专题4.1.1 实数指数幂及其运算（高效培优讲义）（6大题型）高一数学人教B版必修第二册

4.1.1 实数指数幂及其运算 教学目标 1．理解根式、分数/无理数指数幂的概念及性质 2．掌握有理数指数幂的运算性质并能计算 3．能区分正负分数指数幂的意义及0的指数幂限制 教学重难点 1.重点 根式性质；分数指数幂意义；有理数指数幂运算性质 2.难点 根式与分数指数幂的转化；无理数指数幂的理解 知识点01 根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 【即学即练】 1．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因有意义， 需使，解得. 知识点02 指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 1．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 题型01 利用根式的性质化简 【典例1】（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 【变式1-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 【变式1-2】（2026·高一·全国·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】， 故选：A 【变式1-3】（2026·高一·云南红河·开学考试）已知，那么化简代数式的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【解析】 ，， ∴， 即的化简结果为. 题型02 利用指数幂运算性质化简 【典例2】（2026·高一·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 【答案】 /0.5 【解析】 【变式2-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）___________． 【答案】/0.4 【解析】． 【变式2-2】（2026·高一·江西南昌·期中）化简：的值为_________． 【答案】1 【解析】 ． 【变式2-3】（2026·高一·安徽·期中）求值：_____． 【答案】 【解析】原式． 题型03 解简单的指数方程 【典例3】（2026·高一·上海·期中）若为方程的两个根，则___________． 【答案】4 【解析】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 【变式3-1】（北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高一12月阶段性质量检测数学试题）已知是方程的两个根，若，则__，__. 【答案】 2 0 【解析】由题意得方程有两个根， 则方程有二正根， 则，解之得， 又是方程的两个根， 则，又，则， 解之得或（舍）， 则，又， 则，解之得或 则，或，则 故答案为：2，0 【变式3-2】（2026·高一·北京顺义·期中）关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·高一·上海奉贤·期中）已知方程的两个根为、，则________. 【答案】/ 【解析】由韦达定理可得，故. 故答案为：. 题型04 根式与分数指数幂的互化 【典例4】用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式. 【变式4-1】用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式4-2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【解析】（1） （2） （3）因为， 所以 【变式4-3】将下列根式与分数指数幂进行互化. （1）；（2）. 【解析】 题型05 指数幂条件求值问题 【典例5】（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【解析】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 【变式5-1】（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【解析】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 【变式5-2】正实数满足,若,,求的值. 【解析】最小幂换元，设,则条件化为, ,, 所以原式 . 【变式5-3】已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【解析】（1）将两边平方，得， 所以 ． （2）由（1）知，两边平方，得， 所以． 题型06 根式与指数幂综合化简求值 【典例6】化简求值： (1)； (2). 【解析】（1）原式 ； （2）原式 . 【变式6-1】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式. 【变式6-2】（2026·高一·山东济南·期中）化简求值：（请写出化简步骤过程） （1） （2） 【解析】（1） ， （2） . 【变式6-3】计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； (7)（，）. 【解析】（1） （2） （3） . （4） . （5） （6） . （7） . 1．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误. 2．（2026·高一·河南·阶段检测）下列函数中，与是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，其定义域为，值域为． 对于A，由的值域为，即与值域不同，所以其与不是同一个函数，故A错误； 对于B，由，即与对应法则不同，所以其与不是同一个函数，故B错误； 对于C，由值域为，即与值域不同，所以其与不是同一个函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，值域为，所以其与是同一个函数，故D正确． 3．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 4．（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 5．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 【答案】E 【解析】 6．下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，. 7．（2026·高一·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 8．（多选题）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】AD 【解析】∵，∴，∴. 9．（多选题）（2026·高一·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 10．（多选题）（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：BC. 11．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【解析】. 12．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 【答案】 【解析】因为且，易得， 由，因，则得， 故． 13．（2026·高一·上海普陀·阶段检测）将化简为指数幂的形式为__________． 【答案】 【解析】由题知，，则. 14．已知，求的值 【解析】由题意，， 所以. 15．（2026·高一·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【解析】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 1．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【解析】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 2．（2026·高一·河南南阳·期末）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为分段函数， 所以， . 故选：D. 3．（2026·高一·广东·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得，所以，整理得，所以. 故选：B. 4．（2026·高一·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误； 故选：B. 5．（2026·高一·河北·期中）如果为实数，且，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，则，故A不合题意； 对于B，若取，则，故B不合题意； 对于C，若取，则，故C不合题意. 故选：D. 6．（2026·高一·河南南阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 7．（2026·高三·广东江门·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 8．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 9．（多选题）（2026·高一·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 10．（2026·高一·山西阳泉·期末）化简：____________ 【答案】 【解析】原式. 11．化简根式______. 【答案】 【解析】因为，所以 . 故答案为：. 12．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 【答案】或 【解析】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 13．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 【解析】（1）原式. （2）因为，所以， 所以． 14．化简： 【解析】 15．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【解析】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.1 实数指数幂及其运算 教学目标 1．理解根式、分数/无理数指数幂的概念及性质 2．掌握有理数指数幂的运算性质并能计算 3．能区分正负分数指数幂的意义及0的指数幂限制 教学重难点 1.重点 根式性质；分数指数幂意义；有理数指数幂运算性质 2.难点 根式与分数指数幂的转化；无理数指数幂的理解 知识点01 根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 【即学即练】 1．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点02 指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【即学即练】 1．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 题型01 利用根式的性质化简 【典例1】（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·全国·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-3】（2026·高一·云南红河·开学考试）已知，那么化简代数式的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 题型02 利用指数幂运算性质化简 【典例2】（2026·高一·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 【变式2-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）___________． 【变式2-2】（2026·高一·江西南昌·期中）化简：的值为_________． 【变式2-3】（2026·高一·安徽·期中）求值：_____． 题型03 解简单的指数方程 【典例3】（2026·高一·上海·期中）若为方程的两个根，则___________． 【变式3-1】（北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高一12月阶段性质量检测数学试题）已知是方程的两个根，若，则__，__. 【变式3-2】（2026·高一·北京顺义·期中）关于的方程的解为______． 【变式3-3】（2026·高一·上海奉贤·期中）已知方程的两个根为、，则________. 题型04 根式与分数指数幂的互化 【典例4】用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式4-2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【变式4-3】将下列根式与分数指数幂进行互化. （1）；（2）. 题型05 指数幂条件求值问题 【典例5】（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【变式5-1】（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【变式5-2】正实数满足,若,,求的值. 【变式5-3】已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 题型06 根式与指数幂综合化简求值 【典例6】化简求值： (1)； (2). 【变式6-1】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【变式6-2】（2026·高一·山东济南·期中）化简求值：（请写出化简步骤过程） （1） （2） 【变式6-3】计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； (7)（，）. 1．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·河南·阶段检测）下列函数中，与是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 5．的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 6．下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 9．（多选题）（2026·高一·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 12．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 13．（2026·高一·上海普陀·阶段检测）将化简为指数幂的形式为__________． 14．已知，求的值 15．（2026·高一·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 1．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 2．（2026·高一·河南南阳·期末）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．（2026·高一·广东·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（2026·高一·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·河北·期中）如果为实数，且，那么一定有（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·河南南阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．（2026·高三·广东江门·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·山西阳泉·期末）化简：____________ 11．化简根式______. 12．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 13．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 14．化简： 15．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $