山西省临汾第一中学校2026-2027学年度第一学期高三年级周测试题（八）数学试题

临汾一中2026—2027学年度第一学期高三年级周测试题（八） 数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．是纯虚数 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 7．实数满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知 ，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，则下列结论中正确的有（   ） A．与的夹角为 B． C． D．与的夹角为 10．在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 11．设的内角，，的对边分别为，，，，且外接圆的半径为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若关于的一元二次不等式的解集为，则______． 13．已知，，则＝_________. 14．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为________. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数． (1)求的值； (2)在中，若，求的最大值. 16．（15分）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 17．（15分）海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少; (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）. 18．（17分）如图，圆心角为的扇形的半径为2，C是弧AB上一点，作矩形，且点D在半径上，点E，F在半径上．记. (1)用表示四边形的面积. (2)当四边形的面积取得最大值时，角的取值是多少,最大面积是多少. 19．（17分）已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若函数恰有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 人难我难我不畏难，人易我易我不大意！ 试卷第1页，共3页 用心做题 认真审题 分步作答 规范书写！ 4 学科网（北京）股份有限公司 《临汾一中2026—2027学年度第一学期高三年级周测试题（八）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D B A A C B B A ACD ABC ACD 2.5 4 5．C【详解】由，得， 即， ， ，. 7．B【详解】设，，由题意得，，设， ，则可得方程组，解得， 即，由得，由得，则两式相乘可得. 8．A【详解】令， ， 时，，在上减，时，，在上增， 由，可得，所以， 又因为，所以，，在上增，所以，故BD错误； ，所以，所以，故C错误，A正确. 10．ABC【详解】，，即，解得， ，所以，则是首项为，公比为3的等比数列，故A正确；由题得 ，即，所以为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确；当时， ，又符合，，故C正确； 已知，则，故D错误． 11．ACD【详解】对于A选项，因为, ，故A正确； 对于B选项，由A选项可知， 所以 ，所以，故B错误； 对于C选项，又外接圆的半径为，所以， 所以的面积，故C正确； 对于D选项，因为，所以，即， 又，所以，即，所以，故D正确． 12． 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且，所以，解得，代入方程得，解得，所以，所以． 13．【详解】，即，即， 因，联立①与②，解得， ． 15．（1）， 所以. 6分 （2）由（1）得，而是的内角，则，， 8分 ， 11分 由，得， ，所以的最大值为. 13分 16．（1）由题意，得且，解得 6分 所以. 8分 （2）证明： . 10分 则 14分 因为，所以，所以. 15分 17．（1）在中，因为，， 所以，，又，由正弦定理得，即，解得，所以A船距离雷达站C距离为60海里； 6分 （2）在中，由正弦定理得，即，得， 在中，由余弦定理可得，解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，所以能在小时内赶到救援. 9分 18．（1），， 4分 ，所以， 6分 矩形面积 8分 （2） 12分 ，，当即， 15分 即为弧的中点时，取最大值，此时． 17分 19．（1）由题意知， ，在0处的切线方程为． 3分 （2）由，得，当时，；当时，得，即， 4分 令， ，当时，，在上减，当时，，在上增，所以，所以 ． 7分 （3）（i）， 8分 设，若，则在上单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故． 当时，恒成立，故当时，； 当时，即-1为的一个极小值点． 9分 又，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，即有最小值． 又恰有三个极值点，即有两个变号零点，即，即． 11分 （ii）证明：由（i）知，且即 要证，即证，即证，即证， 即证，即．即证， 即证． 14分 设，设， 则， 即，仅在处取等号，其余点严格大于 0， 则单调递增，而，则，即， 又，在上单调递增，所以， 即，即． 17分 答案第1页，共2页 3 学科网（北京）股份有限公司 $