专题4.1.2 指数函数的性质与图象（高效培优讲义）（9大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题4.1.2 指数函数的性质与图象 教学目标 1．理解指数函数定义及解析式特征 2．掌握指数函数的图象和性质（定义域、值域等） 3．能根据底数判断指数函数单调性及图象位置 教学重难点 1.重点 指数函数定义；图象与性质（单调性、定点） 2.难点 底数对指数函数图象和单调性的影响 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 【即学即练】 1．（2026·高三·安徽六安·阶段检测）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．或 知识点02 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 【即学即练】 1．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型01 指数函数的概念 【典例1】若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【变式1-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·陕西延安·期末）下列函数一定是指数函数的是 A． B． C． D． 题型02 求指数函数的解析式或函数值 【典例2】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·甘肃兰州·学业考试）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式2-3】（2026·高一·吉林·期中）若指数函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03 指数函数的值域 【典例3】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·全国·期中）函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04 指数函数的图象 【典例4】若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（2026·高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 题型05 指数（型）函数的单调性 【典例5】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 题型06 比较指数幂的大小 【典例6】（2026·高一·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，则有（    ） A． B． C． D． 题型07 解简单的指数不等式 【典例7】已知，则不等式的解集为________． 【变式7-1】（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【变式7-2】（2026·高一·北京·期中）若，则实数的取值范围是______. 【变式7-3】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为________． 题型08 指数函数的分类讨论 【典例8】解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【变式8-1】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【变式8-2】（2026·高一·辽宁·期中）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【变式8-3】已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 题型09 恒成立问题 【典例9】已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-2】（2026·高一·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【变式9-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数和． (1)求函数的单调减区间； (2)当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． (3)若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 1．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 4．（2026·高一·安徽铜陵·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．－4 B．0 C．2 D．4 5．（2026·高一·四川·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·安徽·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·北京·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高三·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 11．（多选题）（2026·高一·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 12．（2026·高一·江西南昌·期中）函数的值域为______． 13．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 14．已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 15．已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 16．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 1．（2026·高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 3．（2026·高一·广东广州·期末）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·高一·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·辽宁大连·期中）已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 7．（2026·高一·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 9．（多选题）（2026·高一·四川·期中）在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 10．（多选题）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 12．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 13．设，则______． 14．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）方程有两实数解，则的取值范围是___________. 15．（2026·高一·辽宁·期中）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 16．（2026·高一·江西抚州·期末）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 17．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 18．（2026·高一·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1.2 指数函数的性质与图象 教学目标 1．理解指数函数定义及解析式特征 2．掌握指数函数的图象和性质（定义域、值域等） 3．能根据底数判断指数函数单调性及图象位置 教学重难点 1.重点 指数函数定义；图象与性质（单调性、定点） 2.难点 底数对指数函数图象和单调性的影响 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 【即学即练】 1．（2026·高三·安徽六安·阶段检测）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】根据指数函数的概念，得到，求解，即可得出结果.因为函数是指数函数， 所以，解得. 故选：B. 知识点02 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 【即学即练】 1．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 题型01 指数函数的概念 【典例1】若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【解析】由指数函数的定义得，解得. 【变式1-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 【变式1-2】若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 【变式1-3】（2026·高二·陕西延安·期末）下列函数一定是指数函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误； B：是幂函数，故错误； C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误； D：属于指数函数，故正确. 故选D. 题型02 求指数函数的解析式或函数值 【典例2】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 【变式2-2】（2026·高二·甘肃兰州·学业考试）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 【变式2-3】（2026·高一·吉林·期中）若指数函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设指数函数（且），又由函数的图象经过点，则， 解得或（舍），即，所以， 故选B. 题型03 指数函数的值域 【典例3】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3-1】（2026·高一·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 【变式3-2】（2026·高一·全国·期中）函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，所以， 因为函数为增函数，所以， 故． 故选：C． 【变式3-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 题型04 指数函数的图象 【典例4】若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】当时，函数图象如下图所示， 为得到图象， 则需要把图象向下平移个单位，如下图所示，则其图象必定不经过第二象限. 【变式4-1】（2026·高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 【变式4-2】（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 【变式4-3】（2026·高一·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【解析】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 题型05 指数（型）函数的单调性 【典例5】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若在R上单调递增， 则，解得，即的取值范围是. 【变式5-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 【变式5-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 【变式5-3】（2026·高一·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【答案】C 【解析】根据题意， ，定义域为，关于原点对称 对任意，有 ， 因此为奇函数，排除B、D选项； 因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立； 所以，为上的减函数，为上的增函数； 所以，为上的增函数，排除A选项， 所以，为奇函数，且为上的增函数. 题型06 比较指数幂的大小 【典例6】（2026·高一·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由，得， ． ． 【变式6-1】设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以， 所以. 【变式6-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 【变式6-3】已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，，函数在上是减函数，所以. 题型07 解简单的指数不等式 【典例7】已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 【变式7-1】（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】因为，， 所以 令，则， 即，解得或， 则或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-2】（2026·高一·北京·期中）若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为，所以，即， 所以，解得或，故所求范围是. 故答案为： 【变式7-3】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为________． 【答案】; 【解析】由指数函数单调性，原不等式可化为， 两边平方得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型08 指数函数的分类讨论 【典例8】解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【解析】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 【变式8-1】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【解析】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． （2）在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 【变式8-2】（2026·高一·辽宁·期中）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【解析】（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以 （2）， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为. 【变式8-3】已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 【解析】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 题型09 恒成立问题 【典例9】已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），. （2）对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 【变式9-1】已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 【变式9-2】（2026·高一·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 【变式9-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数和． (1)求函数的单调减区间； (2)当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． (3)若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为指数函数在上单调递减，所以在上单调递减， 二次函数在上单调递增，在单调递减， 所以的单调减区间为，． （2）由（1）知，在单调递增，所以， 当时，对任意，，都有成立，等价于， 解得． 所以a的取值范围为． （3）由题意得，， 并且对于值域中的每一个数，都至少有两个不同的数，使得成立， ①当时，函数在上单调递减，显然，此种情况不成立； ②当时，在上值域为， 由的图像可知，只要使得，则，解得； ③当时，在上值域为，由的图像可知， 要满足即可，即，解得， 综上所述，． 所以a的取值范围为． 1．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则. 故选：B 2．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是减函数，所以，所以，所以实数的取值范围是. 故选C. 3．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【解析】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 4．（2026·高一·安徽铜陵·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．－4 B．0 C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，即， 又，所以， 联立，解得，， 经检验，，满足要求， 故. 故选：A. 5．（2026·高一·四川·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取满足， 对于A，此时，故A错误； 对于B，此时，故B错误； 对于D，，故D错误； 对于C，因为函数在上单调递增，且， 所以，故C正确. 6．（2026·高一·安徽·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知 ，解得，所以的定义域为. 7．（2026·高二·北京·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 8．（2026·高一·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令可得，当时，由题意可得，解得. 9．（多选题）（2026·高三·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 10．（多选题）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【解析】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 11．（多选题）（2026·高一·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 12．（2026·高一·江西南昌·期中）函数的值域为______． 【答案】 【解析】因为， 所以， 因此，又因为， 所以函数的值域为. 13．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 14．已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由函数是指数函数，得，解得且， 又，而，因此函数是减函数，即，解得， 所以实数的取值范围是. 15．已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 【解析】（1）是奇函数．理由如下： 因函数的定义域是. 由， 可得函数是奇函数． （2）任取，且， 则 因为，所以，又， 则， 即 故函数是上的增函数． 16．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 【解析】（1）由于，所以，所以． （2）是偶函数，证明如下： ， 因为的定义域为，， 且，所以是偶函数． 1．（2026·高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 2．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 3．（2026·高一·广东广州·期末）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“”，即得，解集为； “”，即得，解集为； 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件 4．（2026·高一·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. 5．（2026·高一·辽宁大连·期中）已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 6．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 【答案】A 【解析】由题意可得，  所以， 故． 7．（2026·高一·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在 上图象位于 轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在 上图象位于 轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 8．若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【解析】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 9．（多选题）（2026·高一·四川·期中）在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 【答案】ABD 【解析】对于A，由于函数定义域为，且， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，其定义域为， 又，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于对于任意，则， 当时，，， 所以，即， 所以在上单调递增； 当时，，， 所以，即， 所以在上单调递减； 当时，，， 所以， 即，所以在上单调递减； 所以抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移不一定越小， 当抛射体发射角的正切值在上时，抛射体发射角的正切值越大， 相对水平位移越大，故C不正确； 对于D，由选项C知，的单调递减区间为和，递增区间为， 函数示意图如下： 由于当时，，，，当时，， 所以抛射体相对水平位移的取值范围是，故D正确. 10．（多选题）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 11．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【答案】ABD 【解析】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 12．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【解析】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 13．设，则______． 【答案】5 【解析】，，， 则，所以，原式. 14．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）方程有两实数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】方程有两实数解等价于与直线有两个交点. 画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 故答案为： 15．（2026·高一·辽宁·期中）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 【解析】（1）函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以. （2）是，理由如下： 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为. （3）令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为. 16．（2026·高一·江西抚州·期末）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【解析】（1）由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点， ， 解得：或（舍去）， . （2）代入，得： ， ， 令，当时，单调递增， 且，即， 则可转化为关于的函数， 对称轴为. 当时，则时， ，解得； 当时，则时， ，解得，舍去； 综上，可知. 17．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由题的定义域为R且为奇函数，故，解得， 此时，则，则是R上的奇函数， 故； （2）在R是增函数，证明如下： ， 任取，且， 则， 由，得， 又，所以，即， 所以在R是增函数； （3）因为函数是奇函数，所以等价于. 又在R是增函数，所以， 因为时，恒成立，所以， 故实数k的取值范围. 18．（2026·高一·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 故. （2）令，则该函数的定义域为，且该函数在上单调递增， 对任意的，，即函数为偶函数， 由可得，即， 故，两边平方并化简得，解得， 故原不等式的解集为. （3）因，对都有， 所以函数的图象关于直线对称，所以，可得，即， 所以，故函数的图象开口向上， 所以函数的减区间为，增区间为， 当时，，，且，故， 此时； 当时，，此时； 当时，，，且，故， 此时. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $