4.1.2 第2课时 指数函数性质与图象的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　指数函数性质与图象的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步熟练掌握指数函数的性质与图象，会求指数型函数的定义域和值域. 2.能利用指数函数的性质与图象解不等式.　3.掌握指数型函数单调区间的求法及单调性的判断. 题型(一)　指数型函数的定义域、值域 [例1]　求下列函数的定义域和值域： (1)y=；(2)y=；(3)y=. 解：(1)由已知得x应满足x-1≠0，∴x≠1. ∴定义域为(-∞，1)∪(1，+∞). ∵≠0，∴≠1. ∴y=的值域为(0，1)∪(1，+∞). (2)定义域为R. ∵|x|≥0， ∴y==≥=1. ∴此函数的值域为[1，+∞). (3)由题意知1-≥0， ∴≤1=. ∴x≥0.故定义域为[0，+∞). ∵x≥0，∴≤1. ∵>0，∴0<≤1. ∴0≤1-<1.∴0≤y<1. ∴此函数的值域为[0，1). |思|维|建|模| 函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法： 函数y=的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法： ①换元，令t=f(x)； ②求t=f(x)的定义域x∈D； ③求t=f(x)的值域t∈M； ④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域. 　　[针对训练] 1.求下列函数的定义域和值域： (1)y=； (2)y=. 解：(1)要使函数式有意义，则1-3x≥0，即3x≤1=30.因为函数y=3x在R上是增函数， 所以x≤0.故函数y=的定义域为(-∞，0].因为x≤0，所以0<3x≤1. 所以0≤1-3x<1.所以∈[0，1). 即函数y=的值域为[0，1). (2)定义域为R.因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4， 所以≤=16. 又>0， 所以函数y=的值域为(0，16]. 题型(二)　指数型函数的单调性 [例2]　判断f(x)=的单调性，并求其值域. 解：令u=x2-2x，则原函数变为y=. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，又y=在(-∞，+∞)上单调递减，∴f(x)=在(-∞，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减.∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，∴y=，u∈[-1，+∞). ∴0<≤=3.∴原函数的值域为(0，3]. [变式拓展] 1.把本例的函数改为“f(x)=”，求其单调区间. 解：设t=-x2-x，则原函数变为y=3t. 当x∈时，t=-x2-x单调递增，y=3t单调递增，因此f(x)=在上单调递增；当x∈时，t=-x2-x单调递减，y=3t单调递增，因此f(x)=在上单调递减.因此函数f(x)=的单调递增区间为，单调递减区间为. 2.本例若变为函数f(x)=在区间(-1，1)上单调递减，求实数m的取值范围. 解：由复合函数的同增异减性质可得，y=2x2+mx-3在(-1，1)上严格单调递增， 即-≤-1，解得m≥4. 所以m的取值范围是[4，+∞). |思|维|建|模| (1)指数型函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y=au，u=f(x)的复合而成的. (2)求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=f(u)，u=φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f(φ(x))的单调性. 　　 [针对训练] 2.设函数f(x)=在(1，2)上 (　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析：选B　令u=-x2+2x，∵y=在R上是减函数，u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞，1)上是增函数，在[1，+∞)上是减函数，∴f(x)=在(-∞，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数，∴函数f(x)=在(-1，2)上先减后增. 3.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则m的取值范围是　　　　.  解析：令t=|2x-m|，则t=|2x-m|在区间上单调递增，在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2，+∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(-∞，4]. 答案：(-∞，4] 题型(三)　解指数不等式 [例3]　(1)解不等式≤2； (2)已知<(a>0，且a≠1)，求x的取值范围. 解：(1)∵2=， ∴原不等式可以转化为≤. ∵y=在R上是减函数，∴3x-1≥-1.∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)①当0<a<1时，函数f(x)=ax在R上是减函数，∴x2-3x+1>x+6.∴x2-4x-5>0. 解得x<-1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)=ax在R上是增函数， ∴x2-3x+1<x+6.∴x2-4x-5<0. 解得-1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x<-1或x>5}；当a>1时，x的取值范围是{x|-1<x<5}. |思|维|建|模| (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需要进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). [针对训练] 4.求满足下列条件的x的取值范围： (1)3x-1>9x； (2)0.2x<25； (3)a-5x>ax+7(a>0，且a≠1). 解：(1)∵3x-1>9x，∴3x-1>32x. 又y=3x在定义域R上是增函数， ∴x-1>2x，∴x<-1. 即x的取值范围是(-∞，-1). (2)∵0<0.2<1， ∴指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数. 又25=0.2-2， ∴0.2x<25. 即0.2x<0.2-2， ∴x>-2. 即x的取值范围是(-2，+∞). (3)当a>1时，∵a-5x>ax+7， ∴-5x>x+7， 解得x<-； 当0<a<1时，∵a-5x>ax+7， ∴-5x<x+7，解得x>-. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是. 题型(四)　指数函数性质的综合问题 [例4]　已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4，定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)确定y=g(x)的解析式； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 解：(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1)，由g(2)=a2=4，得a=2，故g(x)=2x. (2)由(1)知f(x)=， 且在R上是奇函数，则f(0)==0， 易得n=1， 所以f(x)=，由f(-1)==-f(1)=，得2(m+1)=4+m，解得m=2， 所以f(x)==-，在(-∞，+∞)上为减函数，经验证f(x)满足奇函数， 所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2)，所以t2-2t>k-2t2，即3t2-2t-k>0恒成立，故Δ=4+12k<0，即k<-，即实数k的取值范围为. |思|维|建|模| 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. [针对训练] 5.已知函数f(x)=. (1)若f(x)为奇函数，求a的值； (2)当a<0时，函数f(x)在[m，n]上的值域为，求a的取值范围. 解：(1)由f(x)==1+， 所以f(-x)=1+=1+， 因为f(x)为定义域上的奇函数， 所以f(x)+f(-x)=0， 即1++1+=0，化简得 +=-1， 则a·32x-a2·3x+a-a2·3x+3x-a-a·32x+a2·3x=0，得a2=1，所以a=-1或a=1. (2)当a<0时，f(x)==1+， 所以y=f(x)是R上的增函数. 因为函数f(x)在[m，n]上的值域为， 所以f(m)==-，f(n)==-，即m，n是方程=-的两个根，则得a=.设t=1-3x<0，则a===t+-3，t<0.根据对勾函数性质可得y=t+-3在(-，0)上单调递减，在(-∞，-)上单调递增，其中y=t+-3在(-∞，0)上的值域为(-∞，-2-3]，当t=-时取最大值.综上可得a<-2-3， 所以a的取值范围为(-∞，-2-3). 学科网（北京）股份有限公司 $