第3章·代数式·培优提高·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第3章·代数式·培优提高·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握图形规律探究的一般方法，能由前几项归纳第n个代数式 · 掌握数列、数表规律的分析方法，解决复杂排列问题 · 掌握代数式求值的整体代入、差倒数、定义运算等技巧 · 会列代数式表示几何面积与实际问题中的数量关系 · 理解新定义运算与转换机的规则，提高综合解题能力 📚 知识梳理 ☆ 1.图形规律探究 图形规律：数出前几个图形的元素个数，列表找与序号n的关系 常见模型：每增加一个图形增加固定个数→一次函数式an+b 拼接图形：分析每个图形中元素的构成（如顶点、边、块数） 归纳后验证：把n=1,2,3代入检验是否与已知一致 概念辨析例题：第①个图案有5个正方形，第②个有9个，第③个有13个，求第n个图案正方形个数 答案：4n+1 解析：相邻差4，第1个5=4×1+1，所以第n个为4n+1个。 ☆ 2.数列与数表规律 数列规律：看相邻项差（等差）、比（等比）、平方关系、符号交替 数表规律：观察每行首项、行数、列数与序号的关系 分数数列：分别看分子、分母的规律，再合写通项 周期规律：末位数字、循环小数等按周期重复，用余数定位 概念辨析例题：一列数1，4，9，16，25，…，第n个数是什么？ 答案：n2 解析：1=12，4=22，9=32，16=42，所以第n个数为n2。 ☆ 3.代数式求值与整体代入 整体代入：把a2-a、x+y等整体看作一个量，变形后代入 差倒数：a的差倒数为，循环计算找周期 互为相反数代入：奇次项变号、偶次项不变号 定义运算与取整：按规则代入，注意运算顺序 概念辨析例题：已知a2+a=1，求2a2+2a-3的值 答案：-1 解析：2a2+2a-3=2(a2+a)-3=2×1-3=-1。 ☆ 4.列代数式与几何面积 阴影面积：整体面积-空白面积，或分割成规则图形 篱笆问题：周长与墙的关系，用代数式表示长或宽 图形拼接面积：大图形面积=各部分面积之和 实际问题：先设字母表示未知量，再根据数量关系列式 概念辨析例题：用40米篱笆围长方形养鸡场，一边靠墙，设垂直于墙的边为x米，求养鸡场面积 答案：x(40-2x)平方米 解析：靠墙一边为40-2x米，面积=长×宽=x(40-2x)平方米。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图形规律 第n个=an+b（等差型） 列表归纳并验证 数列规律 观察差、比、平方、符号 先列前几项 数表规律 看行首、行列与序号关系 找行列对应 整体代入 把整体看作一个量 先变形再代入 差倒数 循环计算找周期 阴影面积 整体-空白 或分割求和 篱笆问题 靠墙一边=总长-2x 注意哪边靠墙 新定义运算 按规则代入 先读懂规则 ⚠️ 核心考点 【考点1】规律探究——图形规律（第1-17题） · 数出前几个图形元素个数，列成表格找与序号n的关系 · 等差型：第n个=首项+(n-1)×公差，写成an+b形式 · 拼接图形：分解每个图形为几个部分，分别计数 · 归纳验证：把n=1,2代入通项检验 1．（2025·重庆江津·一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（    ） A．37 B．41 C．45 D．49 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：； 第3个图中有13个正方形，可以写成：； 第4个图中有17个正方形，可以写成：； ……， 第n个图中有正方形，可以写成：； 当时，代入得：． 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）为庆祝国庆，某学校举办了一次创意设计竞赛．明明用大小相等的五角星按一定规律摆放出如图所示的图案，则第25个图案中五角星的颗数为（   ） A．66颗 B．69颗 C．72颗 D．76颗 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图形中五角星个数的变化，找出第n个图案中有颗五角星是解题的关键． 根据各图形中五角星个数的变化，可找出第n个图案中有颗五角星，代入即可求出结论． 【详解】解：∵第1个图案中有4颗五角星， 第2个图案中有7颗五角星， 第3个图案中有10颗五角星， 第4个图案中有13颗五角星， 第5个图案中有16颗五角星， …， ∴第n个图案中有颗五角星． 当时，， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，摆放1个时实线部分长为3，摆放2个时实线部分长为5，摆放3个时实线部分长为8，依此类推摆放2026个时，实线部分长为（） A．5068 B．5060 C．5063 D．5065 【答案】D 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化类规律，列代数式，解题关键是通过观察前几个图形的长度数据，归纳出奇偶项对应的长度公式，再代入具体数值计算．通过观察摆放1个、2个、3个长方形卡片时实线部分的长度，归纳出长度随卡片数量变化的规律，再利用该规律计算摆放2026个时的实线长度． 【详解】解：观察已知条件： 摆放1个时，实线部分长为3： 摆放2个时，实线部分长为5： 摆放3个时，实线部分长为8： 摆放4个时，实线部分长为10， 当卡片数为偶数时，设,实线长度为(验证：时，时，,符合规律)； 因为2026是偶数，令,则； 将代入偶数项公式,得： 故选：D． 4．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……，根据以上操作，操作17次可以得到的三角形（    ）个 A．49 B．50 C．52 D．68 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题， 根据前四次操作得出数字变化规律，再根据此规律解答即可. 【详解】解：第一次操作剪成4个小三角形； 第二次操作剪成个小三角形； 第三次操作剪成个小三角形； 第四次操作剪成个小三角形， 第17次操作剪成个小三角形. 故选：C. 5．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）如图，每一个图形都是由一些小黑方块按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有1个小黑方块，第②个图形中有5个小黑方块，第③个图形中有11个小黑方块，第④个图形中有19个小黑方块……，按此规律，则第⑦个图中小黑方块的个数是（   ） A．55 B．71 C．89 D．41 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律的探索，根据图形找到规律是解题的关键．观察图形，第①个图形中小黑方块的个数是，第②个图形中小黑方块的个数是，第③个图形中小黑方块的个数是，第④个图形中小黑方块的个数是，……得到第个图形中小黑方块的个数是，再代入即可得出答案． 【详解】解：第①个图形中小黑方块的个数是， 第②个图形中小黑方块的个数是， 第③个图形中小黑方块的个数是， 第④个图形中小黑方块的个数是， …… 第个图形中小黑方块的个数是， 当时，， 即第⑦个图中小黑方块的个数是55． 故选：A． 6．（23-24七年级下·广西南宁·阶段检测）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由1个小正方形拼成，共用的木条根数；第二个图案由4个小正方形拼成，共用的木条根数；第三个图案由9个小正方形拼成，共用的木条根数；以此类推……第10个图案共用的木条根数为（    ） A．120 B．220 C．240 D．360 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键．由图形可知，第个图案由个小正方形拼成，共用的木条根数，将代入求解即可． 【详解】解：由图形可知，第一个图案由1个小正方形拼成，共用的木条根数； 第二个图案由4个小正方形拼成，共用的木条根数； 第三个图案由9个小正方形拼成，共用的木条根数； …… 观察发现，第个图案由个小正方形拼成，共用的木条根数， 当时，， 故选：B． 7．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第③个图案有10个正六边形，第④个图案有13个正六边形，……，按此规律，第⑨个图案中含有的正六边形个数为（   ） A．25 B．28 C．31 D．34 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查的是图形的变化规律，归纳出正六边形的个数变化规律是解题的关键． 先根据已有图形归纳出第n个图案中含有的正六边形个数为，然后运用规律求解即可． 【详解】解：观察图案可知: 第①个图案有4个正六边形，即； 第②个图案有7个正六边形，即； 第③个图案有10个正六边形，即； 第④个图案有13个正六边形，即； ……， 按此规律，第n个图案中含有的正六边形个数为：， 第⑨个图案中含有的正六边形个数为：（个）． 故选：B． 8．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）按如图所示的规律拼图，其中第①个图有9个小正方形，第②个图有15个小正方形，第③个图有21个小正方形……，则第⑧个图中小正方形的个数是（    ） A．57 B．51 C．52 D．56 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【详解】解：第①个图有个小正方形， 第②个图有个小正方形， 第③个图有个小正方形， ……， 以此类推可知，第n个图形有个小正方形， ∴第⑧个图中小正方形的个数是． 9．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有个顶点，第②个图形共有个顶点，第③个图形共有个顶点，…，按此规律排列下去，第⑧个图形顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律，根据已知图形找到规律：第个图形中顶点的个数为：．解题的关键是通过观察图形得出规律． 【详解】解：第①个图形的顶点有：（个）， 第②个图形顶点的个数：（个）， 第③个图形顶点的个数：个顶点； ……， ∴第个图形顶点的个数：（个）， ∴第⑧个图形顶点的个数：（个）． 故选：B． 10．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第9个长方体的表面积是（ ）平方厘米． A．42 B．38 C．168 D．152 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据题意可得第n个长方体由个小正方体构成，则第9个长方体由10个小正方体构成，据此计算表面积即可． 【详解】解：第1个长方体由2个小正方体构成， 第2个长方体由3个小正方体构成， 第3个长方体由4个小正方体构成， ……， 以此类推，可知第n个长方体由个小正方体构成， ∴第9个长方体由10个小正方体构成， ∴第9个长方体的表面积是（平方厘米）． 11．（24-25七年级上·全国·单元复习）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）． A．90 B．95 C．100 D．105 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中“○”的个数得到变化规律，进而可求解． 【详解】解：第1个图形中“○”的个数为， 第2个图形中“○”的个数为， 第3个图形中“○”的个数为 第4个图形中“○”的个数为， ……， 依次类推，第n个图形中“○”的个数为， ∴第10个图形中“○”的个数为， 故选：B． A．6 B．3 C．24 D．12 【答案】A 【详解】解：当输入时，第一次输出； 当输入时，第二次输出； 当输入时，第三次输出； 当输入时，第四次输出； 当输入时，第五次输出； 当输入时，第六次输出， ， ∴从第二次开始，第偶数次输出的为6，第奇数次输出的为3， ∴第2024次输出的结果为：6． 故选：A． 12．（24-25九年级下·云南文山·阶段检测）按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了多项式规律探究，理解题意、发现相关规律是解题的关键． 根据所给的多项式的项数、次数即可找到规律，然后运用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项a的系数都为连续奇数，指数为1；第二项b的系数为1，b的指数为连续正整数， 故在第个多项式中：a的为，指数为1，b的系数为1，指数为，即． 故选：A． 13．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图8中木棒的根数是_________． 【答案】33 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 图案①有：根小木棒； 图案②有：根小木棒； 图案③有：根小木棒；…； ∴第n个图案有：根小木棒． ∴当时，． ∴第⑧个图案有：33根小木棒． 故答案为：33． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的新定义，及有理数的运算．直接根据题意即可求出第1次得到的差，不断运算，可知从第3次开始，每次得到的差均为． 【详解】解：重新排列，则最大的数为：，最小的数为：， ∴第1次得到的差为； 重新排列，则最大的数为：，最小的数为：， ∴第2次得到的差为； 重新排列，则最大的数为：，最小的数为：， ∴第3次得到的差为； 重新排列，则最大的数为：，最小的数为：， ∴第4次得到的差为； …… ∴第100次得到的差为； 故答案为：，. 14．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，第1个图用了3枚棋子摆成；第2个图用了5枚棋子摆成；第3个图用了7枚棋子摆成，；按图中所示规律，第n个图需要棋子______枚． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律探索，列出代数式，相邻的两个图形，后一个比前一个多2枚棋子，根据规律，求出第n个图需要棋子即可． 【详解】解：根据题意有， 第1个图形棋子数为：， 第2个图形棋子数为：， 第3个图形棋子数为：， 第n个图形棋子数为：， 第n个图需要棋子枚， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是______． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、数轴上的翻折 【分析】根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为，，，，，，根据，根据规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是， 数轴上点2对应的是， 数轴上点3对应的是， 数轴上点4对应的是， 数轴上点5对应的是， 数轴上点6对应的是， 因为， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是B． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段检测）一个机器人在平面上沿着直线行动，但每走一米就会向右或向左转继续走，在某一时刻，它在未重复经过任何其他点的情况下回到了出发点，然后立即停下，问：机器人可能的路径长度有哪些？ 【答案】（n为正整数） 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律的探究，先根据题意找到所走的路径方式，再将其路径平移为正方形边长，则所走路径的长度为正方形边长，即可求解． 【详解】解：每走一米就会向右或向左转继续走，在未重复经过任何其他点的情况下回到了出发点， 可能的路径长为：， 通过观察，将所走过路径平移后， 可以发现所走路径为：， 即边长为：1，3，5，7，，的正方形， 机器人可能的路径长度有：（n为正整数）． 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，是一些由点构成的有规律的图形（点的大小忽略不计），图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形，按此规律排下去． (1)第个图形上半部分等边三角形的边长为_______，高为_______（用含的式子表示），整个图形共由_____个点构成； (2)观察图形上半部分的等边三角形，将第个图中构成等边三角形的点个数记为，如，，，则的值为多少； (3)求第个图形的面积（用含的式子表示）以及点的个数． 【答案】(1)，，； (2)； (3)第个图形的面积为；整个图形一共有点个． 【知识点】列代数式、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据图形的变化寻找规律是解题的关键． （）根据题意得出图由（个）点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；图由（个）点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；，第个图形上半部分等边三角形的边长为，高为，整个图形一共有点（个）， （）由，，，，，，则，然后根据规律进行拆项求解即可； （）根据（）中规律求解即可． 【详解】（1）解：图由（个）点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形； 图由（个）点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形； 图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形； ， 第个图形上半部分等边三角形的边长为，高为，整个图形一共有点（个）， 故答案为：，，； （2）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴ ； （3）解：由（）得第个图形上半部分等边三角形的边长为，高为，下半部分是边长为的正方形， ∴第个图形的面积为； 整个图形一共有点 ． 【考点2】规律探究——数列与数表（第18-33题） · 等差、等比、平方数列：先观察相邻项关系再归纳 · 分数数列：分子分母分别找规律 · 数表排列：确定行首数字、每行个数与行号的关系 · 周期问题：找循环节，用序号除以周期取余数 18．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）观察下面一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么数是第_______行从左边数第_______个数． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的规律探索，解题的关键是根据已知的数字找到规律进行求解．根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数行都是负数，偶数行都是正数，由的平方与最接近，可求出的位置． 【详解】解： ， 是第行从左边数第个数， 故答案为：，． 19．（23-24七年级上·江苏南京·期末）点在直线上，点、、、…在射线上，点、、、…在射线上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度，一个动点从点出发按如图所示的箭头方向沿着实线段和以为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点到达点处所需时间为______秒． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形的变化类，观察可得：动点从点出发到点，在直线上运动了个单位长度，在以为圆心的半圆运动了单位长度，结合，即可得出动点到达点处运动单位长度，从而得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： 动点从点出发到点，在直线上运动了个单位长度，在以为圆心的半圆运动了单位长度， ， 动点到达点处运动单位长度为：， 速度为每秒1个单位长度， 动点到达点处所需时间为秒， 故答案为：． 20．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 【答案】184 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】根据表格中的已知数确定数字的变化规律计算即可． 【详解】解：由表格可知：第一行第一个数是n，第二个数比前一个数大4即为，第二行第一个数比n大2即为，第二行第二个数是的结果， ∴当时，． 21．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）已知一串有规律的数：，，，，，…那么这串数的第9个数是( ) 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，分别根据分子与分母的变化规律例举出前面9个数，即可得到答案． 【详解】解：观察这列数的规律是：第1个数的分子为1， 第2个数的分子为， 第3个数的分子为， 第4个数的分子为， 第5个数的分子为， 第6个数的分子为， 第7个数的分子为， 第8个数的分子为， 第9个数的分子为， 第1个数的分母为， 第2个数的分母为， 第3个数的分母为， 第4个数的分母为， 第5个数的分母为， 第6个数的分母为， 第7个数的分母为， 第8个数的分母为， 第9个数的分母为， ∴第9个数为． 故答案为： 22．（21-22七年级上·广西桂林·期末）已知：，，，，的个位数是，，则的个位数字是______． 【答案】 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】根据题意，得出底数为的乘方运算结果的个位数字变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，，，，，，，， 所以底数为的乘方运算结果的个位数字按循环， 因为余， 所以， 所以的个位数字是． 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…依此规律，第五行的数是______． 【答案】157 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了数字变化的规律探索，找出隐含的规律是解题的关键．观察数轴可得，所有的数字都是奇数，第一行的数是1，第二行的数是1向右数第个数，第三行的数是13向右数第个数，第四行的数是43向右数第个数……按照这样的规律依次计算即可得到结论． 【详解】解：第一行的数是1， 第二行的数是1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行的数是13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行的数是43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行的数是91向右数第个数，为第个奇数，即， ∴第五行的数是157． 故答案为：157． 24．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）正整数按如图所示的规律排列，则第23行第25列的数字为______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 由题意知，第1行，首个数字1，横向有1个数字，第2行，首个数字4，横向有2个数字，第3行，首个数字9，横向有3个数字，第4行，首个数字16，横向有4个数字，……可推导一般性规律为：第行，首个数字，横向有个数字，则第25行，首个数字为，第25列的数字为，根据第23行，第25列的数字为第25行，第25列的数字上方的第2个数字进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第1行，首个数字1，横向有1个数字， 第2行，首个数字4，横向有2个数字， 第3行，首个数字9，横向有3个数字， 第4行，首个数字16，横向有4个数字， …… ∴可推导一般性规律为：第行，首个数字，横向有个数字， 第25行，首个数字为，第25列的数字为， ∴第23行，第25列的数字为， 故答案为：． 25．（25-26七年级上·福建三明·期中）已知一组均不为1的数；，，，，．满足如下关系：，，，…，．若，则的值是_____． 【答案】2 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字变化的规律，发现数字的周期性规律是解题的关键． 【详解】解：由， ， ， ， ． ∵，余数为1， ∴． 故答案为：2． 26．（23-24七年级上·宁夏银川·期中）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第12列的数是 ___________ ． 【答案】2025 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 先由题意得分别求出第1行第1列、第2行第2列、第3行第3列和第4行第4列的数，可得第32行第32列的数是2025，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知： 第1行第1列的数是1，， 第2行第2列的数是5，， 第3行第3列的数是13，， 第4行第4列的数是25，， …， 第32行第32列的数是， 即第32行最右边的数是1985， 第32行第12列需要从右向左移动20个数，， 所以第32行第12列的数是， 故答案为：2025． 27．（23-24七年级上·山东济南·阶段检测）观察下列算式 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)按以上规律写出第10个等式___________； (2)第n个等式___________； (3)试利用以上规律求的值． (4)你能算出的值吗？若能请写出解题过程． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式，总结出其规律即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可； （4）仿照（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， ∴第10个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得，第n个等式， 故答案为：； （3）解： +++…+ =+++…+ = =； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 28．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：，， (1)猜想______（的整数） (2)用你发现的规律计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知两个连续的正整数的乘积的负倒数等于较小正整数的负倒数加上较大正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律裂项并计算求解即可； （3）先证明，再据此规律裂项并计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴ ． 29．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）观察下列式子：，，，，，…… (1)的个位数字是_______； (2)的个位数字是_______； (3)若为不能被4整除的正整数，则的个位数是______ 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】（1）由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的．，所以可知的个位数字是6； （2）分别求得以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，以为底的幂的末位数字是8，4，2，6依次循环的，进而根据，即可求解； （3）分别求得1到9为底的幂的末位数字的规律，根据为不能被4整除的正整数，分别求得余数分别为，，时的末位数字，进而即可求解． 【详解】（1）以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的． ∵， ∴的个位数字是6． 故答案为：． （2）∵ ∴以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的． 同理可得以为底的幂的末位数字是8，4，2，6依次循环的． ∵ ∴的个位数为，的个位数为为 ∴的个位数字是 （3）∵以1为底的幂的末位数字都是1． 以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的， 以4为底的幂的末位数字是4，6依次循环的， 以5为底的幂的末位数字都是5， 以6为底的幂的末位数字都是6， 以7为底的幂的末位数字是7，9，3，1依次循环的， 以为底的幂的末位数字是8，4，2，6依次循环的， 以为底的幂的末位数字是9，1依次循环的， ∵为不能被4整除的正整数， 设除以的余数为1，则∴ ，个位数为， 当余数为2，则 ，个位数为， 当余数为时，则 ，个位数为， 综上所述，的个位数为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，数字类规律题，找到规律是解题的关键． 30．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化、列代数式，整式的运算，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式是解答本题的关键． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】（1）解：第5个等式是； 故答案为：． （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式是； …… ∴第个等式：； 31．（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数： 第一组：，，，，，…… 第二组：，，，，，…… 第三组：，，，，，…… 解答下列问题： (1)第一组的第8个数是 ； (2)如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是 ； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】(1) (2) (3)1 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，根据题意确定各组数字变化规律是解题关键． （2）根据规律写出即可； （3）分别求出第10个数，然后相加计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，第一组中第8个数是． 故答案为：； （2）如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是． 故答案为：； （3）结合题意，可知第三组的第个数是， 则第三组的第10个数是， 结合（2），可知第一组第10个数为， 第二组第10个数为， ， 所以，取每组数的第10个数，计算它们的和为1． 32．（24-25八年级上·北京顺义·期中）我们知道，，那么结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即； 第n行n个圆圈中数的和为，即． 这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为____________（由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为____________ 由此，____________． 【解决问题】 根据以上发现，计算的结果． 【答案】规律探究：；，；解决问题： 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察找到规律是解题的关键． 规律探究：将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案； 解决问题：运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得． 【详解】规律探究：由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ， ∴； 故答案为：；，； 解决问题： ． 故答案为：． 33．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）观察下列等式 (1)写出第4个等式是： ． (2)猜想并写出第n个等式是： ．(用含n的式子表示，n为正整数) (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字类规律探索，通过前3个等式找出等式的变化规律，是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）利用规律拆项，再合并即可求解； 【详解】（1）解：∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， ∴第4个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：． （3）解：根据题意，得 ． 【考点3】代数式求值与整体代入（第34-40题） · 整体代入：把已知式整体代入目标式，先变形 · 差倒数：按定义循环计算，观察周期求值 · 定义运算：按规则代入，注意运算顺序与符号 · 正方体展开图：间隔一个面相对（或Z字形），利用和相等列式 34．（24-25七年级下·安徽·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 35．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值为____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，原式后两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·山东东营·期中）已知：有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么_________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类变化规律，有理数的乘方，依次求出，，，…，得出规律，再结合，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…， ∴，，，…， ∴这列数从开始按，，循环， ∵， ∴， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·陕西西安·期中）规定：，例如，当时，；已知的值为202，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】由 时，得到 ． 本题主要考查了求解代数式的值，数量掌握整体代入求解代数式的值的方法，是解本题的关键． 【详解】∵ ， ∴ ． 故答案为：． 38．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）正整数a和b中，设个位数字记作，则__________． 【答案】3 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查有理数的乘方，数的乘方的个位数规律，找到个位数的周期是解题的关键． 通过7的乘方计算，发现个位数为7的数的乘方，个位数字回到7的周期为4，即可解答． 【详解】解：∵的个位数字为7， 的个位数字为9， 的个位数字为3， 的个位数字为1， 的个位数字为7， ∴个位数为7的数的乘方，个位数字回到7的周期为4． ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为3， 即． 故答案为：3． 39．（25-26七年级上·四川达州·期中）如图是一个正方体的展开图，正方体的相对面上的数字之和相等，则的值为____． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的计算，正方体的展开图，由题意可知，的对面是，的对面是，的对面是，，从而算得，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意可知，的对面是，的对面是，的对面是， 正方体的相对面上的数字之和相等， ， ， ， 故答案为：2． 40．（23-24七年级上·山东临沂·期中）有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则______； (2)已知，则的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)14 (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）首先求得，，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴，， ． 【考点4】列代数式与几何面积（第41-49题） · 阴影面积：整体减空白或分割求和 · 篱笆围场：设一边，用周长关系表示另一边 · 图形面积：大图形=各部分面积之和，用代数式表示 · 实际问题：设字母，根据数量关系列代数式 41．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）在计算一些特殊的异分母分数相加时，聪聪没有通分，而是利用数形结合的思想，把加法转化为减法来计算，请你也试一试．   (1)___= ___                               (2) ___= ___           (3)请根据上面的方法继续计算：_____ 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了异分母分数加法的简便计算及数形结合思想的应用，解题的关键是发现算式中分数和为1减去最后一个分数的规律，将加法运算转化为减法运算简化计算． （1）观察到的和等于1减去最后一个分数，据此计算结果； （2）同理，的和等于1减去最后一个分数，进而得出结果； （3）延续前两问规律，的和等于1减去最后一个分数，计算得解． 【详解】（1）解：观察可知，可转化为减去最后一个分数；   即．   故答案为：，． （2）解：同理，可转化为减去最后一个分数；   即．   故答案为：，． （3）解：根据上述规律，．   故答案为：． 42．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图②化简，______． 【答案】 【知识点】乘方的应用、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的变化规律，根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， ， ， …， ， 所以，， 故答案为：． 43．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）“文房四宝”中的砚台是中国毛笔书法的必备用具．图中砚台外部的正方形边长为m，内部圆形凹槽半径为n． （1）用含有m，n的式子表示2个砚台阴影部分的总面积为______； （2）当，时，2个砚台阴影部分的总面积是______．（取3） 【答案】 176 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式及代数式求值； （1）由题意，利用圆的面积公式及正方形的面积公式列得代数式即可； （2）将已知数值代入（1）中所求的结果中计算即可． 【详解】（1）由题意可得2个砚台阴影部分的总面积为； 故答案为：； （2）当，时，2个砚台阴影部分的总面积是； 故答案为：176． 44．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）现有长为40米的篱笆，准备利用它和一面墙围成如图所示的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为a米． (1)用含a的代数式表示养鸡场的长为_______米； (2)用含a的代数式表示养鸡场的面积为______平方米； (3)若墙的长度只有30米，6是否可以作为a的值，建设这个养鸡场吗？若可以，求出这个养鸡场的面积，若不可以，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)可以，养鸡场的面积168平方米． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据图形用代数式表示养鸡场的长和面积． （1）根据养鸡场由两条宽和一条长围成，可以用含a的代数式表示出养鸡场的长； （2）根据题意和图形，用长方形面积公式表示出养鸡场的面积； （3）根据养鸡场的长不大于30来确定6是否可以作为a的值，再代入（2）中的代数式，求出面积即可． 【详解】（1）解：由图可得，养鸡场的长为：米， 故答案为：； （2）解：由题意可得，养鸡场的面积为：平方米， 故答案为：； （3）解：当时，，符合题意； ∴当时，养鸡场的面积为：（平方米）． 即当时，养鸡场的面积168平方米． 45．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）自从学了用字母表示数，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②，两数的平方和与，两数积的2倍的差； (2)完成下列表格： (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 完成下列表格如下： (3) (4) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． （1）①a与b的差是，则差的平方就是；②a与b的平方和是，a，b两数积的2倍是，再作差即可表示； （2）分别将，，，，，代入（1）所得的代数式即可求值填表； （3）根据（2）计算的结果，比较两个式子的大小即可得规律； （4）根据（3）中发现的结论进行计算即可得． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，，； 当，时，， 当，时，， （3）略 （4）解： ． 46．（25-26七年级上·福建泉州·期中）张华家自建楼房，设计的窗户形状如图所示，其上部是一个半圆形，下部的两扇门是大小一样的两个小长方形，且每扇门的长为，宽为，窗框和门框都是铝合金材料（图中实线部分），窗户全部安装玻璃（图中空白部分，其中取3）． (1)用含、的式子表示：制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长_____．这扇窗户的采光面积_____（窗框和门框忽略不计）； (2)为了使窗户看起来比较美观，总高度设计为，总宽度设计为，求和的值． 【答案】(1)， (2)9.8，2.22 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、有理数混合运算的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）结合图形，将所有窗框的长度（包括半圆部分）相加即可得答案；根据半圆的面积公式和长方形面积公式即可获得答案； （2）结合题意可得，且，求出x、y的值，然后代入（1）中所列式子中求值即可； 【详解】（1）解：制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长（m）， 窗户的采光面积（）， 故答案为：，． （2）解：由题意得，且， 解得，， ∴， ． 47．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是每人打字所用的时间． (1)把上表补充完整； (2)打字的速度和所用的时间成什么比例关系？为什么？ (3)刘老师打这份稿件用了32分钟，她平均每分钟打多少个字？ 【答案】(1) 补表如下： (2) 打字的速度和所用的时间成反比例关系， 理由：由（1）知：打字的速度和所用的时间的积为2400，是定值， ∴打字的速度和所用的时间成反比例关系； (3)平均每分钟打75个字 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用、 反比例的意义及辨识 【分析】本题考查了有理数才乘法、除法的应用，解题的关键为： （1）先根据小美或小明的数据求出这份稿件的总字数，然后根据打字速度=总字数除以打字时间求解即可； （2）打字的速度和所用的时间的积为定值判断即可； （3）根据打字速度=总字数除以打字时间求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得这份稿件的字数为字， 则小峰打字速度为字/分钟，小丽打字速度为字/分钟， （2）略 （3）解：， 答：平均每分钟打75个字． 48．（24-25七年级上·山东聊城·期中）某校高度重视学生的体育健康状况，计划在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球每个定价元，跳绳每条定价元．该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案：篮球和跳绳都按定价的付款； 方案：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球个，跳绳条． (1)按方案购买篮球和跳绳共需付款_____元；按方案购买篮球和跳绳共需付款_____元；（均用含的最简代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算； (3)若两种优惠方案可以同时使用，当时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需要付款的金额？ 【答案】(1)，； (2)选择方案购买较合算； (3)先按方案购买个篮球，再按方案购买条跳绳，金额为6900 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（）根据方案篮球和跳绳都按定价的付款，方案买一个篮球送一条跳绳，两个方案分别列式计算； （）把分别代入（）的两个代数式分别计算，然后比较大小，选择合算的方案； （）先按方案购买个篮球，再按方案购买条跳绳，计算结果，与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案； 本题考查了代数式求值，列代数式，掌握代数式求值的方法，根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方案：篮球和跳绳都按定价的付款， ∴购买篮球个，跳绳条付款：元； ∵方案：买一个篮球送一条跳绳， ∴购买篮球个，跳绳条付款：)元; 故答案为：，； （2）解：当时， 按方案购买需付款：（元）， 按方案购买需付款：（元）， ∵， ∴选择方案购买较合算； （3）解：购买方案：先按方案购买个篮球，再按方案购买条跳绳，理由： 若按上述方案购买需付款：（元）， ∵ ∴按照上述方案购买更省钱，需要6900． 49．（24-25七年级上·天津·期中）如图，把五个长为，宽为的小长方形，按图和图两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）． (1)大长方形的长为____； (2)设图中两块阴影部分的周长和为，图中阴影部分的周长为，请用含有，的代数式表示与； (3)若小长方形的周长为，求的值． 【答案】(1)，． (2) (3)36 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减运算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据一个长方形的长与两个长方形的宽之和为大长方形的长列代数式即可解答； （2）根据图①、图②以及已知条件列代数式并化简即可； （3）由小长方形的周长为可得，再将（2）的结论代入化简，最后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：长方形的长． 故答案为． （2）解： ； ． （3）解：∵小长方形的周长为， ∴，即， ∴ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 图形规律先列表再归纳，等差型写成an+b形式并验证 · 数列与数表规律注意分子分母、行首与行列关系 · 代数式求值善用整体代入，差倒数循环计算找周期 · 几何面积用整体减空白或分割法，列式注意单位 · 新定义运算先读规则再代入，多做综合题巩固方法 【作业1】．（25-26七年级上·重庆·期中）下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有14个圆，第④个图形中有23个圆，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中圆的个数是（   ） A．96 B．98 C．119 D．121 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中圆的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆的个数为：； 第②个图形中圆的个数为：； 第③个图形中圆的个数为：； ， 所以第个图形中圆的个数为：； 当时， （个， 即第⑩个图形中圆的个数为个． 故选：C． 【作业2】．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第10个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第10个数． 【详解】解：根据给出的分数的规律可得， 第n个数为， ∴第10个数是， 故选：A． 【作业3】．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 【作业4】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________．         【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列出代数式，根据图形列出代数式即可，熟练运用知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 能表示图中阴影部分面积， ，不能表示图中阴影部分面积 能表示图中阴影部分面积， 能表示图中阴影部分面积， 故答案为：． 【作业5】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 【作业6】．（24-25七年级上·四川成都·期末）用小棒搭图形，按照这种规律，图需要______根小棒． 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察可得，图1需要6根，图②需要11根，图③需要16根，每次比前一个图多5根，据此得出规律，即可解答． 本题考查图形类规律探索，根据所给图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：图1需要6根，图2需要11根，图3需要16根，每个图形需要的小棒比前一个图多5根， 因此，第个图需要根小棒， 故答案为：． 【作业7】．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段检测）将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则第12行的前两个数的和是_____． 【答案】155 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字找规律，行数与每列的变化规律是解题关键． 观察得出前n行共有个数的规律，再求出第12行前俩数，即可得出结果； 【详解】由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，第n行有n个数， 前n行共有个数， 前12行共有个数， 第12行的前两个数的是78，77， 第12行的前两个数的和是， 故答案为：155． 【作业8】．（18-19七年级上·四川广安·期中）若，则的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键，由，可求的值，计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 则. 故答案为：. 【作业9】．（2024·吉林长春·一模）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共_________本． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】列代数式解答即可，本题考查了列代数式，正确理解题意，列出代数式是解题的关键． 【详解】根据题意，得本， 故答案为：． 【作业10】．（23-24七年级上·湖南永州·期中）月日零陵区第二届学生运动会在永州工商职业中专隆重召开，开幕式上蘋洲校区七年级三百多人为大家表演了一场精彩绝伦，美轮美奂的集体舞．学校为每位表演的同学购买了一套演出服装，下面是商家给出购买服装的优惠措施：①若购买服装不足套按每套标价元出售；②若购买服装不足套，超过套部分按标价折出售；③若购买服装超过套，超过套部分按标价折出售．若学校购买的服装为套，则应付款________元（用含的代数式表示，结果要化简）． 【答案】 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了列代数式的实际应用，根据题意分段求出应付款再相加即可，读懂题意采用分段式列式，再化简是解题关键． 【详解】解：学校购买的服装为套， 根据题意，应付款为： ， ， 则应付款元， 故答案为：． 【作业11】．（22-23七年级上·四川德阳·阶段检测）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第10个数为___________，第n个数为___________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【详解】解：解：∵第个数：； 第个数：； 第个数：； 第个数：； … 第n个数：； 第个数为：； 故答案为：；． 【作业12】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，通过将已知方程乘以适当系数后相减，直接得到目标表达式． 【详解】解：∵ ①， ②， ∴将 得： ③， 将 得： ④， 由得： ， ∴ ， 故选：C． 【作业13】．（24-25七年级上·四川成都·期中）某班准备购买一些羽毛球拍和羽毛球，市场调查情况如下：某店羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每简定价15元．“双11”期间，该店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副球拍送两筒球； 方案二：球拍和球都打九折销售． 现要在该店购买球拍10副，球x筒． (1)若按方案一购买，需付款 元；若按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当购买40筒羽毛球时，用哪种方案购买更划算？ (3)当购买40筒羽毛球时，你有其它更省钱的方案吗？并按该方案计算其费用． 【答案】(1)； (2)方案一购买更划算 (3)先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球最省钱；其费用为1770元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）把分别代入求出两种方案需要的费用，然后进行比较即可； （3）综合两种优惠方案计算，再与方案一和方案二进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： 方案一：元； 方案二：元； （2）解：方案一需要的费用为：（元）； 方案二需要的费用为：（元）， ∵， ∴方案一购买更划算； （3）解：先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球， 则需（元）； ∵ ∴先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球最省钱． 【作业14】．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形； 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示： 第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示： 第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 【作业15】．（25-26七年级上·全国·寒假作业）一次数学测验中有一道题：若，求的值．试卷发下来后，小刚发现自己的答案是错误的： 解：由，得， ∴，， ∴； 小刚怎么也找不出错误的原因．聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过来． 【答案】 解：小刚同学计算错误，应是． ∴． 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方运算，求代数式的值．利用非负数的性质求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】略 【作业16】．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？ (2)一天中午餐厅要接待100位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么？ 【答案】(1)第一种方式坐的人数：，第二种方式坐的人数： (2) 打算用第一种摆放方式来摆放餐桌，理由如下： 因为当时，用第一种方式摆放餐桌：， 用第二种方式摆放餐桌：， 所以选用第一种摆放方式． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）根据图形规律得出即可； （2）将分别代入可得两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断． 【详解】（1）解：第一种中，当有n张桌子时，可坐人， 第二种中，有n张桌子时，可坐人． （2）略 【作业17】．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)请写出第4个式子： ； (2)若n为正整数，试猜想 ； (3)试利用（2）中猜想的结论比较13＋23＋33＋…＋103与（－56）2的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律，根据逐项增加计算所得的结果总结出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第4个式子； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个式子； （3）根据（2）中的结果，可以将化简，然后与比较大小，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴． 【作业18】．（2024·河南·一模）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2024次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，根据数值转换机中的规律，确定出第2024次输出的结果即可． 故输出的结果是、、循环， 依此类推， ， 第2024次输出的结果为． 故选：D． 【作业19】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（    ） A．4 B． C．2 D．0 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据图形，将图形补充完整，得出该动点每移动6次就会回到处，即可推出推出在点处，求出即可． 【详解】解：如图：由图可知，该动点每移动6次就会回到处， ∵， ∴为第337组的第一个， ∴在点处， ∵， ∴点与点间的距离是4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据题意推出得出该动点每移动6次就会回到处． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·代数式·培优提高·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握图形规律探究的一般方法，能由前几项归纳第n个代数式 · 掌握数列、数表规律的分析方法，解决复杂排列问题 · 掌握代数式求值的整体代入、差倒数、定义运算等技巧 · 会列代数式表示几何面积与实际问题中的数量关系 · 理解新定义运算与转换机的规则，提高综合解题能力 📚 知识梳理 ☆ 1.图形规律探究 图形规律：数出前几个图形的元素个数，列表找与序号n的关系 常见模型：每增加一个图形增加固定个数→一次函数式an+b 拼接图形：分析每个图形中元素的构成（如顶点、边、块数） 归纳后验证：把n=1,2,3代入检验是否与已知一致 概念辨析例题：第①个图案有5个正方形，第②个有9个，第③个有13个，求第n个图案正方形个数 答案：4n+1 解析：相邻差4，第1个5=4×1+1，所以第n个为4n+1个。 ☆ 2.数列与数表规律 数列规律：看相邻项差（等差）、比（等比）、平方关系、符号交替 数表规律：观察每行首项、行数、列数与序号的关系 分数数列：分别看分子、分母的规律，再合写通项 周期规律：末位数字、循环小数等按周期重复，用余数定位 概念辨析例题：一列数1，4，9，16，25，…，第n个数是什么？ 答案：n2 解析：1=12，4=22，9=32，16=42，所以第n个数为n2。 ☆ 3.代数式求值与整体代入 整体代入：把a2-a、x+y等整体看作一个量，变形后代入 差倒数：a的差倒数为，循环计算找周期 互为相反数代入：奇次项变号、偶次项不变号 定义运算与取整：按规则代入，注意运算顺序 概念辨析例题：已知a2+a=1，求2a2+2a-3的值 答案：-1 解析：2a2+2a-3=2(a2+a)-3=2×1-3=-1。 ☆ 4.列代数式与几何面积 阴影面积：整体面积-空白面积，或分割成规则图形 篱笆问题：周长与墙的关系，用代数式表示长或宽 图形拼接面积：大图形面积=各部分面积之和 实际问题：先设字母表示未知量，再根据数量关系列式 概念辨析例题：用40米篱笆围长方形养鸡场，一边靠墙，设垂直于墙的边为x米，求养鸡场面积 答案：x(40-2x)平方米 解析：靠墙一边为40-2x米，面积=长×宽=x(40-2x)平方米。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图形规律 第n个=an+b（等差型） 列表归纳并验证 数列规律 观察差、比、平方、符号 先列前几项 数表规律 看行首、行列与序号关系 找行列对应 整体代入 把整体看作一个量 先变形再代入 差倒数 循环计算找周期 阴影面积 整体-空白 或分割求和 篱笆问题 靠墙一边=总长-2x 注意哪边靠墙 新定义运算 按规则代入 先读懂规则 ⚠️ 核心考点 【考点1】规律探究——图形规律（第1-17题） · 数出前几个图形元素个数，列成表格找与序号n的关系 · 等差型：第n个=首项+(n-1)×公差，写成an+b形式 · 拼接图形：分解每个图形为几个部分，分别计数 · 归纳验证：把n=1,2代入通项检验 1．（2025·重庆江津·一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（    ） A．37 B．41 C．45 D．49 2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）为庆祝国庆，某学校举办了一次创意设计竞赛．明明用大小相等的五角星按一定规律摆放出如图所示的图案，则第25个图案中五角星的颗数为（   ） A．66颗 B．69颗 C．72颗 D．76颗 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，摆放1个时实线部分长为3，摆放2个时实线部分长为5，摆放3个时实线部分长为8，依此类推摆放2026个时，实线部分长为（） A．5068 B．5060 C．5063 D．5065 4．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……，根据以上操作，操作17次可以得到的三角形（    ）个 A．49 B．50 C．52 D．68 5．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）如图，每一个图形都是由一些小黑方块按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有1个小黑方块，第②个图形中有5个小黑方块，第③个图形中有11个小黑方块，第④个图形中有19个小黑方块……，按此规律，则第⑦个图中小黑方块的个数是（   ） A．55 B．71 C．89 D．41 6．（23-24七年级下·广西南宁·阶段检测）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由1个小正方形拼成，共用的木条根数；第二个图案由4个小正方形拼成，共用的木条根数；第三个图案由9个小正方形拼成，共用的木条根数；以此类推……第10个图案共用的木条根数为（    ） A．120 B．220 C．240 D．360 7．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第③个图案有10个正六边形，第④个图案有13个正六边形，……，按此规律，第⑨个图案中含有的正六边形个数为（   ） A．25 B．28 C．31 D．34 8．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）按如图所示的规律拼图，其中第①个图有9个小正方形，第②个图有15个小正方形，第③个图有21个小正方形……，则第⑧个图中小正方形的个数是（    ） A．57 B．51 C．52 D．56 9．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有个顶点，第②个图形共有个顶点，第③个图形共有个顶点，…，按此规律排列下去，第⑧个图形顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第9个长方体的表面积是（ ）平方厘米． A．42 B．38 C．168 D．152 11．（24-25七年级上·全国·单元复习）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）． A．90 B．95 C．100 D．105 A．6 B．3 C．24 D．12 12．（24-25九年级下·云南文山·阶段检测）按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图8中木棒的根数是_________． 14．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，第1个图用了3枚棋子摆成；第2个图用了5枚棋子摆成；第3个图用了7枚棋子摆成，；按图中所示规律，第n个图需要棋子______枚． 15．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是______． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段检测）一个机器人在平面上沿着直线行动，但每走一米就会向右或向左转继续走，在某一时刻，它在未重复经过任何其他点的情况下回到了出发点，然后立即停下，问：机器人可能的路径长度有哪些？ 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，是一些由点构成的有规律的图形（点的大小忽略不计），图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形；图由个点构成，其上半部分为边长为，高为的等边三角形，下半部分是边长为的正方形，按此规律排下去． (1)第个图形上半部分等边三角形的边长为_______，高为_______（用含的式子表示），整个图形共由_____个点构成； (2)观察图形上半部分的等边三角形，将第个图中构成等边三角形的点个数记为，如，，，则的值为多少； (3)求第个图形的面积（用含的式子表示）以及点的个数． 【考点2】规律探究——数列与数表（第18-33题） · 等差、等比、平方数列：先观察相邻项关系再归纳 · 分数数列：分子分母分别找规律 · 数表排列：确定行首数字、每行个数与行号的关系 · 周期问题：找循环节，用序号除以周期取余数 18．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）观察下面一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么数是第_______行从左边数第_______个数． 19．（23-24七年级上·江苏南京·期末）点在直线上，点、、、…在射线上，点、、、…在射线上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度，一个动点从点出发按如图所示的箭头方向沿着实线段和以为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点到达点处所需时间为______秒． 20．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m的值应是________． 21．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）已知一串有规律的数：，，，，，…那么这串数的第9个数是( ) 22．（21-22七年级上·广西桂林·期末）已知：，，，，的个位数是，，则的个位数字是______． 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…依此规律，第五行的数是______． 24．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）正整数按如图所示的规律排列，则第23行第25列的数字为______． 25．（25-26七年级上·福建三明·期中）已知一组均不为1的数；，，，，．满足如下关系：，，，…，．若，则的值是_____． 26．（23-24七年级上·宁夏银川·期中）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第12列的数是 ___________ ． 27．（23-24七年级上·山东济南·阶段检测）观察下列算式 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)按以上规律写出第10个等式___________； (2)第n个等式___________； (3)试利用以上规律求的值． (4)你能算出的值吗？若能请写出解题过程． 28．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：，， (1)猜想______（的整数） (2)用你发现的规律计算： (3)计算： 29．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）观察下列式子：，，，，，…… (1)的个位数字是_______； (2)的个位数字是_______； (3)若为不能被4整除的正整数，则的个位数是______ 30．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数： 第一组：，，，，，…… 第二组：，，，，，…… 第三组：，，，，，…… 解答下列问题： (1)第一组的第8个数是 ； (2)如果第二组的第个数是，写出第一组的第个数是 ； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 32．（24-25八年级上·北京顺义·期中）我们知道，，那么结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即； 第n行n个圆圈中数的和为，即． 这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为____________（由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为____________ 由此，____________． 【解决问题】 根据以上发现，计算的结果． 33．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）观察下列等式 (1)写出第4个等式是： ． (2)猜想并写出第n个等式是： ．(用含n的式子表示，n为正整数) (3)探究并计算： 【考点3】代数式求值与整体代入（第34-40题） · 整体代入：把已知式整体代入目标式，先变形 · 差倒数：按定义循环计算，观察周期求值 · 定义运算：按规则代入，注意运算顺序与符号 · 正方体展开图：间隔一个面相对（或Z字形），利用和相等列式 34．（24-25七年级下·安徽·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 35．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值为____． 36．（24-25八年级上·山东东营·期中）已知：有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么_________． 37．（23-24七年级上·陕西西安·期中）规定：，例如，当时，；已知的值为202，则的值为________． 38．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）正整数a和b中，设个位数字记作，则__________． 39．（25-26七年级上·四川达州·期中）如图是一个正方体的展开图，正方体的相对面上的数字之和相等，则的值为____． 40．（23-24七年级上·山东临沂·期中）有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则______； (2)已知，则的值； (3)已知，，求代数式的值． 【考点4】列代数式与几何面积（第41-49题） · 阴影面积：整体减空白或分割求和 · 篱笆围场：设一边，用周长关系表示另一边 · 图形面积：大图形=各部分面积之和，用代数式表示 · 实际问题：设字母，根据数量关系列代数式 41．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）在计算一些特殊的异分母分数相加时，聪聪没有通分，而是利用数形结合的思想，把加法转化为减法来计算，请你也试一试．   (1)___= ___                               (2) ___= ___           (3)请根据上面的方法继续计算：_____ 42．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图②化简，______． 43．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）“文房四宝”中的砚台是中国毛笔书法的必备用具．图中砚台外部的正方形边长为m，内部圆形凹槽半径为n． （1）用含有m，n的式子表示2个砚台阴影部分的总面积为______； （2）当，时，2个砚台阴影部分的总面积是______．（取3） 44．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）现有长为40米的篱笆，准备利用它和一面墙围成如图所示的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为a米． (1)用含a的代数式表示养鸡场的长为_______米； (2)用含a的代数式表示养鸡场的面积为______平方米； (3)若墙的长度只有30米，6是否可以作为a的值，建设这个养鸡场吗？若可以，求出这个养鸡场的面积，若不可以，说明理由． 45．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）自从学了用字母表示数，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②，两数的平方和与，两数积的2倍的差； (2)完成下列表格： (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 46．（25-26七年级上·福建泉州·期中）张华家自建楼房，设计的窗户形状如图所示，其上部是一个半圆形，下部的两扇门是大小一样的两个小长方形，且每扇门的长为，宽为，窗框和门框都是铝合金材料（图中实线部分），窗户全部安装玻璃（图中空白部分，其中取3）． (1)用含、的式子表示：制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长_____．这扇窗户的采光面积_____（窗框和门框忽略不计）； (2)为了使窗户看起来比较美观，总高度设计为，总宽度设计为，求和的值． 47．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表是每人打字所用的时间． (1)把上表补充完整； (2)打字的速度和所用的时间成什么比例关系？为什么？ (3)刘老师打这份稿件用了32分钟，她平均每分钟打多少个字？ 48．（24-25七年级上·山东聊城·期中）某校高度重视学生的体育健康状况，计划在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球每个定价元，跳绳每条定价元．该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案：篮球和跳绳都按定价的付款； 方案：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球个，跳绳条． (1)按方案购买篮球和跳绳共需付款_____元；按方案购买篮球和跳绳共需付款_____元；（均用含的最简代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算； (3)若两种优惠方案可以同时使用，当时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需要付款的金额？ 49．（24-25七年级上·天津·期中）如图，把五个长为，宽为的小长方形，按图和图两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）． (1)大长方形的长为____； (2)设图中两块阴影部分的周长和为，图中阴影部分的周长为，请用含有，的代数式表示与； (3)若小长方形的周长为，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 图形规律先列表再归纳，等差型写成an+b形式并验证 · 数列与数表规律注意分子分母、行首与行列关系 · 代数式求值善用整体代入，差倒数循环计算找周期 · 几何面积用整体减空白或分割法，列式注意单位 · 新定义运算先读规则再代入，多做综合题巩固方法 【作业1】．（25-26七年级上·重庆·期中）下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有14个圆，第④个图形中有23个圆，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中圆的个数是（   ） A．96 B．98 C．119 D．121 【作业2】．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第10个数是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【作业4】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________．         【作业5】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【作业6】．（24-25七年级上·四川成都·期末）用小棒搭图形，按照这种规律，图需要______根小棒． 【作业7】．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段检测）将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则第12行的前两个数的和是_____． 【作业8】．（18-19七年级上·四川广安·期中）若，则的值是______． 【作业9】．（2024·吉林长春·一模）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共_________本． 【作业10】．（23-24七年级上·湖南永州·期中）月日零陵区第二届学生运动会在永州工商职业中专隆重召开，开幕式上蘋洲校区七年级三百多人为大家表演了一场精彩绝伦，美轮美奂的集体舞．学校为每位表演的同学购买了一套演出服装，下面是商家给出购买服装的优惠措施：①若购买服装不足套按每套标价元出售；②若购买服装不足套，超过套部分按标价折出售；③若购买服装超过套，超过套部分按标价折出售．若学校购买的服装为套，则应付款________元（用含的代数式表示，结果要化简）． 【作业11】．（22-23七年级上·四川德阳·阶段检测）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第10个数为___________，第n个数为___________． 【作业12】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【作业13】．（24-25七年级上·四川成都·期中）某班准备购买一些羽毛球拍和羽毛球，市场调查情况如下：某店羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每简定价15元．“双11”期间，该店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副球拍送两筒球； 方案二：球拍和球都打九折销售． 现要在该店购买球拍10副，球x筒． (1)若按方案一购买，需付款 元；若按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当购买40筒羽毛球时，用哪种方案购买更划算？ (3)当购买40筒羽毛球时，你有其它更省钱的方案吗？并按该方案计算其费用． 【作业14】．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形； 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【作业15】．（25-26七年级上·全国·寒假作业）一次数学测验中有一道题：若，求的值．试卷发下来后，小刚发现自己的答案是错误的： 解：由，得， ∴，， ∴； 小刚怎么也找不出错误的原因．聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过来． 【作业16】．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？ (2)一天中午餐厅要接待100位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么？ 【作业17】．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)请写出第4个式子： ； (2)若n为正整数，试猜想 ； (3)试利用（2）中猜想的结论比较13＋23＋33＋…＋103与（－56）2的大小． 【作业18】．（2024·河南·一模）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2024次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业19】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（    ） A．4 B． C．2 D．0 1 学科网（北京）股份有限公司 $