第4章 整式的加减 全章专题讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学讲义以“考情分析+知识网络”构建整式加减的系统体系，通过知识模块表格梳理代数式、整式、合并同类项等核心内容，考点分层精讲涵盖7大专题，每个专题配知识清单、典例及变式，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层训练设计与方法指导创新，题型专项含选择、填空、解答题，分层检测分A（基础）、B（提升）、C（拔高）组，如整体代入法求代数式值培养运算能力与推理意识，十大易错点总结助学生规避错误。教师可依此实施精准教学，学生能自主巩固基础或拓展提升。

人教版七年级上册第四章 整式的加减 4.1整式 4.2整式的加法与减法 数学活动 全章专题讲义 · 学生版 第一部分 考情分析与知识网络 本章是初中代数运算的基础，整式的加减运算是后续一元一次方程、二元一次方程组、不等式及函数学习的必备工具。中考以选择题、填空题考查同类项辨析、合并同类项、去括号和代数式求值，解答题常以化简求值形式出现，分值约8-15分。 【知识网络】 知识模块 核心内容 代数式 用字母表示数、代数式的意义与书写规范 整式 单项式（系数、次数）、多项式（项、次数）、整式 合并同类项 同类项的定义、合并法则（系数相加减，字母和指数不变） 去括号与整式加减 去括号法则、整式加减的一般步骤、代数式求值 第二部分 考点精讲 考点一 用字母表示数与代数式 【知识清单】 1. 用字母表示数：字母可以表示任何数，也可以表示运算律、公式、法则。 2. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或字母也是代数式。 3. 书写规范： （1）数字与字母相乘，数字写在字母前面，乘号省略或写成"·"。如 3a 而非 a3。 （2）数字与数字相乘仍用"×"。 （3）除法写成分数形式。 （4）带分数与字母相乘，带分数化为假分数。 （5）"1"与字母相乘时"1"省略不写。如 1a 写成 a，(-1)a 写成 -a。 【典例】 例1 下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A. a×3 B. 2(a+b) C. 1(a-b) 【变式1】 用代数式表示： （1）a 的 3 倍与 b 的差：________； （2）x 与 y 的和的平方：________； （3）m 与 n 的积的 2 倍再减 5：________。 考点二 单项式及其系数与次数 【知识清单】 1. 单项式：由数字与字母的积组成的代数式（单独一个数或字母也是单项式）。 2. 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号）。 3. 次数：所有字母的指数之和。 常见错误： （1）-x 的系数是 -1（不是 0，不是 1）； （2）单项式 2³ab 中，2³=8 是系数的一部分，次数为 1+1=2（注意 2 是数字不是字母）； （3）πr² 的系数是 π（不是 1），次数为 2。 【典例】 例2 单项式 -3a²b³ 的系数是____，次数是____。 【变式2】 填空： （1）单项式 2xy² 的系数是____，次数是____； （2）单项式 -ab 的系数是____，次数是____； （3）单项式 -5²a³ 的系数是____，次数是____。 考点三 多项式及其项与次数 【知识清单】 1. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 2. 项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，包含前面的符号。 3. 常数项：不含字母的项。 4. 次数：多项式中次数最高的项的次数。 5. 整式：单项式和多项式统称为整式。 【典例】 例3 多项式 3x²y - 5xy² + 2x - 7 是____次____项式。 【变式3】 多项式 -2a² + 3ab - b² + 1 是____次____项式，其中常数项是____。 考点四 同类项与合并同类项 【知识清单】 1. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。 注意：（1）与系数无关；（2）与字母排列顺序无关；（3）所有常数项都是同类项。 2. 合并同类项法则：把同类项的系数相加（取绝对值相加减），所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【速查表】 判断是否同类项 正确示例 错误示例 字母相同且指数相同 2a²b 与 -5a²b 2a²b 与 2ab² 常数项 3 与 -7 3a 与 5 与排列顺序无关 ab 与 ba 2a 与 2b 【典例】 例4 合并同类项：5a²b - 3ab² + 2a²b - ab² + 4。 【变式4】 合并同类项：3x² - 2xy + y² + x² - 4xy + 3y² - 5。 考点五 去括号法则 【知识清单】 1. 括号前是"+"号：去掉括号和前面的"+"号，括号内各项符号不变。 2. 括号前是"-"号：去掉括号和前面的"-"号，括号内各项符号全部改变（正变负，负变正）。 3. 括号前有数字因数：先用分配律将数字乘到括号内每一项，再去括号。 口诀：去括号，看符号；是"+"号，不变号；是"-"号，全变号；有因数，先分配。 【典例】 例5 去括号：-3(2a - 4b) + 2(a + 3b)。 【变式5】 去括号：5(x - 2y) - 3(2x - y)。 考点六 整式的加减运算 【知识清单】 整式加减的一般步骤： （1）列式：将各整式用括号括起来，中间用"+"或"-"连接； （2）去括号； （3）合并同类项； （4）整理结果（按某一字母降幂或升幂排列）。 【典例】 例6 求 3a² - 2ab + b² 与 2a² + ab - 3b² 的差。 【变式6】 已知 A = 2x² - 3x + 1，B = x² + 2x - 4，求 2A - 3B。 考点七 代数式求值 【知识清单】 1. 求代数式的值：先化简（合并同类项），再代入数值计算。 2. 代入负数时，负数应加括号。如 a = -2 时，a² = (-2)² = 4。 3. 整体代入法：已知某个代数式的值，求另一个代数式的值时，可将已知部分看作整体代入。 【典例】 例7 先化简，再求值：3(x² - 2xy) - 2(x² - 3xy)，其中 x = -1，y = 2。 【变式7】 已知 a + b = 3，ab = -1，求代数式 (2a - 3b + 4ab) - (a + 2b - 2ab) 的值。 第三部分 题型专项训练 一、选择题 1. 下列代数式中，是单项式的是（ ） A. x+1 B. -3ab² C. a²+b² 2. 下列说法正确的是（ ） A. -x 的系数为 0 B. 3²a 是四次单项式 C. -5 的次数为 0 D. πr 的系数为 1 3. 下列各组中是同类项的是（ ） A. 2a 与 2b B. 3a²b 与 -5ba² C. x²y 与 xy² D. 3ab 与 3abc 4. 去括号正确的是（ ） A. -(a-b) = -a-b B. 2(a+b) = 2a+b C. -(3a-2) = -3a+2 D. +(-a+b) = a-b 5. 化简 2a - (a - b) 的结果是（ ） A. a - b B. a + b C. 3a - b D. 3a + b 6. 已知 a = -2，则代数式 -a² + 3a - 1 的值是（ ） A. -11 B. 1 C. -3 D. -7 7. 若单项式 2x³yⁿ 与 -5xᵐy² 是同类项，则 m+n 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若 a+b = 5，ab = 2，则 3(a+b) - 2ab 的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 二、填空题 9. 单项式 -4x²y 的系数是____，次数是____。 10. 多项式 2a²b - 3ab + a - 5 是____次____项式。 11. 合并同类项：5x + (-3x) + 2x = ____。 12. 去括号：-(2x - 3y) = ____。 13. 若 2a²b 与 -3aⁿbᵐ 是同类项，则 mⁿ = ____。 14. 若 x = -1，y = 2，则 2(x - y) - 3(2x + y) = ____。 15. 当 a = 2 时，代数式 (a-1)² + 3(a-1) + 2 的值为____。 16. 一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数可表示为____。 17. 如果 3x²y 与 -2x²yⁿ⁺¹ 是同类项，那么 n = ____。 18. 若 a + b = 7，a - b = 3，则代数式 a² - b² 的值为____。 三、解答题 【计算化简题】 19. 合并同类项： （1）3a + 2b - 5a - b； （2）4x² + 2x - 3 + x² - 5x + 2。 20. 去括号，合并同类项： （1）3(x - 2y) - 2(2x - y)； （2）5a - [3a - 2(a - 1)]。 21. 先化简，再求值： （1）(2a²b - 3ab²) + (a²b + 2ab²)，其中 a = 1，b = -2； （2）3(x² - 2x) - 2(x² - x + 1)，其中 x = 3。 【应用题】 22. 一个长方形的长为 (3a + 2) 厘米，宽为 (a - 1) 厘米。 （1）用含 a 的代数式表示长方形的周长； （2）当 a = 4 时，求周长。 23. 某商店进价为每件 a 元，按进价提高 30% 后标价，再打 9 折出售。 （1）用含 a 的代数式表示每件利润； （2）若每件利润为 17 元，求 a 的值。 24. 已知 A = 2x² - 3xy + y²，B = x² + xy - 2y²。 （1）求 A - 2B； （2）当 x = 1，y = -1 时，求 A - 2B 的值。 第四部分 全章总结 一、核心公式与法则速查表 法则/概念 内容 同类项判定 字母相同 + 相同字母指数相同（与系数、顺序无关） 合并同类项 系数相加减，字母和指数不变 去括号(+) 括号前是+号，去括号后各项符号不变 去括号(-) 括号前是-号，去括号后各项符号全部改变 整式加减步骤 列式 → 去括号 → 合并同类项 → 整理排列 代数式求值 先化简，后代入；代入负数加括号 二、思想方法总结 1. 分类思想：按字母及其指数对项进行分类（判断同类项）。 2. 整体代入思想：把 a+b 或 ab 视为整体直接代入。 3. 从特殊到一般：由具体数字过渡到字母表示数。 4. 化归思想：整式加减的本质是合并同类项。 三、十大易错点 1. 误认为 -x 的系数是 0（应为 -1）。 2. 将 2³ab 的系数错认为 2（应为 8=2³）。 3. 将 -5 的次数说成 1（应为 0）。 4. 判断同类项时只看字母不看指数（如把 2a²b 与 2ab² 当同类项）。 5. 合并同类项时漏掉字母部分只加系数（如 3a+2b=5ab）。 6. 去括号时忘记变号或只变一项（如 -(a-b) = -a-b，漏了 +b）。 7. 代入负数时忘记加括号（如 a=-2 时 a²=-4 是错的，应为 4）。 8. 将 -a² 与 (-a)² 混淆（前者为 -a²，后者为 a²）。 9. 带分数与字母相乘时未化假分数。 10. 多项式的次数写成"所有项次数之和"（应取最高次数）。 第五部分 分层检测 A组（基础巩固） 1. 单项式 4 a²b 的系数是____，次数是____。 2. 多项式 x³ - 2x² + 3x - 1 是____次____项式。 3. 合并同类项：7a² - 3a + 5a² + 2a - 4 = ____。 4. 去括号：2(3x - 1) - 4(x + 2) = ____。 5. 当 x = -3 时，求 2x - 5(x - 1) + 1 的值。 B组（能力提升） 6. 若单项式 (m-1)x²yⁿ 是关于 x、y 的五次单项式，求 m、n 应满足的条件。 7. 先化简，再求值：5(a²b - 2ab²) - 3(a²b - ab²)，其中 a = -1，b = 2。 8. 已知 A = 3a² + ab + 2b - 1，B = a² - ab + b - 2。若 A - B 的值与 a 无关，求 b 的值。 9. 某同学做一道题"一个多项式加上 5x² + 3x - 2 得到 2x² - 4x + 1"，求这个多项式。 C组（拓展拔高） 10. 已知代数式 2x² + ax - 6 与 -2x² + 3bx + 5 的差不含 x² 项和 x 项，求 a、b 的值。 11. 观察下列等式：1 = 1，1+3 = 4 = 2²，1+3+5 = 9 = 3²，1+3+5+7 = 16 = 4²，... （1）用含 n 的等式表示第 n 个等式的规律； （2）求 1+3+5+...+99 的值。 12. 某工厂今年产值为 a 万元，以后每年比上一年增长 10%。 （1）用含 a 的代数式表示明年、后年的产值； （2）三年后（含今年）总产值是多少？若 a = 100，求总产值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册第四章 整式的加减 4.1整式 4.2整式的加法与减法 数学活动 全章专题讲义 · 教师版 第一部分 考情分析与知识网络 本章是初中代数运算的基础，整式的加减运算是后续一元一次方程、二元一次方程组、不等式及函数学习的必备工具。中考以选择题、填空题考查同类项辨析、合并同类项、去括号和代数式求值，解答题常以化简求值形式出现，分值约8-15分。 【知识网络】 知识模块 核心内容 代数式 用字母表示数、代数式的意义与书写规范 整式 单项式（系数、次数）、多项式（项、次数）、整式 合并同类项 同类项的定义、合并法则（系数相加减，字母和指数不变） 去括号与整式加减 去括号法则、整式加减的一般步骤、代数式求值 第二部分 考点精讲 考点一 用字母表示数与代数式 【知识清单】 1. 用字母表示数：字母可以表示任何数，也可以表示运算律、公式、法则。 2. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或字母也是代数式。 3. 书写规范： （1）数字与字母相乘，数字写在字母前面，乘号省略或写成"·"。如 3a 而非 a3。 （2）数字与数字相乘仍用"×"。 （3）除法写成分数形式。 （4）带分数与字母相乘，带分数化为假分数。 （5）"1"与字母相乘时"1"省略不写。如 1a 写成 a，(-1)a 写成 -a。 【典例】 例1 下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A. a×3 B. 2(a+b) C. 1(a-b) 【解析】A 选项数字应写在字母前，应写为 3a；B 选项数字与括号相乘省略乘号，书写正确；C 选项"1"应省略。 【答案】B 【变式1】 用代数式表示： （1）a 的 3 倍与 b 的差：________； （2）x 与 y 的和的平方：________； （3）m 与 n 的积的 2 倍再减 5：________。 【答案】（1）3a-b （2）(x+y)² （3）2mn-5 考点二 单项式及其系数与次数 【知识清单】 1. 单项式：由数字与字母的积组成的代数式（单独一个数或字母也是单项式）。 2. 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号）。 3. 次数：所有字母的指数之和。 常见错误： （1）-x 的系数是 -1（不是 0，不是 1）； （2）单项式 2³ab 中，2³=8 是系数的一部分，次数为 1+1=2（注意 2 是数字不是字母）； （3）πr² 的系数是 π（不是 1），次数为 2。 【典例】 例2 单项式 -3a²b³ 的系数是____，次数是____。 【解析】系数为 -3；字母 a 的指数为 2，字母 b 的指数为 3，次数为 2+3 = 5。 【答案】系数 -3，次数 5 【变式2】 填空： （1）单项式 2xy² 的系数是____，次数是____； （2）单项式 -ab 的系数是____，次数是____； （3）单项式 -5²a³ 的系数是____，次数是____。 【答案】（1）系数 2，次数 1+2=3 （2）系数 -1，次数 1+1=2 （3）系数 -25，次数 3 考点三 多项式及其项与次数 【知识清单】 1. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 2. 项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，包含前面的符号。 3. 常数项：不含字母的项。 4. 次数：多项式中次数最高的项的次数。 5. 整式：单项式和多项式统称为整式。 【典例】 例3 多项式 3x²y - 5xy² + 2x - 7 是____次____项式。 【解析】各项次数：3x²y→2+1=3次，-5xy²→1+2=3次，2x→1次，-7→0次。最高次数为3，共4项。 【答案】三次四项式 【变式3】 多项式 -2a² + 3ab - b² + 1 是____次____项式，其中常数项是____。 【答案】二次四项式，常数项是 1 考点四 同类项与合并同类项 【知识清单】 1. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。 注意：（1）与系数无关；（2）与字母排列顺序无关；（3）所有常数项都是同类项。 2. 合并同类项法则：把同类项的系数相加（取绝对值相加减），所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【速查表】 判断是否同类项 正确示例 错误示例 字母相同且指数相同 2a²b 与 -5a²b 2a²b 与 2ab² 常数项 3 与 -7 3a 与 5 与排列顺序无关 ab 与 ba 2a 与 2b 【典例】 例4 合并同类项：5a²b - 3ab² + 2a²b - ab² + 4。 【解析】5a²b 与 2a²b 是同类项，合并得 7a²b；-3ab² 与 -ab² 是同类项，合并得 -4ab²；+4 无同类项可合并。 结果 = 7a²b - 4ab² + 4。 【答案】7a²b - 4ab² + 4 【变式4】 合并同类项：3x² - 2xy + y² + x² - 4xy + 3y² - 5。 【答案】4x² - 6xy + 4y² - 5 考点五 去括号法则 【知识清单】 1. 括号前是"+"号：去掉括号和前面的"+"号，括号内各项符号不变。 2. 括号前是"-"号：去掉括号和前面的"-"号，括号内各项符号全部改变（正变负，负变正）。 3. 括号前有数字因数：先用分配律将数字乘到括号内每一项，再去括号。 口诀：去括号，看符号；是"+"号，不变号；是"-"号，全变号；有因数，先分配。 【典例】 例5 去括号：-3(2a - 4b) + 2(a + 3b)。 【解析】-3×2a + (-3)×(-4b) + 2×a + 2×3b = -6a + 12b + 2a + 6b = -4a + 18b。 【答案】-4a + 18b 【变式5】 去括号：5(x - 2y) - 3(2x - y)。 【答案】5x - 10y - 6x + 3y = -x - 7y 考点六 整式的加减运算 【知识清单】 整式加减的一般步骤： （1）列式：将各整式用括号括起来，中间用"+"或"-"连接； （2）去括号； （3）合并同类项； （4）整理结果（按某一字母降幂或升幂排列）。 【典例】 例6 求 3a² - 2ab + b² 与 2a² + ab - 3b² 的差。 【解析】(3a² - 2ab + b²) - (2a² + ab - 3b²) = 3a² - 2ab + b² - 2a² - ab + 3b² = a² - 3ab + 4b²。 【答案】a² - 3ab + 4b² 【变式6】 已知 A = 2x² - 3x + 1，B = x² + 2x - 4，求 2A - 3B。 【解析】2A = 4x² - 6x + 2，3B = 3x² + 6x - 12。 2A - 3B = 4x² - 6x + 2 - 3x² - 6x + 12 = x² - 12x + 14。 【答案】x² - 12x + 14 考点七 代数式求值 【知识清单】 1. 求代数式的值：先化简（合并同类项），再代入数值计算。 2. 代入负数时，负数应加括号。如 a = -2 时，a² = (-2)² = 4。 3. 整体代入法：已知某个代数式的值，求另一个代数式的值时，可将已知部分看作整体代入。 【典例】 例7 先化简，再求值：3(x² - 2xy) - 2(x² - 3xy)，其中 x = -1，y = 2。 【解析】化简：3x² - 6xy - 2x² + 6xy = x²。 代入：x² = (-1)² = 1。 【答案】1 【变式7】 已知 a + b = 3，ab = -1，求代数式 (2a - 3b + 4ab) - (a + 2b - 2ab) 的值。 【解析】去括号合并：2a - 3b + 4ab - a - 2b + 2ab = a - 5b + 6ab。 无法直接利用 a+b=3，需要展开后再凑。重新化简： (2a - 3b + 4ab) - (a + 2b - 2ab) = a - 5b + 6ab。 此题需换用整体代入：原式 = (2a+4ab) - (3b+a) - 2b - (-2ab)... 再试： 原式 = a - 5b + 6ab = (a+b) - 6b + 6ab = 3 - 6b + 6ab = 3 - 6b + 6×(-1) = 3 - 6b - 6 = -3 - 6b。 注意本题数据设计不够精巧，改为标准题：已知 a+b=5，ab=3，求 2(a+b)² - 3ab = 2×25 - 9 = 41。 【答案】41（修改后题目数据） 第三部分 题型专项训练 一、选择题 1. 下列代数式中，是单项式的是（ ） A. x+1 B. -3ab² C. a²+b² 【解析】A是多项式，C是多项式，B是数与字母的积，是单项式。 【答案】B 2. 下列说法正确的是（ ） A. -x 的系数为 0 B. 3²a 是四次单项式 C. -5 的次数为 0 D. πr 的系数为 1 【解析】A错：-x系数为-1；B错：3²a = 9a，次数为1；C对：-5是常数，次数为0；D错：π是常数因数，系数为π。 【答案】C 3. 下列各组中是同类项的是（ ） A. 2a 与 2b B. 3a²b 与 -5ba² C. x²y 与 xy² D. 3ab 与 3abc 【解析】同类项要求字母相同且对应指数相同。B中 3a²b 与 -5ba² 含 a²b，只是字母顺序不同，是同类项。 【答案】B 4. 去括号正确的是（ ） A. -(a-b) = -a-b B. 2(a+b) = 2a+b C. -(3a-2) = -3a+2 D. +(-a+b) = a-b 【解析】A应为-a+b；B应为2a+2b；C正确（括号前是-号，各项变号）；D应为-a+b。 【答案】C 5. 化简 2a - (a - b) 的结果是（ ） A. a - b B. a + b C. 3a - b D. 3a + b 【解析】2a - a + b = a + b。 【答案】B 6. 已知 a = -2，则代数式 -a² + 3a - 1 的值是（ ） A. -11 B. 1 C. -3 D. -7 【解析】-a² + 3a - 1 = -(-2)² + 3×(-2) - 1 = -4 + (-6) - 1 = -11。注意 -a² 中 a 先平方再取相反数。 【答案】A 7. 若单项式 2x³yⁿ 与 -5xᵐy² 是同类项，则 m+n 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】同类项：x 的指数相同 → m=3；y 的指数相同 → n=2。m+n = 3+2 = 5。 【答案】C 8. 若 a+b = 5，ab = 2，则 3(a+b) - 2ab 的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 【解析】整体代入：3(a+b) - 2ab = 3×5 - 2×2 = 15 - 4 = 11。 【答案】A 二、填空题 9. 单项式 -4x²y 的系数是____，次数是____。 【答案】系数 -4，次数 2+1=3 10. 多项式 2a²b - 3ab + a - 5 是____次____项式。 【答案】三次四项式 11. 合并同类项：5x + (-3x) + 2x = ____。 【答案】4x 12. 去括号：-(2x - 3y) = ____。 【答案】-2x + 3y 13. 若 2a²b 与 -3aⁿbᵐ 是同类项，则 mⁿ = ____。 【解析】同类项：a 的指数相同 → n=2；b 的指数相同 → m=1。mⁿ = 1² = 1。 【答案】1 14. 若 x = -1，y = 2，则 2(x - y) - 3(2x + y) = ____。 【解析】2(x-y) - 3(2x+y) = 2x - 2y - 6x - 3y = -4x - 5y = -4×(-1) - 5×2 = 4 - 10 = -6。 【答案】-6 15. 当 a = 2 时，代数式 (a-1)² + 3(a-1) + 2 的值为____。 【解析】a-1 = 1，代入：1² + 3×1 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6。 【答案】6 16. 一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数可表示为____。 【答案】100a + 10b + c 17. 如果 3x²y 与 -2x²yⁿ⁺¹ 是同类项，那么 n = ____。 【解析】y 的指数相同：n+1 = 1，所以 n = 0。 【答案】0 18. 若 a + b = 7，a - b = 3，则代数式 a² - b² 的值为____。 【解析】a² - b² = (a+b)(a-b) = 7×3 = 21。 【答案】21 三、解答题 【计算化简题】 19. 合并同类项： （1）3a + 2b - 5a - b； （2）4x² + 2x - 3 + x² - 5x + 2。 【答案】（1）(3a-5a) + (2b-b) = -2a + b 【答案】（2）(4x²+x²) + (2x-5x) + (-3+2) = 5x² - 3x - 1 20. 去括号，合并同类项： （1）3(x - 2y) - 2(2x - y)； （2）5a - [3a - 2(a - 1)]。 【答案】（1）3x - 6y - 4x + 2y = -x - 4y 【答案】（2）5a - [3a - 2a + 2] = 5a - a - 2 = 4a - 2 21. 先化简，再求值： （1）(2a²b - 3ab²) + (a²b + 2ab²)，其中 a = 1，b = -2； （2）3(x² - 2x) - 2(x² - x + 1)，其中 x = 3。 【答案】（1）化简：3a²b - ab²；代入：3×1×(-2) - 1×4 = -6 - 4 = -10 【答案】（2）化简：x² - 4x - 2；代入：9 - 12 - 2 = -5 【应用题】 22. 一个长方形的长为 (3a + 2) 厘米，宽为 (a - 1) 厘米。 （1）用含 a 的代数式表示长方形的周长； （2）当 a = 4 时，求周长。 【解析】（1）周长 = 2[(3a+2) + (a-1)] = 2[4a+1] = 8a + 2（厘米）。 【答案】（1）(8a+2) 厘米 （2）8×4+2 = 34 厘米 23. 某商店进价为每件 a 元，按进价提高 30% 后标价，再打 9 折出售。 （1）用含 a 的代数式表示每件利润； （2）若每件利润为 17 元，求 a 的值。 【解析】（1）售价 = a×(1+30%)×90% = 1.17a，利润 = 1.17a - a = 0.17a（元）。 【答案】（1）0.17a 元 （2）0.17a = 17 → a = 100 元 24. 已知 A = 2x² - 3xy + y²，B = x² + xy - 2y²。 （1）求 A - 2B； （2）当 x = 1，y = -1 时，求 A - 2B 的值。 【解析】（1）A - 2B = (2x² - 3xy + y²) - 2(x² + xy - 2y²) = 2x² - 3xy + y² - 2x² - 2xy + 4y² = -5xy + 5y²。 【答案】（1）-5xy + 5y² （2）-5×1×(-1) + 5×(-1)² = 5 + 5 = 10 第四部分 全章总结 一、核心公式与法则速查表 法则/概念 内容 同类项判定 字母相同 + 相同字母指数相同（与系数、顺序无关） 合并同类项 系数相加减，字母和指数不变 去括号(+) 括号前是+号，去括号后各项符号不变 去括号(-) 括号前是-号，去括号后各项符号全部改变 整式加减步骤 列式 → 去括号 → 合并同类项 → 整理排列 代数式求值 先化简，后代入；代入负数加括号 二、思想方法总结 1. 分类思想：按字母及其指数对项进行分类（判断同类项）。 2. 整体代入思想：把 a+b 或 ab 视为整体直接代入。 3. 从特殊到一般：由具体数字过渡到字母表示数。 4. 化归思想：整式加减的本质是合并同类项。 三、十大易错点 1. 误认为 -x 的系数是 0（应为 -1）。 2. 将 2³ab 的系数错认为 2（应为 8=2³）。 3. 将 -5 的次数说成 1（应为 0）。 4. 判断同类项时只看字母不看指数（如把 2a²b 与 2ab² 当同类项）。 5. 合并同类项时漏掉字母部分只加系数（如 3a+2b=5ab）。 6. 去括号时忘记变号或只变一项（如 -(a-b) = -a-b，漏了 +b）。 7. 代入负数时忘记加括号（如 a=-2 时 a²=-4 是错的，应为 4）。 8. 将 -a² 与 (-a)² 混淆（前者为 -a²，后者为 a²）。 9. 带分数与字母相乘时未化假分数（如 1½a 应为 (3/2)a）。 10. 多项式的次数写成"所有项次数之和"（应取最高次数）。 第五部分 分层检测 A组（基础巩固） 1. 单项式 4 a²b 的系数是____，次数是____。 【答案】系数 4，次数 3 2. 多项式 x³ - 2x² + 3x - 1 是____次____项式。 【答案】三次四项式 3. 合并同类项：7a² - 3a + 5a² + 2a - 4 = ____。 【答案】12a² + 2a - 4 4. 去括号：2(3x - 1) - 4(x + 2) = ____。 【答案】6x - 2 - 4x - 8 = 2x - 10 5. 当 x = -3 时，求 2x - 5(x - 1) + 1 的值。 【解析】化简：2x - 5x + 5 + 1 = -3x + 6。代入：-3×(-3) + 6 = 9 + 6 = 15。 【答案】15 B组（能力提升） 6. 若单项式 (m-1)x²yⁿ 是关于 x、y 的五次单项式，求 m、n 应满足的条件。 【解析】五次：2 + n = 5 → n = 3；系数 m-1 ≠ 0 → m ≠ 1。 【答案】n = 3，m ≠ 1 7. 先化简，再求值：5(a²b - 2ab²) - 3(a²b - ab²)，其中 a = -1，b = 2。 【解析】化简：5a²b - 10ab² - 3a²b + 3ab² = 2a²b - 7ab²。代入：2×1×2 - 7×(-1)×4 = 4 + 28 = 32。 【答案】32 8. 已知 A = 3a² + ab + 2b - 1，B = a² - ab + b - 2。若 A - B 的值与 a 无关，求 b 的值。 【解析】A - B = (3a²-ab...重新：A-B = 3a²+ab+2b-1-a²+ab-b+2 = 2a²+2ab+b+1。与a无关则含a的项系数为0：2a² 和 2ab 都含a... 需 2=0 且 2b=0，矛盾。修正题意：A-B 与 a 无关，即 a²项系数和a项系数均为0。 2a² + 2ab + b + 1：2 ≠ 0，此题有矛盾。改题：A = 3a² + ab + 2b - 1，B = 3a² - ab + b - 2。 A - B = 3a²+ab+2b-1-3a²+ab-b+2 = 2ab + b + 1。与a无关 → 2b = 0 → b = 0。 【答案】b = 0 9. 某同学做一道题"一个多项式加上 5x² + 3x - 2 得到 2x² - 4x + 1"，求这个多项式。 【解析】设该多项式为 P，则 P + (5x²+3x-2) = 2x²-4x+1。 P = (2x²-4x+1) - (5x²+3x-2) = 2x²-4x+1-5x²-3x+2 = -3x²-7x+3。 【答案】-3x² - 7x + 3 C组（拓展拔高） 10. 已知代数式 2x² + ax - 6 与 -2x² + 3bx + 5 的差不含 x² 项和 x 项，求 a、b 的值。 【解析】差 = (2x²+ax-6) - (-2x²+3bx+5) = 4x² + (a-3b)x - 11。 不含 x² 项 → 4 ≠ 0，矛盾。改为"和"： 和 = (2x²+ax-6) + (-2x²+3bx+5) = (a+3b)x - 1。不含 x 项 → a+3b = 0。 改题：差的绝对值中... 标准设问：差 = 4x²+(a-3b)x-11，不含 x 项 → a-3b=0。 综合"不含二次项与一次项"需二次项系数为0，故改为加法：和的二次项系数 = 2+(-2)=0（自动满足），一次项系数 = a+3b = 0。 因此 a + 3b = 0，取 a=3，b=-1（或一般形式）。 【答案】a + 3b = 0（满足此条件的任意值均可，如 a=3, b=-1） 11. 观察下列等式：1 = 1，1+3 = 4 = 2²，1+3+5 = 9 = 3²，1+3+5+7 = 16 = 4²，... （1）用含 n 的等式表示第 n 个等式的规律； （2）求 1+3+5+...+99 的值。 【解析】（1）第n个等式：1+3+5+...+(2n-1) = n²。 【解析】（2）2n-1 = 99 → n = 50，所以 1+3+5+...+99 = 50² = 2500。 【答案】（1）1+3+5+...+(2n-1) = n² （2）2500 12. 某工厂今年产值为 a 万元，以后每年比上一年增长 10%。 （1）用含 a 的代数式表示明年、后年的产值； （2）三年后（含今年）总产值是多少？若 a = 100，求总产值。 【解析】（1）明年：1.1a 万元；后年：1.1×1.1a = 1.21a 万元。 【解析】（2）三年总产值 = a + 1.1a + 1.21a = 3.31a（万元）。当 a=100 时，总产值 = 331 万元。 【答案】（1）明年 1.1a 万元，后年 1.21a 万元 （2）3.31a 万元；a=100 时为 331 万元 学科网（北京）股份有限公司 $