精品解析：江苏无锡市青阳初级中学2026-2027学年八年级上学期10月练习数学试卷

八年级上学期数学第一次限时练习 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、=2，故本选项错误； B、=3，故本选项错误； C、=9，故本选项错误； D、=13，故本选项正确． 故选D． 3. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根，如果一个数满足，则叫做的平方根．据此进行解答即可． 【详解】解；∵， ∴ 16的平方根是， 故选：B． 4. 如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知三角形，利用两角及其夹边分别相等的两个三角形全等即可求解． 【详解】解：根据所给三角形，小明根据“”，画了一个与原三角形一样的三角形， 故选：B． 5. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 6. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】解：， ∴ 是公路的中点， ， ，两点间的距离为； 故选：B 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，，平分，平分，则线段与一定满足的关系为（ ） A. 只有垂直且平分 B. 只有垂直且平分 C. 与互相垂直且平分 D. 与只垂直但不平分 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，再证明、，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答.  【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， 垂直平分， 同理：，垂直平分， 与互相垂直且平分，即选项C符合题意. 9. 如图，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，四边形ABCD，AB＝4BC，对角线AC，BD交于点O，BD⊥AD，∠ABD＝∠CBD＝α，（0°＜α＜90°）．萧临同学看到题中的条件的高线（BD⊥AD）和角平分线（∠ABD＝∠CBD），想到把四边形转化为三角形来解题：延长BC和AD交于点E，则△ABE为等腰三角形……，由此他得到了两个结论：①若α＝60°，则；②设△ABO和△CDO的面积之差为y，当α＝45°时，y最大．则萧临同学得到的两个结论（　　） A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】如图1中，当α=60°时，延长AD交BC于点E，过点C作CF⊥DB于点F．设AB=4a．解直角三角形求出CD，即可判断①正确．如图2中，过点A作AN⊥BE于点N，过点D作DM⊥BE于点M，由题意可知y=BC•AN，当∠ABC=90°时，AN最大，即y的值最大，由此即可判断②正确． 【详解】解：如图1中，当α＝60°时，延长AD交BC于点E，过点C作CF⊥DB于点F．设AB＝4a． ∵BD⊥AE， ∴∠ADB＝∠EDB＝90° ∵∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴∠E＝∠BAD＝30°， ∴BA＝BE＝4a， ∵AB＝4BC， ∴BC＝a，BDAB＝2a，ADBD＝2a， 在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，∠BCF＝90°-60°=30°， ∴BFBCa，CFBFa， ∴DFa， ∴, ∴,故①正确， 如图2中，过点A作AN⊥BE于点N，过点D作DM⊥BE于点M，则DM∥AN， ∵DM∥AN，AD＝DE， ∴DM为△ANE的中位线, ∴DMAN， ∵△AOB与△COD的面积差为y， ∴△ACB与△DCB的面积差为y， ∴y•BC•AN•BC•DM＝BC•AN， ∵AN⊥BC， ∴AN≤AB， ∵AC⊥BC时，AC＜AB， ∴当AB⊥BC时，AN=AB，此时AN最大，即y值最大， ∴当∠ABC=90°时，y的值最大，此时α＝45°，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30°的直角三角形性质、三角形的中位线性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（共8小题，每题3分） 11. 如图，是的中线，若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 12. 若x，y满足，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，算术平方根．熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性，算术平方根是解题的关键． 由题意得，求得，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：2． 13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题题主要考查了平方根的定义，要注意：一个正数有正、负两个平方根，这两个平方根互为相反数． 14. 如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：的周长为，即， DE垂直平分AB， ， ， ， ， 故答案为：8． 15. 如图，中，，平分，，则的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 17. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形的外角的性质．熟记直角三角形的性质的内容是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 则的面积． 故答案为：4． 18. 如图，在等腰中，，，，N为线段上的任意一点，的平分线交于点D， M是上的动点， 连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一性质得出垂直平分，利用轴对称性质将转化为，从而，根据垂线段最短可知当时和最小，利用等面积法求出的长即可. 【详解】 解：，平分， ，， 是的垂直平分线， 点与点关于直线对称， ， ， ∴当、、三点共线且时，最小，最小值为的长， ， ， ，即的最小值是. 三、解答题（共8题，共66分） 19. 求下列各式中x的值． （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）的面积是 ； （2）利用网格线画，使它与关于直线l对称； （3）求作一格点P，使的周长为最小值． 【答案】（1） （2）如图所示：即为所求； （3）如图所示：点P即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据割补法计算即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）连接交直线l于点P，根据两点之间线段最短可知点P即为所求． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的周长， 可知点P即为所求． 21. 已知，如图，D是的边上一点，交于点E，点E为线段的中点，．求证：． 【答案】 ∵点E为线段的中点， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】因为点E为线段的中点，所以，又因为，，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握“”证明是解题的关键． 22. 如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质；首先根据可得，再由，可得，然后再利用定理可判定， 可得． 【详解】略 23. 如图，在中，，G为的中点，交的平分线于D，于E，于F． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵且平分， ∴． ∵为的平分线，， ∴， 在和中 ， ， ∴． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出，就可以得出，进而就可以求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC= 90º，M、N分别是AC、BD的中点， 求证：（1）MD=MB； （2）MN平分∠DMB． 【答案】（1）MD=MB；（2）MN平分∠DMB 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明； （2）根据等腰三角形的三线合一证明． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点， ∴MB=AC，MD=AC， ∴MB=MD， （2）由（1）知DM=BM ∵DN=BN， ∴MN⊥BD（三线合一）． 考点：等腰三角形 25. 按要求回答问题 （1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明：，，，在直线上， ， 直线，直线， ， 在中，， ， 在和中， ，，， ． ，， ； （2）解：结论仍然成立． 证明如下：，，，在直线上， ， 在中，， ， ， 在和中， ，，， ． ，， ， 结论仍然成立． 【解析】 【分析】（1）由及，，利用互余关系证，再由证，得，，从而． （2）将推广为任意角，同理利用三角形内角和与平角关系证，再由证全等，结论仍然成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，等边中，过点A在边的右侧作射线，，点B与点E关于射线对称，连接，，且交射线于点D，过C、E两点的直线交射线于点F，连接． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，点M为射线上的一动点，过点M作于点N，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】（1）， （2）证明：如图，在上截取，连接， 由（）得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （3）． 【解析】 【分析】（）由是等边三角形，则，，根据点与点关于射线对称，故有垂直平分，所以，，然后根据等腰三角形的性质和角度和差即可求解； （）在上截取，连接，通过角度和差，等腰三角形的性质可得出，然后证明，则，又，则是等边三角形，故有，然后由线段和差即可求证； （）连接，由（）得垂直平分，则，所以当点三点共线时，的值最小，通过三角形的外角性质，等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于射线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（）得垂直平分， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期数学第一次限时练习 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 8. 如图，，平分，平分，则线段与一定满足的关系为（ ） A. 只有垂直且平分 B. 只有垂直且平分 C. 与互相垂直且平分 D. 与只垂直但不平分 9. 如图，，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD，AB＝4BC，对角线AC，BD交于点O，BD⊥AD，∠ABD＝∠CBD＝α，（0°＜α＜90°）．萧临同学看到题中的条件的高线（BD⊥AD）和角平分线（∠ABD＝∠CBD），想到把四边形转化为三角形来解题：延长BC和AD交于点E，则△ABE为等腰三角形……，由此他得到了两个结论：①若α＝60°，则；②设△ABO和△CDO的面积之差为y，当α＝45°时，y最大．则萧临同学得到的两个结论（　　） A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二．填空题（共8小题，每题3分） 11. 如图，是的中线，若，则_____． 12. 若x，y满足，则的值是________． 13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则为________． 14. 如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ________． 15. 如图，中，，平分，，则的面积是____________． 16. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 17. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 18. 如图，在等腰中，，，，N为线段上的任意一点，的平分线交于点D， M是上的动点， 连接，则的最小值是_______． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 求下列各式中x的值． （1） （2） （3） 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）的面积是 ； （2）利用网格线画，使它与关于直线l对称； （3）求作一格点P，使的周长为最小值． 21. 已知，如图，D是的边上一点，交于点E，点E为线段的中点，．求证：． 22. 如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 23. 如图，在中，，G为的中点，交的平分线于D，于E，于F． （1）求证：； （2）求的长． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC= 90º，M、N分别是AC、BD的中点， 求证：（1）MD=MB； （2）MN平分∠DMB． 25. 按要求回答问题 （1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 26. 如图，等边中，过点A在边的右侧作射线，，点B与点E关于射线对称，连接，，且交射线于点D，过C、E两点的直线交射线于点F，连接． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，点M为射线上的一动点，过点M作于点N，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $