第3章 代数式（单元解读讲义）数学新教材人教版七年级上册

第三章 代数式（单元解读） 01课程标准 数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界。 在小学阶段，学生认识了正有理数，掌握了正有理数的四则运算，知道可以用字母表示数、数量关系及规律。在初中阶段，学生将认识负数、无理数，学习它们的四则运算，还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容。这些内容构成了初中阶段数与代数领域“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题。 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是一类应用广泛的数学工具；“函数”主要研究变量之间的关系，探索事物变化的规律；借助函数可以认识方程和不等式。 数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。 【内容要求】 代数式 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 【学业要求】 1. 代数式 能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值；会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）；知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）；知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。 02单元内容分析 1. 教材地位 本单元为人教版七年级上册第三章“代数式”。学生在小学已接触用字母表示数、运算律和简单公式，本章承接前两章有理数概念与运算，将关注点由“算出一个数”转向“用式子表示一类数量关系”，是从算术思维走向代数思维的重要起点。它为后续整式的加减、一元一次方程及函数学习提供符号语言基础。 本章直接落实课程标准中代数式内容要求①②③。上列【学业要求】是第四学段“代数式”主题的完整要求，涉及的整式运算、乘法公式、因式分解和分式运算等不作为本章教学任务。素材中的正、反比例用于深化数量关系的表达，不扩展到函数图像和性质；整体代入仅作基于运算律的初步观察，不提前系统讲授合并同类项等法则。 2. 知识结构 本单元沿“情境中的数量关系—代数式的概念与书写—文字语言与符号语言互译—比例关系的表示—代数式的值—公式和生活应用”展开。3.1侧重由具体到一般，用一个式子概括数量关系；3.2侧重由一般到具体，在给定字母取值后计算并解释结果，形成“现实问题—列式—代入—计算—检验”的学习链条。 （1）概念与书写：辨认代数式，明确单独一个数或字母也是代数式；掌握乘法简写、带分数系数、分数线表示除法及和差式带单位的书写要求。 （2）列式与互译：抓住“和、差、积、商、倍、平方”等关键词，分析购物、工程、面积等问题中的基本数量关系，正确使用括号。 （3）比例关系：用 或 表示反比例关系，其中 、；与比值一定的正比例关系比较，区分“乘积一定”和“和一定”。 （4）求值与应用：明确字母的取值及限制条件，规范代入负数、分数，按有理数运算顺序求值；借助已有几何公式和生活数量关系解决实际问题。 3. 课时安排 依据素材中5份教学设计安排5课时，每课时45分钟，共225分钟。3.1“列代数式表示数量关系”3课时，依次学习概念、书写与意义，文字互译与实际列式，正、反比例关系；3.2“代数式的值”2课时，依次学习代入求值及其规范、公式和实际应用。每课按课程导入5分钟、新知讲授20分钟、课堂互动15分钟、课堂小结5分钟组织，可根据学情调整节奏。 03学情分析 1. 已有基础 学生已有用字母表示运算律、图形周长和面积公式的经验，刚完成有理数的加减乘除、乘方及混合运算，能够处理基本的数值计算。熟悉的购物、行程、工程和几何测量情境，为数量关系分析提供了直观支撑，但不能据此假定学生已经学过整式分类与整式运算法则。 2. 认知难点 学生容易把字母只看成某个待求的数，尚未充分体会字母对一类数量的概括作用；也可能认为代数式必须含字母，或把 整体当成代数式。文字互译时，常混淆“和的平方”与“平方和”，忽视括号所限定的运算范围；工程问题中，则不易理解把总工作量看作单位“1”的表示方法。 求值的主要障碍是符号和运算顺序：负数代入不加括号，混淆 与 ，省略数字之间的乘号，或忘记分母不能为0。比例判断中，学生容易仅凭“一个增大、另一个减小”作结论，未检查乘积是否恒定。整体代入对结构观察要求较高，应作为分层提升，避免削弱基础代入训练。 3. 教学对策 沿用素材中的采摘机器人、造雪、排球采购和跑道等情境，采用“先说数量关系，再列代数式，最后解释式子”的表达路径。通过成对辨析、同伴改错、规范板演和分层练习，分别解决概念边界、括号作用、比例依据和代入符号问题；让学生用单位、取值范围及实际意义检验结果。 04单元学习目标 ①借助机器人采摘、铺管道和正方形等情境，了解代数式的概念，能识别单独的数、字母及运算式，进一步体会字母表示数的简洁性和一般性，发展符号意识。 ②掌握代数式的书写要求，能说明式子中各部分的数量意义；能区分运算顺序不同的文字表述，完成文字语言与符号语言的互译。 ③能分析购物、工程、几何等具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能依据比值一定或乘积一定判断正、反比例关系，说明字母取值与情境的联系，发展抽象能力和模型观念。 ④理解代数式的值的含义，能按“一代、二算、三验”完成求值；负数、分数代入时正确使用括号，数字相乘不省略乘号，并检查分母及运算顺序，发展运算能力。 ⑤能调用并核对已有周长、面积等公式，经历“分析图形—列代数式—代入求值”的过程；能在工资、话费等问题中统一单位、比较结果并作出解释，形成规范表达和检验反思的习惯。 05教学重难点 1. 教学重点 代数式的概念和规范书写；依据文字及实际情境分析数量关系并准确列式；用乘积一定和比值一定辨析反比例与正比例关系；理解代数式的值，掌握规范代入及有理数运算；运用已有公式解决简单的周长、面积和费用问题。 2. 教学难点 准确理解字母和括号所表达的数量关系，区分相近文字表述；从工程和比例情境中找出不变量；代入负数、分数时正确保留运算结构；在组合图形中识别整体与局部、直径与半径；对整体代入作初步结构观察，并能结合单位和实际意义检验结果。 06教学方法 （1）情境教学法：以素材中的采摘机器人、造雪任务和排球采购等真实背景激活经验，使字母与式子始终对应明确的量，避免脱离情境记规则。 （2）问题驱动与归纳法：从若干数值算式归纳含字母的式子，再从实例概括代数式概念、反比例特征与求值步骤，经历由特殊到一般、再回到特殊的过程。 （3）比较辨析法：围绕和的平方与平方和、有括号与无括号、比值一定与乘积一定、负数的平方与平方的相反数进行成对比较，要求说明依据而非只报答案。 （4）合作交流与分层练习法：用同伴互译、板演改错和图形分析检验理解；基础层落实列式与直接代入，提升层观察整体结构，应用层解释几何和费用结果，及时依据表现调整教学。 07教学资源 教师从原素材准备机器人情境图、造雪数据、圆柱容器、跑道和三角尺示意图，并核对图中各字母表示的量。准备代数式书写纠错卡、文字互译卡、求值步骤卡和必要的计算器；计算器用于检验和近似计算，不代替数量关系分析与代入过程。素材中信息不完整的利息例题不纳入本讲义，几何示意图课堂展示时以原素材为准。 08教学过程 第1节 列代数式表示数量关系（3课时） 第1课时 代数式的概念、书写与意义 1. 课程导入（5分钟） 展示素材中的苹果采摘机器人：每秒识别5 m²范围内的苹果，10秒识别50 m²，60秒识别300 m²， 秒识别 m²；识别 m²需要 秒。再追问：一个机械手每8秒采摘1个苹果，搭载 个机械手（），工人每5秒采摘1个，二者同时工作1小时，机器人比工人多采摘多少个？学生按3600秒列式，得到 个。观察这些式子，体会字母能够概括同类计算。 2. 新知讲授（20分钟） 先由铺设2 km管道、 天完成列出日均长度 km（），由边长为 的正方形写出周长 、面积 。观察各运算式，归纳代数式的概念，补充单独一个数或字母也是代数式，等式和不等式整体不是代数式。接着归纳书写要求： 简写为 ， 简写为 ， 写成 ；数字1与字母相乘时1省略， 写成 ， 写成 ；带分数与字母相乘应化成假分数，如1又四分之一与 的积写作 ；除法用分数线，如 写成 （）；和差式带单位时整体加括号，如 kg。最后按运算顺序解释 是“ 的2倍与3的和”， 是“ 与3的和的2倍”， 是“ 除以 、 的积的商”（）。 3. 课堂互动（15分钟） 先辨认2025、、、、，其中2025、、 是代数式，共3个，含分母者需 。再按素材改错： 改为 ，3又三分之一与 的积改为 ， 天改为 天， 改为 ， 符合书写要求。最后同伴互译 、 与 ，说明后两式分别表示“平方的差”和“差的平方”，重点检查括号及运算顺序。 4. 课堂小结（5分钟） 回扣“情境—数量关系—代数式”：代数式既可以是数与字母的运算式，也可以是单独一个数或字母；表示相等或不等关系的整个式子不属于代数式。学生口述数字在前、乘号简写、带分数化假分数、除法写分数及和差式带单位加括号等要求，并用“先……再……”说明式子的意义。 第2课时 文字互译与实际问题中的列式 1. 课程导入（5分钟） 复习代数式的概念与书写要求，辨认 是规范写法。引入素材食堂采购问题：购买2个单价为 元的面包和3瓶单价为 元的饮料，一共需要多少钱？学生先说“总价等于各类商品的单价乘数量后相加”，再列出 元，明确列式是把文字中的数量关系转为符号表达。 2. 新知讲授（20分钟） 按素材顺序先开展文字互译：、 两数的和与差的积为 ，差的顺序按文字确定；和的平方为 ，平方和为 ； 的3倍与 的平方的差为 ，、 的差的平方的3倍为 。让学生圈出关键词，说明先后顺序。再回到购物问题，并列出5元面值人民币 张、10元面值人民币 张的总金额为 元。接着研究工程问题：总工作量看作1，甲、乙单独完成分别需 、 天（、），效率分别为 、；甲做3天完成 ，甲先做2天、乙再做5天，合计完成 ；合作完成所需时间为 天。强调先找总量、效率与时间的关系，不凭字母顺序拼式子；分段完成量按任务可实施的条件理解。 3. 课堂互动（15分钟） 安排学生独立列式、同伴解释并检查。①甲单独完成工程需10天，乙需15天，只列合作时间、不计算： 天。② kg糖果售价 元，8 kg售价 元，先求每千克单价，且 。③两块棉花田面积分别为 、 m²，产棉分别为 、 kg，平均产棉量为 kg/m²，不是两个单块平均产量的简单相加。核对每题中的量、运算顺序、括号和单位；请学生反向用文字解释所列代数式。 4. 课堂小结（5分钟） 归纳列代数式的一般步骤：审题，抓关键词；找基本数量关系或公式；分别表示所需的量；列式后检查运算顺序、书写和单位。对比“和的平方”与“平方和”，强调括号确定运算范围；工程问题先说明总工作量为1，再表示效率和合作时间。 第3课时 用代数式表示正、反比例关系 1. 课程导入（5分钟） 沿用冬奥会赛场造雪素材：计划造雪260000 m³，每天造雪5000、5200、6500 m³时，分别需要52、50、40天。学生观察并计算 ，说出在这一正量情境中每天造雪量增加、所需天数减少，但二者乘积始终不变，由此引出反比例关系。 2. 新知讲授（20分钟） 先归纳反比例关系的核心：两个相关联的量，乘积一定。辨析 、、，只有第三个表示 、 的乘积为非零定值5。再抽象为 或 ，其中 是确定的非零值、，实际背景还需满足相应取值限制。用面积20 cm²的长方形表示 、；用120 km路程表示 、。最后对比正、反比例：比值一定是正比例关系，乘积一定是反比例关系。按素材分析投影仪灯泡总使用1500小时，日使用 小时、可用 天，；固定单价 元、总金额 元与件数 ，；作业总量 一定，已完成 、未完成 ，；300个零件、每人每小时15个，人数 与时间 满足 ，即 。由关系式而不是仅凭增减趋势判断。 3. 课堂互动（15分钟） 呈现素材中四个圆柱容器，底面积分别为10、20、30、60 cm²，各注入300 cm³水。学生用“水的高度等于体积除以底面积”求得30、15、10、5 cm；设底面积为 cm²、水高为 cm，列出 或 ，其中 、。再辨析 、、、、、： 与 成反比例的只有 和 两个；后两类易错式分别约束 与 、 与 ，不能把研究的量替换掉。请学生说明其余各式不符合的依据。 4. 课堂小结（5分钟） 学生用“明确研究的两个量—列关系式—检查不变量—说明比例类型”复述判断方法。正比例看比值一定，反比例看乘积为非零定值；和一定不等于乘积一定。在本课正量情境中可以描述“一增一减”，但不能将这种直观现象直接作为反比例的充分依据。关系式 与代数式 也须加以区分。 第2节 代数式的值（2课时） 第1课时 代数式的值与规范求值 1. 课程导入（5分钟） 复习代数式及书写要求后，沿用学校采购排球情境：每班配5个，学校另外留20个，全校有 个班，共需 个。 时， 个； 时， 个。比较同一代数式在不同字母取值下得到的具体结果，引出代数式的值。 2. 新知讲授（20分钟） 先归纳定义：用数值代替字母，按代数式中的运算关系计算所得的结果叫作代数式的值。按“一代、二算、三验”示范求 的值：当 、 时，；当 、 时，结果为 。再示范规范书写：先写“当……时”，抄原式，再写代入算式与结果；、 时，；、 时，。接着处理乘方与除法：、 时，；、 时，。强调负数代入、分数作乘方底数时加括号，数字相乘恢复乘号，先乘方再乘除后加减，分母不能为0。最后依据素材初步观察整体代入：若 ，把 看作 ，则 ；只联系分配律说明，不展开整式运算法则。 3. 课堂互动（15分钟） 分层练习并互查。①当 、、 时，求得 、。②当 、 时，，，逐式直接代入，不要求利用乘法公式。③当 、 时，，，重点检查分数与负数的括号。④学有余力者观察：若 ，则 。教师收集“负数平方漏括号、数字相乘省略乘号、减负数符号错”等错误，让学生解释并改正。 4. 课堂小结（5分钟） 回顾求值的定义与“一代、二算、三验”：代入前说明字母取值并检查式子有意义，代入时不改变原式的运算结构，计算后检验符号与结果。规范格式为“当……时，原式＝代入算式＝结果”；负数、分数的括号与数字之间的乘号不能遗漏，整体代入重在识别已知的整体。 第2课时 几何公式与生活问题中的求值 1. 课程导入（5分钟） 复习求值的书写过程，由 说明公式表示数量关系。回忆长方形周长、圆周长、三角形面积与圆面积等已学公式，重点核对 、 与 。明确公式中字母所指的量和单位，为组合图形的列式、代入作准备。 2. 新知讲授（20分钟） 按素材顺序先研究跑道周长：两段直道各长 m，两端半圆的直径均为 m，两半圆弧合成一个圆周，周长为 m。当 、、 取3.14时，，约300 m，强调 是直径而非半径。再研究三角尺面积：以 、 为三角形的一组底和高，挖去半径为 的圆孔，面积 。当 cm、 cm、 cm、 取3.14时， cm²，提炼“整体减局部”的思路。最后转向快递工资：每日基本工资80元，每件另加0.6元，送 件的日工资为 元；当 时， 元。学生分别说出几何公式与费用公式所表示的数量关系。 3. 课堂互动（15分钟） 先依据素材休闲区图进行面积应用：长方形长 m、宽 m，扣除两个互不重叠、半径均为 m的四分之一圆，花卉区面积为 m²。代入 、、 取3.14，得 ，精确到百分位约99.19 m²。再比较素材中的两种话费方案：方案一月租30元、每分钟0.4元， 分钟收费 元；方案二无月租、每分钟0.6元，收费 元。月通话5小时须先换成300分钟，代入后分别为150元、180元，故这一通话量下方案一省30元。学生互查是否统一单位、是否把整个和差式加括号、是否按要求取近似数，并解释结论适用的具体条件。 4. 课堂小结（5分钟） 总结“实际问题—明确字母含义—选用公式或数量关系—列代数式—代入求值—解释检验”的完整过程。周长按边界分段相加，面积可用整体减局部，注意半径与直径；生活费用先辨认固定部分和变化部分，计算前统一单位。近似数按题目要求保留，不能把某一给定取值下的比较结论推广为所有情况。 09教学评价 1. 课堂表现评价 观察学生能否先说明数量关系再列式，能否解释字母、括号、分母及单位的含义；通过代数式辨认、文字互译和正反比例辨析，检查概念与依据。评价不仅看式子是否正确，还看学生能否说清“为什么这样列”，并在同伴改错中作出有根据的说明。 2. 作业评价 基础作业围绕书写规范、易混文字表述和直接代入；应用作业选用素材中的糖果、棉田、工程、几何和费用问题；提升作业可用素材已有的整体代入题。分别记录列式错误、括号错误、符号错误、运算顺序错误及单位错误，反馈时对应具体环节，不以超前的整式运算技巧代替本章达标要求。 3. 单元达标评价 以“识别与规范—分析与表达—代入与计算—应用与解释”四个维度组织小测。识别与规范检查单独的数或字母、等式与代数式的边界及乘除法写法；分析与表达检查括号、文字互译和比例判据；代入与计算覆盖负数、分数、乘方和含分母的式子；应用与解释检查几何组成、单位换算、近似结果及费用比较。各维度都应保留能展示思路的过程性作答。 4. 学习过程评价与反馈 学生用“我能正确列式并说明意义、我能规范代入并检验、我能用结果回答实际问题”进行自评，同伴按相同指标互评。教师建立典型错误清单：文字互译失误返回数量关系分析，负数代入失误强化括号与运算顺序，比例判断失误返回不变量，几何应用失误返回图形与字母含义；根据反馈安排针对性练习，关注符号意识、运算能力和模型观念的发展。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $