第4章 整式的加减（单元解读讲义）数学新教材人教版七年级上册

第四章 整式的加减（单元解读） 01课程标准 数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界。 在小学阶段，学生认识了正有理数，掌握了正有理数的四则运算，知道可以用字母表示数、数量关系及规律。在初中阶段，学生将认识负数、无理数，学习它们的四则运算，还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容。这些内容构成了初中阶段数与代数领域“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题。 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是一类应用广泛的数学工具；“函数”主要研究变量之间的关系，探索事物变化的规律；借助函数可以认识方程和不等式。 数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。 【内容要求】 1. 代数式 ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 ⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。 【学业要求】 1. 代数式 能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值；会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）；知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）；知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。 02单元内容分析 1. 教材地位 本单元为人教版七年级上册第四章“整式的加减”。它承接有理数运算与第三章代数式，把“用字母表示数量关系”进一步发展为“依据运算律变形和化简含字母的式子”，是学生系统学习代数运算的起点。单项式、多项式和整式构成运算对象，合并同类项、去括号构成基本工具，为后续一元一次方程及更复杂的代数运算奠定基础。 本章主要落实内容要求⑤中整式的概念、合并同类项、去括号及简单整式加减，并结合②③开展列式与化简求值。01保留了课标有关条目的完整表述，其中整式乘法、乘法公式、因式分解和分式运算属于后续学习内容，不纳入本单元达标要求。括号外的数逐项乘入，作为分配律的运用处理，不扩展为整式乘法的系统教学。 2. 知识结构 知识主线为“现实数量关系—单项式及其系数、次数—多项式的项、次数—整式—同类项—合并同类项—去括号—整式加减与化简求值”。4.1重在认识式子的结构与分类，4.2重在理解变形的依据和运算顺序；前者为后者提供术语和识别基础，后者使前者成为解决问题的工具。 （1）概念层：由 、、、 抽象单项式，继而由几个单项式的和认识多项式，再统称为整式。系数关注数字因数，次数关注字母指数；多项式的项须带符号，次数取最高项的次数。 （2）算理层：用分配律说明 ，由同类项的结构归纳合并法则；将括号前的正、负号分别理解为乘1、乘 ，由分配律解释去括号时的符号变化。 （3）应用层：由去括号、合并同类项形成整式加减的一般方法，再用于航船路程、纸盒表面积、乘客人数及化简求值，贯通“分析数量关系—列式—化简—解释结果”。 3. 课时安排与教学主线 依据素材中的五份教学设计安排5课时，共225分钟。4.1整式安排2课时，依次学习单项式及其系数、次数，多项式与整式；4.2整式的加法与减法安排3课时，依次学习同类项与合并同类项、去括号、整式加减综合与化简求值。每课时按“导入5分钟—新知20分钟—互动15分钟—小结5分钟”组织，较复杂的素材变式作为分层作业，不挤占概念与算理探究时间。 4. 核心素养与数学思想 从具体情境抽象整式及同类项，发展符号意识和抽象能力；由有理数运算律推及整式变形，体会数式通性，发展推理能力；以“先判结构、再定操作、最后检验”提升运算能力；以路程、面积和人数问题落实模型观念。分类讨论用于区分单项式与多项式、同类项与非同类项，整体意识用于把括号内的多项式视为一个运算对象。 03学情分析 1. 已有基础 学生已经学习有理数及其运算、运算律、乘方和代数式，能用字母表示简单数量关系，能把给定的数代入式子计算；小学阶段的面积、体积、行程等经验为列式提供了支撑。本章可从熟悉的乘法分配律出发建立数与式的联系，不以学生已经掌握一元一次方程为前提。 2. 主要困难 概念方面，易把负号误看成项间减法，把 与 混同，漏掉系数的符号或省略的1；易把数字指数计入次数，把多项式的次数误算为各项次数之和。同类项方面，容易只看总次数而不逐个比较字母与指数，或受字母书写顺序干扰。运算方面，易移项丢符号、合并时改变字母指数、去括号只变第一项或漏乘常数项；负数、分数代入时的括号和运算顺序仍需强化。 3. 教学应对 用正反例对照明确概念边界，要求学生先标出各项及其符号，再圈出同类项；把每一步变形与交换律、结合律、分配律相联系。练习由单一概念辨析到含分数系数的化简，再到应用与求值，逐步增加结构复杂度。对基础薄弱学生提供“项—系数—字母及指数”的观察支架，对学有余力学生选用素材中的逆向求式与错解辨析，不以复杂参数题或超前解方程替代本章重点。 04单元学习目标 （1）理解单项式、多项式和整式的概念，能依据结构进行分类，准确指出单项式的系数与次数、多项式的项和次数，并说明判断依据。 （2）理解同类项的含义，能从字母及相同字母的指数两个方面判断；能借助乘法分配律解释合并同类项的法则，做到系数相加、字母及其指数不变。 （3）掌握去括号法则，能解释括号前为负号或带系数时的处理方法，正确完成简单整式的加减，书写过程完整且结果不再含可合并的同类项。 （4）能根据给定数量关系列出整式加减算式，先化简再代入求值，正确处理负数和分数，并结合单位及情境检验和解释结果。 （5）经历观察、分类、类比、归纳与交流改错的过程，体会数式通性，形成有依据地变形、用符号表达规律和主动检查运算的习惯。 05教学重难点 1. 教学重点 理解整式及相关概念，掌握同类项识别、合并同类项和去括号法则，并能运用“先去括号，再合并同类项”完成整式加减；能将这些方法用于素材中的实际问题与化简求值。教学中突出法则来源、符号处理与规范步骤三条线。 2. 教学难点 准确区分系数、次数与项数，理解同类项与系数和字母顺序无关；把分配律中的数字运算迁移为含字母式子的变形，尤其正确处理括号前负号、负系数和多层括号；在应用题中把整个多项式作为对象，分清“总量相加”与“差量相减”。 3. 突破策略 采用“逐项带符号标记—比较字母及指数—说明运算依据—独立计算—同伴核验”的路径。以整数、分数、常数项的对照练习暴露概念误区，以括号前正负号的并列比较突破变号难点，以航船和纸盒的和差列式强化整体意识。检验既看数值，也看是否漏项、漏乘、误改指数以及是否回应题意。 06教学方法 1. 情境引导与概念归纳 沿用素材中的港珠澳大桥路程情境，从实际数量关系获得单项式，再比较已有代数式的结构，归纳单项式、多项式及整式概念。概念形成后马上安排正反例辨析，让学生以定义为依据，而不是仅凭式子的表面样子分类。 2. 类比迁移与算理解释 把有理数中的运算律与整式变形并置，先用具体数说明分配律，再将共同因数换成字母或字母的积。合并同类项和去括号均要求学生说出依据，使法则成为可以解释的操作，而不是孤立记忆的口诀。 3. 合作辨析与分层练习 组织“先独立判断—同伴说明—全班辨析”的活动，围绕漏符号、漏乘、错合并进行有依据的改错。基础层完成概念识别与一步运算，发展层完成多项式化简求值，提升层选取素材中的逆向求式或误把减法看成加法问题，并控制题量，及时反馈。 07教学资源 课堂资源：使用素材中的港珠澳大桥情境图、单项式与多项式辨析题、去括号对照题、航船问题和长方体纸盒示意图；准备可标记系数、字母指数与项的学习单，配合投影展示规范过程。板书按“概念与依据—典型例题—易错提醒”组织，纸盒图需标明长、宽、高，不能让学生依赖未说明的图形信息列式。 08教学过程 第1节 整式（2课时） 第1课时 单项式及其系数、次数 1. 课程导入（5分钟） 展示素材中的港珠澳大桥情境：一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛海底隧道入口，平均速度为92 km/h，行驶时间为 h。学生依据路程等于速度乘时间，列出路程 km。再出示上一章见过的 、、，观察它们与 的共同特点，聚焦“数或字母的积”，引出本课研究对象。 2. 新知讲授（20分钟） 按素材顺序探究概念、系数、次数。先归纳：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，如 、。判断 、、、、、，其中第1、2、5、6个是单项式；说明负号不等于项间减法，数字作分母不影响判断。再定义数字因数为系数：、、、、、 的系数依次为5、、1、、、。这里 表示常数，计入系数而不计入变量指数。最后归纳所有字母指数的和为单项式的次数； 的系数为8、次数为4，不能把数字2的指数计入次数，也不能漏掉 省略的指数1。非零常数的次数为0，对0的次数不作要求。教师要求学生每次判断都指出所依据的结构。 3. 课堂互动（15分钟） 选用素材的列式任务并随即指出系数与次数。三角形底为 、高为 ，面积为 ，系数 ，次数2；长方体的长、宽、高分别为 、、 cm，体积为 cm³，系数1，次数3； 的相反数为 ，系数 ，次数1。邮票每套5枚、售价6元，每张含10枚即两套， 张总价为 元。国旗长为 cm，长与高的比为3∶2，面积为 cm²，系数 ，次数2。学生独立完成后互相说明单位与字母含义；再判断 的系数为 、次数为6。学有余力者写出系数为2、含 、 的四次单项式，如 、，说明答案不唯一。 4. 课堂小结（5分钟） 学生用“是什么—系数是多少—次数是多少”梳理单项式。识别时看能否表示为数与字母的积，不能仅凭负号或分数形式下结论；系数连同符号一起读，省略的正、负1须补出；次数只求字母指数之和。教师用口头追问核对这三项，并提醒实际问题中的单位写在式子之后。 第2课时 多项式与整式 1. 课程导入（5分钟） 复习单项式、系数与次数，出示素材中的 、、、。学生说明它们都可看作几个单项式的和，由此从一项过渡到多项。教师追问减号前后的结构怎样理解，引导把减法看作加上相反数，为确定带符号的项作准备。 2. 新知讲授（20分钟） 依次研究多项式的概念与项、次数、整式分类。几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，不含变量的项叫常数项； 的项为 、、1，常数项为1； 的两项为 、，没有常数项。定义多项式的次数为次数最高的项的次数，用 逐项分析：各项次数依次为6、5、1、0，故是六次四项式，最高次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 。强调不能把各项次数相加。最后归纳单项式与多项式统称整式。分类 、、、、、、：第2、7个为单项式，第1、4、5个为多项式，均属整式；第3、6个在本章所讨论的写法下分母含变量，不是整式。 的系数为 ，次数为1。 3. 课堂互动（15分钟） 小组完成素材中的辨析并逐项给出依据： 是多项式，可写成 ； 的次数是3，不是5； 的常数项是 ，不是3； 是四次三项式，最高次项 的系数为1。再比较 ：数字 是常数项，不能据此认定多项式为五次，其次数仍为2。学生用不同标记分别圈出项的符号、各项次数和最高次项，教师根据“项带符号—逐项求次—取最高次”三个环节即时反馈；不把带参数的次数判定作为全体学生的课堂必达任务。 4. 课堂小结（5分钟） 建立“整式包括单项式和多项式”的关系。单项式次数是字母指数之和，多项式次数取最高次项的次数；确定多项式的项必须连同前面的符号，常数项不含变量。归纳分类依据，提醒不能把所有分数形式一概排除，也不能用数字的指数代替字母指数判断次数。 第2节 整式的加法与减法（3课时） 第1课时 同类项与合并同类项 1. 课程导入（5分钟） 复习单项式、多项式及次数，沿用素材中的港珠澳大桥两段路程合计问题，出示已经列出的 ，提出怎样化简。类比 和 ，由分配律得到 。突出共同因数从具体数换成字母，运算依据并未改变。 2. 新知讲授（20分钟） 先完成 、、，观察每组各项的字母及指数。归纳同类项的两个条件：所含字母相同，相同字母的指数相同；常数项之间也是同类项。比较 与 、 与 ，两组均不是同类项； 与 是同类项，说明系数和字母排列顺序不影响判断。然后用分配律解释合并同类项：把系数相加，字母及其指数保持不变。完整示范 ，分别说明交换、结合与分配的依据。归纳“找、换、合、写”：找出同类项，连符号交换结合，合并系数，写出结果；不同类项不能强合，没有同类项的项须照写，系数和为0的项不再写出。 3. 课堂互动（15分钟） 先独立完成素材练习 、、，同伴核验有无漏符号或错改指数。再化简 ，当 时，值为 ，体验先化简的简便。联系素材的生活问题：第一天在 h内每小时水位下降2 cm，第二天在 h内每小时上升0.5 cm，两天变化为 cm，表示下降 cm；仓库有5袋每袋 kg的大米，卖3袋再进4袋，现有 kg。要求学生区分有符号的变化量与最终的文字结论。 4. 课堂小结（5分钟） 学生用“两相同、两无关”复述同类项判断：字母和相同字母的指数相同，与系数及字母顺序无关。用分配律解释为什么合并时只相加系数，不能把字母指数相加。教师检查三点：移动项是否带符号、常数项是否合并、不能合并的项是否保留，并以一道口头辨析确认概念是否落实。 第2课时 去括号 1. 课程导入（5分钟） 依据素材港珠澳大桥情境：汽车通过主桥用 h，速度为92 km/h，通过海底隧道用 h，速度为72 km/h。学生列出两段路程的和 、差 ，指出在情境中 。追问怎样化简含括号的式子，引出本课对去括号的研究。 2. 新知讲授（20分钟） 由分配律分别得到 、，对照说明负系数须乘括号内每一项。再由 、 归纳：括号前是正号，去掉括号与正号后各项符号不变；括号前是负号，去掉括号与负号后各项符号全部改变。若还有系数，必须逐项相乘，不能漏乘常数项。按素材先示范 ，再辨析 、、。随后归纳整式加减的步骤：有括号先去括号，有同类项再合并；用 和 巩固，结果可按某个字母的降幂或升幂整理。 3. 课堂互动（15分钟） 先用素材题 和 检查是否逐项处理，再完成 。之后研究素材航船问题：两船从同港同时反向出发，甲顺水、乙逆水，静水速度均为50 km/h，水速为 km/h，情境要求 。2 h后相距 km；甲比乙多航行 km。学生比较为何一个求和、一个求差，并解释水流项在前者抵消、在后者相加。素材中的含分数求值题可留作分层作业，课堂重点核对列式及去括号的符号。 4. 课堂小结（5分钟） 以“看括号前的符号和系数—逐项相乘—合并同类项—检查结果”总结。正负号规律都来自分配律；负号相当于乘负1，括号里每一项均要处理。应用题先判断是求两量的和还是差，作为被减数或减数的整个式子应保持整体，不能省略必要的括号。 第3课时 整式加减综合与化简求值 1. 课程导入（5分钟） 按素材进行口头快练：、，再去掉 、、 中的括号。用 连接两种基本技能，明确本课将它们综合用于整式加减、实际问题与求值。 2. 新知讲授（20分钟） 先依素材巩固法则：；；。多层括号可由内向外逐层去掉，每次说明外部符号的作用，不能跳步漏项。再研究纸盒问题：小长方体纸盒长、宽、高为 、、 cm，大纸盒相应尺寸为 、、 cm，按封闭表面、忽略接缝损耗计算。小盒用纸面积为 cm²，大盒为 cm²；二者共用 cm²，大盒比小盒多用 cm²。之后处理高铁人数：原有 人，一半下车后又有人上车，现有 人，上车人数为 ，单位为人。要求字母取值使题中人数非负且为整数、过程可实施，不把表达式与实际数量的约束割裂。 3. 课堂互动（15分钟） 进入素材的化简求值探究：，当 、 时，原式 。归纳“一化、二代、三计算”，负数和分数代入要保留必要的括号。学生再独立完成 ，当 、 时，值为 ；同伴互查平方项是否抵消、负号是否正确。课堂出口题选素材中的 ，结果为 。素材的纸盒列式说明、含分数化简求值及逆向求式题根据掌握情况作分层延伸，不要求在同一课时全部完成。 4. 课堂小结（5分钟） 回顾全章“识别整式—判断同类项—去括号—合并—求值或解释”的知识链。整式加减有括号先去括号，再合并同类项，结果不留可合并的同类项；求值优先化简，再代入计算。实际问题须先列出符合数量关系的式子，明确单位并检验情境。学生分别说出本章最易出现的一种错误及其检查方法，教师据此安排针对性巩固。 09教学评价 1. 课堂表现评价 观察学生能否以定义说明整式分类和同类项判断，能否解释系数、次数、项数的区别；在合并与去括号时能否说出运算律依据，并在同伴交流中用“哪一项、哪个符号、哪一步”准确指出问题。把判断依据、过程规范和纠错质量纳入评价，不只统计最终答案。 2. 作业评价 基础层选素材中的整式辨认、系数次数、项及常数项、同类项判断和简单化简；发展层选 ，应化为 ，以及 ，应化为 ，当 、 时值为32。应用层选航船、纸盒或人数问题，要求同时提交数量关系、列式、化简和文字结论。按“概念—符号—漏项—运算—应用解释”分类记录错误，反馈到相应环节。 3. 单元达标评价 围绕四个维度组织小测：概念辨析要求指出单项式的系数、次数及多项式带符号的项；法则解释要求说明同类项判断及负号去括号的依据；综合运算可用 ，化简为 ，当 、 时值为16；应用表达选择素材原有的路程或面积问题。评价既看结果，也看能否列出结构正确的式子、规范变形并解释单位。 4. 学习过程评价与反馈 学生用“我能正确识别并说明理由、我能依据法则规范化简、我能先化简再求值、我能用结果回答实际问题”自评，同伴按相同标准互评。教师对概念混淆者回到正反例比较，对符号错误者强化逐项标记与负系数分配，对应用列式困难者回到数量关系和整体括号。提升练习只选素材已有的逆向任务，避免用超前内容增加无效负担，关注符号意识、推理能力与运算习惯的持续发展。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $