山西省临汾第一中学校2026-2027学年第一学期高三年级周测（四）数学试题

**基本信息** 临汾一中高三周测数学卷以抗战胜利80周年答题竞赛、会场座位分布等真实情境为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高三一轮复习的基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|分层抽样、复数、集合等基础知识点|第1题分层抽样直接考查样本抽取，注重概念应用| |多选|3/18|数列性质、函数极值、双曲线几何性质|第9题辨析等差等比数列判定，选项设计梯度化| |填空|3/15|向量夹角、函数极值点、立体几何二面角|第14题直三棱柱与二面角结合，强调空间想象| |解答题|5/77|三角函数图像、抛物线定点、概率统计等|第19题以抗战胜利为背景考查概率模型与等比数列证明，第16题探究抛物线焦点弦垂直问题定点，体现高考综合应用趋势|

临汾一中2026—2027学年度第一学期高三年级周测试题（四） 数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1．某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则男生应抽取的人数是（   ） A．22 B．18 C．16 D．14 2．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 6．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且（为常数），则 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有三个单调区间 B．在定义域上没有最值 C．若有三个零点，且有两个极值点，则成等差数列 D．若有三个零点，且有两个极值点，则成等比数列 11．我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ） A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非零向量满足，则与的夹角大小为__________. 13．若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 14．在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则__________. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1) (6分)求图象的对称轴方程； (2) (7分)若，使得成立，求实数的取值范围. 16．已知抛物线仅经过中的一点. (1) (5分)求的方程； (2) (10分)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 17．如图，在四棱锥中，，，且.    (1) (6分)求证：； (2) (9分)若，求平面与平面所成角的余弦值. 18．已知函数. (1) (7分)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值； (2) (10分)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1) (3分)求小明答4道题后积分小于5的概率. (2) (4分)设小明答5道题后积分为，求. (3) 若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则. （i）(5分)证明：为等比数列； （ii）(5分)求的值. 人难我难我不畏难，人易我易我不大意！ 试卷第1页，共3页 用心做题 认真审题 分步作答 规范书写！ 4 学科网（北京）股份有限公司 《临汾一中2026—2027学年度第一学期高三年级周测试题（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A D C A C B A D CD ABD ACD 1 6．B依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 7．A由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得，所以， 对于有，故离心率为. 8．D在中，由余弦定理结合得： ，当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减，故，所以的最大值为. 9．CD对于A，，， 数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，，满足上式，因此，当时， 数列不是等比数列，B错误； 对于C，是等差数列，，C正确； 对于D，当时，，， 由是等比数列，得，因此，，D正确. 10．ABD函数定义域为，求导得 对于A，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增，A正确； 对于B，由选项A知，在处取得极大值， 在处取得极小值，而， ，因此在上没有最值，B正确； 对于CD，，由选项AB，得， ，，不成等差数列，成等比数列，C错，D对. 11．ACD设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，故A正确； 对于B，设，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）， 由得，所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为，该方程具有一般性， 设是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，由，解得，所以点，同理， 则， 又因为，所以，即，故B错误； 对于C，由B知，，所以是线段AB的中点，故C正确； 对于D，如图，设交轴于点，因为在点处的切线方程为， 令，得，所以点，则，是定值，故D正确.   14．1 在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得， 在平面内过作于，连接FG，由平面，平面,得， 而平面，则平面，又平面， 故，又平面，则平面，面,故,故二面角的平面角，即，依题意，，又，，因此，所以. 15．（1）， 因为的对称轴为，令，解得， 所以图象的对称轴方程为 6分 （2）当时，，当，即时，取最大值1， 当，即时，取最小值，则， 因为，使得成立，则有解，所以，即， 所以实数的取值范围为. 13分 16．（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. 5分 (2)由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点 15分 17．（1）在直角梯形中，，，连接， ，， 则，，而，平面， 因此平面，又平面，所以. 6分 （2）由（1）得，， 则，，又，面， 因此平面，而平面，则，作交于，连接， 则，而平面，于是平面， 又平面，则，是平面与平面所成的角， ，又，则， 所以平面与平面所成角的余弦值. 15分 18．（1）由，得，令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减，， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 且当时，，当时，且， 作出的大致图象如图： 又，且有唯一的实数根，所以. 7分 （2）依题意，不等式在时恒成立， 设，求导得， 当时，在上恒成立， 在上单调递增，则，不满足条件； 当时，令，则， 当，即时，，则当时，， 函数在上单调递减，因此，满足条件； 当，即时，由，得， 当时，，则，在上单调递增， 当时，有，不满足条件， 所以实数的取值范围为. 17分 19．（1）小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题，概率为． 3分 （2）设小明答对的题数为，则他答错的题数为，所以． 由题意知，所以，所以． 7分 （3）（i）当小明的积分为时，若小明接下来一题答对，则积分变为， 若小明接下来一题答错，则积分变为．由全概率公式有． 整理可得． 又，所以为等比数列． 12分 （ii）由（i）可得，所以， 又，所以．所以 17分 答案第1页，共2页 6 学科网（北京）股份有限公司 $