【点睛】本题考查利用回归直线方程计算原始数据，解题的关键就是利用回归直线过样本的中心点这一结论，考查运算求解能力，属于基础题. 4．C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 5．C 【分析】根据样本中心在回归直线上求得，利用平均值公式求出表格对应数据值. 【详解】因为，代入得：， 所以. 故选：C 6．D 【详解】①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查，此项调查的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围． ②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90∼100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围． ③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道，此项抽查，的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围． 本题选择D选项. 点睛：一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样． 二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等， 7．D 【详解】对于A：数组的极差为，数组的极差为，A不正确； 对于B：数组的平均数为， 数组的平均数为，B不正确； 对于C：数组的波动性较数组的波动性大，即数组的方差比数组的方差大，C不正确； 对于D：由，得数组的第40百分位数为， 由，得数组的第40百分位数为，D正确. 8．B 【分析】先根据题中所给的数据，计算得出样本中心点，代入求得，再将代入方程求得结果. 【详解】， 又因为直线过点， 故，解得， 则预测2024年该型号无人机的年销售量为（万件）， 故选：B 9．ACD 【分析】由中位数定义即可判断A,特例，2，4，即可判断B,由均值与数据总和关系展开函数式，结合二次函数性质确定最小值即可判断C；利用等差数列前项和公式，及平均数、中位数定义即可判断D． 【详解】对于A, B：由中位数定义知：，故A正确； 对于B，当时，一组数据1，2，4，17，则，不在2，4之间，故B错误； 对于C,， 二次函数的开口向上，对称轴为, 故当时，最小值为，故C正确； D：若，，，成等差数列，则，故D正确． 故选：ACD． 10．ABC 【分析】对A、B：直接利用相关系数r的意义判断； 对C、D：利用线性回归方程的意义判断即可. 【详解】对于A：因为相关系数>0，所以x与y正相关.故A正确； 对于B：因为相关系数，很接近于1，所以x与y具有较强的线性相关关系.故B正确； 对于C：由线性回归方程中系数的意义可得：x增加，则其体重约增加.故C正确； 对于D：当某女生身高为，其体重的估计值约为，而不是具体值.故D错误. 故选：ABC 11．BCD 【分析】根据相关系数的概念判断A，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B，根据卡方公式判断C，根据相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A：若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为，故A错误； 对于B：如，则，又，即 则，故B正确； 对于C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍， 则， 即也变成原来的倍，故C正确； 对于D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个， 事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个， 所以，， 又包含的基本事件有个，所以， 所以，则、互为独立事件，故D正确； 故选：BCD 12．乙 【详解】 由当数据的相关系数的绝对值越趋向于，则相关性越强可知，因为甲、乙、丙组不同的数据的线性相关系数分别为，所以乙线性相关系数的绝对值越接近， 所以乙组数据的相关性越强． 13． 【分析】分析出能被整除，能被整除，能被整除，由此可求得的值. 【详解】总体个数为，则能被整除， 且该单位技工、技术员、工程师的人数之比为，所以，能被整除， 根据题意可知，能被整除，故. 故答案为：. 14．10 【详解】已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数， 即中位数为． 极差是最大值12减去最小值4，即极差为． 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得． 此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10． 15．(1)； (2)预测时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大. 【分析】（1）利用最小二乘法计算求回归直线方程即可； （2）利用一次函数与二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）由表格可知：， 由最小二乘法得， ， 所以y关于x的回归直线方程为：； （2）据（1）中所求的回归方程可知： ， 由二次函数的性质可知，， 故时，， 由一次函数的性质可知，在时，， 综上，显然时，. 16．(1) (2)个 (3)天 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可； （2）首先求出寿命超过400天的概率，即可求出这一批电子元件中寿命超过400天的个数； （3）根据频率分布直方图中求平均数的规则计算可得； 【详解】（1）解：依题意，解得 （2）解：依题意可得寿命超过400天的概率为，所以（个） （3）解：该种电子元件寿命的平均数， 即该种电子元件寿命的平均数为天； 17．(1)列联表： 疗法 疗效 合计 痊愈 未痊愈 服用姜汤 30 10 40 服用白开水 35 25 60 合计 65 35 100 (2)认为姜汤对治疗感冒更有效果，理由： 【分析】（1）数据分析，填写列联表； （2）计算出卡方，与2.706比较后，得到结论. 【详解】（1）根据上述信息完成下列列联表； 疗法 疗效 合计 痊愈 未痊愈 服用姜汤 30 10 40 服用白开水 35 25 60 合计 65 35 100 （2）略 18．(1)有 (2)方式② 【分析】（1）根据公式求出卡方，结合表格即可判断； （2）根据公式分别求出、，即可判断. 【详解】（1）由已知得， ，依据小概率值的独立性检验， 可以判定男生和女生在选择课程的偏好上有差异； （2）， 根据①：. 根据②：. ，，，， 方式②对大偏差数据的体现更明显. 19．(1)（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系 (2)，与线性相关性很强 【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算根据临界值表判断即可； （2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断. 【详解】（1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率. （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过. （2）因为，， 所以， 故与线性相关性很强. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $