专题04 期中选填压轴题汇总18种题型87题（数的整除+分数+有理数）（期中专项训练）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 期中选填压轴题汇总18种题型87题 （数的整除+分数+有理数） 题型1 最大公因数 / 最小公倍数 题型2 整除特征综合判断（2、3、5、9） 题型3 最大公因数 / 最小公倍数实际应用 题型4 素数、合数、奇偶性概念辨析 题型5 裂项相消求和 题型6 单位“1”转化与量率对应 题型7 分数简便运算 题型8 分数与小数互化 / 循环小数 题型9 由数轴位置判断结论正误 题型10 数轴折叠与平移 题型11 绝对值化简（根据数轴位置去绝对值） 题型12 绝对值几何意义（距离和的最小值） 题型13 数轴动点（相遇与追及） 题型14 新定义运算 题型15 幻方（九宫格） 题型16 程序框图（流程图） 题型17 规律探究（数列 / 图形） 题型18 概念综合辨析（有理数章末高频） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 分解素因数逆推：最大公因数 / 最小公倍数（共5小题） 【模型】已知 A=2×3×a、B=2×5×b 型表达式（或已知两数分解素因数结果），反求最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）；或反过来已知 GCD、LCM 求原数。 【步骤】① 把两数写成素因数幂次排列（指数对齐）；② GCD = 取公共素因数的“较小指数”幂相乘；③ LCM = 取所有素因数的“较大指数”幂相乘；④ 牢记关系：A×B = GCD × LCM，可用于验算。 【易错】① 漏掉公共素因数（如两数都含 2² 与 2³，GCD 取 2² 而非 2）；② LCM 误把公共部分乘两遍；③ a、b 本身可能是素数也可能是合数，未讨论 a、b 是否与已有素因数重复；④ “整除”只在整数范围内讨论，出现 2.5、0 即排除。 1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，已知甲数是 12，则乙数是（    ） A．18 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【详解】解：根据“两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积”可得， 乙数． 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个数的最小公倍数是180，最大公因数是15，则这两个数是___________． 【答案】15和180或45和60 【详解】解：设这两个数为和，最大公因数为15，则，，其中和互质． 最小公倍数为， 所以． 12的互质正整数对有． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 因此这两个数为15和180或45和60． 故答案为：15和180或45和60． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）对于最简真分数A，规定表示分子与分母的最大公因数，表示分子与分母的最小公倍数，若最简真分数满足，那么______． 【答案】13 【详解】解：由题意可知， ∵最简真分数A，规定表示分子与分母的最大公因数， ∴， 同理， 又∵， ∴， 即9与m的最小公倍数是117，而， ∵是真分数， ∴， 故答案为：13． 4．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 【答案】或 【详解】解：，而， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，不合题意， 综上所述：甲乙两数的和为42或78． 故答案为：42或78． 5．（25-26六年级上·上海·期中）甲数，乙数，、均为素数，甲数和乙数的最大公因数是105，最小公倍数小于1200，那么______． 【答案】3或5 【详解】解：甲数，乙数，最大公因数为， ∵，甲数中含3和7，不含5， ∴A必须为5，甲数为， ∵乙数含3、5、7，最大公因数为， ∴B不能为2（否则公因数含2，最大公因数变为210）， ∵最小公倍数小于1200，B为素数， ∴若，乙数，最小公倍数； 若，乙数，最小公倍数； 若，乙数，最小公倍数，不符合条件； ∴或． 故答案为：或 题型2 整除特征综合判断（2、3、5、9）（共6小题） 【模型】给出一个多位数 □ 中填数字，使它同时被 2/3/5/9 整除，或判断“下列说法正确的有几个”。 【步骤】① 被 2 整除看末位偶；② 被 5 整除看末位 0 或 5；③ 被 3（或 9）整除看各位数字之和被 3（或 9）整除；④ 同时被 2、5 整除→末位必为 0；⑤ 被 4 看末两位，被 8 看末三位（沪教六上拓展）。 【易错】① 把“被 3 整除”错记成“末位被 3 整除”；② 同时被 2、5 整除时末位只写 5；③ 填 □ 时漏解（数字和是 3 的倍数常有多个解）；④ 忽略 0 也是偶数、也能被任何非零整数整除；⑤ “a 能被 b 整除”与“b 能被 a 整除”方向混淆。 6．（25-26六年级上·上海·期中）小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 【答案】D 【详解】解：∵小齿轮齿数，每分钟转3圈， ∴4分钟转圈， 转过齿数：齿． ∵齿轮咬合，转过的齿数相等，且大齿轮需回到初始位置， ∴大齿轮转过的圈数为整数， 设大齿轮齿数为，则， ∴需为的因数． 选项中，（整数）， 而、、均不能整除， 故选：D． 7．（25-26六年级上·上海·期中）用226、192、141分别除以同一个正整数，得到的余数都相同，且余数不为0，这个正整数是________． 【答案】17 【详解】解：，，． 、、的公因数有1和17， 由于余数不为0，故除数为17． 验证得，，，余数相同且不为0． 故答案为17． 8．（25-26六年级上·上海·阶段检测）从0、2、3、4、5、8中选出四个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是_______． 【答案】 【详解】解：能同时被2、3、5整除的数，其末尾数字必须是0，且各个数位上的数字的和必须被3整除， 要使这个四位数最大，则先选千位上的数字为8，再在剩下的数字中选最大的5为百位上的数字，此时十位上的数字只能是2（，15能被3整除）， 所以这个最大的四位数是， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是______． 【答案】6432 【详解】解：∵可选数字没有0， ∴2和5不能同时出现． 若选了3，则所选数字的和必须为3的倍数， 若选了4，则所组成的数字最后两位是4的倍数， 若同时选择了2和3，则同时被2、3整除的数必为6的倍数， 为了使得所排的数尽可能大，应让6在第一位，同时考虑以上因素，最大值为6432． 故答案为：6432． 10．（24-25六年级上·上海·期中）在2018后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被13、17整除，则这个七位数最小是______ 【答案】 【详解】解：∵这个七位数，分别能被13、17整除， ∴这个七位数能被整除， ∵， ∴要使得这个七位数最少，那么这个七位数除以221的结果应该为， ∴这个七位数最小是， 故答案为：． 11．（25-26六年级上·上海·期中）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“兰生数”，如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“兰生数”．若四位“兰生数”各位数字之和能被3整除，则满足条件的四位“兰生数”最大值为________． 【答案】5880 【详解】解： 第一位数字5被1整除恒成立， 前两位数被2整除，则x为偶数，可取0，2，4，6，8， 前三位数被3整除，则被3整除， 整个数被4整除，则被4整除， ∵四位“兰生数”各位数字之和能被3整除， ∴由被3整除，得z被3整除，故z可取0，3，6，9， ∴当“兰生数”最大时，取， ∴需要被3整除， ∴可取2，5，8， ∴取， ∵z被3整除，且被4整除， ∴仅时，80被4整除， 故满足条件的四位“兰生数”最大值为5880， 故答案为：5880． 题型3 最大公因数 / 最小公倍数实际应用（截段、分发、相遇）（共5小题） 【模型】“把两根木条截成同样长且无剩余”“苹果梨分给若干小朋友刚好分完”“两路车再次同时发车时间”——选填压轴常以填空题出现。 【步骤】① 问“最长/最多/刚好分完无剩余”→求 GCD；② 问“至少再过多久/再次同时/最少总数”→求 LCM；③ 截段问题：段数=总长÷每段长；④ 分发问题：人数=GCD，每人得个数=各自数量÷GCD。 【易错】① GCD 与 LCM 用反（截木条用 LCM 是经典错）；② 截段问题只求了每段长，忘了求“共几段”；③ 发车问题只算了 LCM，忘了问的是“下次发车几点”要加时间；④ 单位不统一（米与厘米）。 12．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 【答案】8 【详解】解：，， 200和150的最大公因数是：， ， ， 最少安需要（盏）， 故答案为：8． 13.王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支，王老师这盒铅笔最少有______支． 【答案】59 【详解】解：由题意，王老师这盒铅笔的支数加上1，能同时被2，3，4，5整除， 2，3，4，5的最小公倍数为， （支）；即王老师这盒铅笔最少有59支； 故答案为：59． 14．（25-26六年级上·上海·期中）有一批书平均分给6个小朋友，结果多3本，平均分给8个小朋友，也多5本，平均分给9个小朋友，还多6本，这批书最少有_____本． 【答案】69 【详解】解：由题意可知，书的本数加上3后恰好能被6、8、9整除， ∵6、8、9的最小公倍数是， ∴这批书最少有（本）， 故答案为：69． 15．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）有一种地砖，长是45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖_______块才能铺成一个实心的正方形． 【答案】 【详解】解：，， 所以45和30的最小公倍数为， 即若要铺成一块正方形的地面，要想使用瓷砖数量最少，则正方形的边长为， 至少需要（块）， 答：若要铺成一块正方形的地面，至少需要6块这样的瓷砖． 16．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一袋糖果不论是6人平均分，还是5人平均分，都多2块，这包糖果至少有_____________块． 【答案】32 【详解】解：， ， （粒； 答：这包糖果至少有32粒． 故答案为：32． 题型4 素数、合数、奇偶性概念辨析（共7小题） 【模型】“下列说法正确的有几个”型多选判断：素数/合数、奇数/偶数、因数/倍数、互素。 【步骤】① 1 既不是素数也不是合数；② 2 是唯一的偶素数；③ 两个素数之积必为合数；④ 互素≠两个都是素数（如 8 与 9 互素）；⑤ 偶数不一定是合数（2 是素数），奇数不一定是素数（9、15）。 【易错】① “所有素数都是奇数”（漏 2）；② “所有偶数都是合数”（漏 2）；③ “两个素数相加一定是偶数”（2+3=5 反例）；④ 把互素理解成“都是素数”；⑤ 因数与倍数相互依存，不能单独说“某数是因数”。 17．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】正整数包括1，而1既不是素数也不是合数，因此正整数并非仅由素数和合数组成，故①说法错误． 差为1的两个正整数是连续自然数，连续自然数的公因数只有1，必然互素，故②说法正确． 因数和倍数的概念仅适用于整数（不包括0），和是小数，不能称为因数或倍数，故③说法错误． 正整数按能否被2整除，可分为奇数和偶数，二者涵盖所有正整数，故④说法正确． 综上，②和④正确，共2个． 故选：B． 18．（24-25六年级上·上海闵行·期中）以下结论中，正确的有（   ） ①因为，所以是的倍数；②所有的偶数都是合数；③正整数中不是素数就是合数；④任意两个数的积一定是这两个数的公倍数；⑤一个合数至少有3个因数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①因为，所以是的3倍，说法错误，由于和是小数； ②不是所有的偶数都是合数，说法正确； ③正整数中不是素数就是合数，说法错误，1不是素数也不是合数； ④任意两个非0自然数的积一定是这两个数的公倍数，原说法错误； ⑤一个合数至少有3个因数，说法正确； 故选：B． 19．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：A、12的因数有1、2、3、4、6、12，所有因数的积为， ∴12不是完满数，故此选项不符合题意． B、14的因数有1、2、7、14，所有因数的积为， ∴14是完满数，故此选项符合题意． C、16的因数有1、2、4、8、16，所有因数的积为， ∴16不是完满数，故此选项不符合题意． D、18的因数有1、2、3、6、9、18，所有因数的积为， ∴18不是完满数，故此选项不符合题意． 故选：B． 20．（25-26六年级上·上海·期中）将自然数1、2、3、4、5、6记在6个形状大小相同的卡片上，随机打乱之后翻出，并将摸出的卡片上的数字先后记为．记，以下说法中正确的是（    ） ①的最小值为3        ②的值一定是奇数 A．① B．② C．①② D．①②都不正确 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，，，，，，指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴，，， ∴， 当时， ， 结合，可得的最小值为3，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 情况一：一个（奇数, 奇数）对，一个（偶数, 偶数）对，一个（奇数, 偶数）对， 此时，三个绝对值之差的奇偶性分别为偶、偶、奇，其和为奇数， 情况二：三个（奇数, 偶数）对，此时，三个绝对值之差的奇偶性均为奇，其和为奇数， 综上，的值一定是奇数故②正确． 故选：C． 21．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在______岁的时候说的这个话． 【答案】18 【详解】解：∵， ∴他的年龄大于或等于18岁； ∵，， ∴他的年龄小于22岁 ∴他的年龄可能为18，19，20，21，22， ∵个位数是0和1的数，无论是几次方，个位数扔是0和1，重复， ∴21，22不符合题意， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以他是在18岁的时候说的这个话． 故答案为：18 22．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法．请问，这样的正整数最小是______． 【答案】 【详解】解：连续个正整数，设第一个为，则第二个为， 那么这个连续正整数和为 这个数可以被和整除，即这个整数一定含有因数和， 又因为恰好有种方法，所以它的奇质因数的个数也必须是个， 因此要最小，除了质因数、 只有一个外，最小是，因此的个数是个， 所以，这个数最小为， 故答案为：． 23．在这个连乘积中，末尾有___________个0． 【答案】12 【详解】解：由于， 又中因数2的个数多于因数5的个数， 只要算出中含有多少个因数5即可得出积的末尾有多少个0： 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50； （个） 即算式中含有12个因数5， 所以积的末尾有12个0． 故答案为：12． 题型5 裂项相消求和（共5小题） 【模型】求和式分母为两个连续（或差为定数）整数之积：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(n(n+1))。 【步骤】① 识别通项：1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)；② 差为 d 时：1/[n(n+d)] = (1/d)·(1/n − 1/(n+d))；③ 展开后中间项全部抵消，只剩首末两项；④ 注意系数 1/d 别漏乘。 【易错】① 差为 2 或 3 时漏掉 1/2、1/3 系数；② 抵消方向写反（1/(n+1)−1/n）；③ 首尾项数错（共 n 项则剩 2 项，不是 1 项）；④ 带分数或整数项未单独处理。 24．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 25．（25-26六年级上·上海·阶段检测）观察： ，，，… ，，，… 根据观察所得规律计算：______．（只要结果） 【答案】 【详解】解：，，，，，，，，， 故 ． 故答案为：． 26.已知：；；；…；请根据这个规律计算______． 【答案】 【详解】 ， 故答案为：． 27.观察：那么直接写出下面的计算结果：________． 【答案】 【详解】解：原式= = = = 故答案为：． 28．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 题型6 单位“1”转化与量率对应（共5小题） 【模型】“第一天看全书的 1/3，第二天看余下的 1/4，还剩 80 页，求全书”——选填压轴高频。 【步骤】① 先定每一步的单位“1”是谁；② “余下的 1/4”是以“余下部分”为单位 1，不是全书；③ 逐步算剩余分率：剩 2/3，再剩 (2/3)×(3/4)=1/2；④ 量率对应：对应量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 【易错】① 把“余下的 1/4”当成全书的 1/4；② “比多/比少几分之几”时分率对应错（甲比乙多 1/5 ≠ 乙比甲少 1/5）；③ 量与率不对应（80 页对应的分率找错）；④ 结果忘写“页”或约分不彻底。 29．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）把一条绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ） A．第一段长 B．第二段长 C．两段同样长 D．无法确定哪段长 【答案】B 【详解】解：设全长为米． ∵第二段占全长的， ∴第二段长为米． 又∵第一段长为米， ∴． 移项得：， ， ∴． 第二段长：（米）， 第一段长：（米）． ∵， ∴第二段长． 故选：B． 30．（25-26六年级上·上海·期中）一桶4升的油，第一次用了它的，第二次用了升，剩余的油占原来的___________．（填最简分数） 【答案】 【详解】解：第一次用去的油量：（升）， ∵第二次用去的油量：升， ∴总用去的油量：（升）， ∴剩余油量：（升）， 剩余油量占原来油量的比例：． 故答案为：． 31．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图，已知三角形和圆、矩形和圆各有一部分重叠，重叠部分①的面积是矩形面积的，是圆面积的，重叠部分②的面积是圆面积的，是三角形面积的，问两个重叠部分面积之和是整个图形面积的________． 【答案】 【详解】解：设圆的面积为， ∴重叠部分①的面积为， ∴矩形的面积为， ∴重叠部分②的面积为， ∴三角形的面积为， ∴整个图形的面积为，两个重叠部分面积之和为， ∴两个重叠部分面积之和是整个图形面积的． 32．（24-25六年级上·上海·期中）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要5小时，单开丙管需要3小时；排一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则______小时后水开始溢出水池． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 打开甲水管1小时后池内的水为：， 打开乙水管1小时后池内的水为： 打开丙水管1小时后池内的水为：， 打开丁水管1小时后池内的水为：， 则第二次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第三次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第四次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第五次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第六次按甲、乙、丙的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 设第6次，丙打开小时，水池内的水正好满了， ， 解得， 每次需要4小时， 水开始溢出水池的时间为：（小时）， 故答案为：． 33．（25-26六年级上·上海·期中）《九章算术》中记载了一个问题：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗．问持米几何？问题的意思是：“有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税．过中关时，用所余米的纳税．过内关时，用再余米的纳税，最后还剩5斗米，则这个人总共背了___________斗米过关卡．（“斗”是我国古代的计量单位） 【答案】 【详解】解：过内关之前的米：（斗）， 过中关之前的米：（斗）， 全部米：（斗）， 即此人原来背了斗米出关． 故答案为：． 题型7 分数简便运算（凑整 / 拆项 / 分配律逆用）（共4小题） 【模型】选填倒数第二题常考：99 × 23/100、(1/2+1/3+1/4)×12、0.25×32×1.25 等。 【步骤】① 凑整：0.25↔4、0.125↔8、0.5↔2；② 拆项：99=100−1，101=100+1；③ 分配律逆用：提取公共因数；④ 除法先变乘法（除以一个数=乘它的倒数）。 【易错】① 除法乱用分配律：a÷(b+c) ≠ a÷b+a÷c；② 带分数乘法只乘整数部分漏乘分数部分；③ 约分时机错（未先化假分数就硬算）；④ 结果是假分数未化带分数或约分。 34．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）的整数部分是______． 【答案】101 【详解】解： ， ∵， 所以的整数部分是101． 故答案为：101． 35．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36，请你观察图（2），可以把算式转化为____________． 【答案】 【详解】根据图2，可得 故答案为： 36．（24-25六年级上·上海虹口·阶段检测）计算：______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 37．（25-26六年级上·上海·期中）已知是正整数且，若数对，使得的值也是整数，则称是的一个“理想数对”，如使得，所以是的一个“理想数对”，请写出其他所有的“理想数对”：___________． 【答案】、 、、 、 、 【详解】解：由 为整数， ∴， ∵是正整数且， 当时，则或当时，则， ∴此时“理想数对”为，（ 已给出） 当时，此时， ∴或， ∴或， ∴此时“理想数对”为，； 当时，此时， ∴， ∴此时“理想数对”为； 当时，此时， ∴或 ∴，（舍去）， ∴此时“理想数对”为； 当时，此时， ∴或 ∴或（都舍去） 当时，此时， ∴或， ∴或（舍去）， ∴此时“理想数对”为； 当时，则或， 此时不为整数， 综上：其他所有的“理想数对”为：． 故答案为： ． 题型8 分数与小数互化 / 循环小数（共5小题） 【模型】判断一个分数能否化成有限小数；循环小数与分数互化；比较大小。 【步骤】① 最简分数分母只含素因数 2 和 5→有限小数；② 分母含其他素因数→无限循环；③ 比较大小：通分、化小数、交叉相乘、找中间量（1/2、1）。 【易错】① 判断有限小数前不约分（如 3/6 误判为不能化有限小数）；② 循环小数记循环点点错位置；③ 通分后分子加减错；④ 带分数比较只比整数部分忽略分数部分。 38．（24-25六年级上·上海闵行·期中）这四个数中，能化成有限小数的共有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：化成最简分数为，分母中含有质因数5，能化成有限小数； 是最简分数，分母中只含有质因数5，能化成有限小数； 是最简分数，分母中含有质因数2和11，不能化成有限小数； 化成最简分数是，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 所以能化成有限小数的有3个，故C正确； 故选：C． 39．（25-26六年级上·上海·期中）在中，能化为纯循环小数的有________个． 【答案】3 【详解】解：的分母5含质因数5，与10不互质，故不能化为纯循环小数； 的分母6含质因数2和3，与10不互质，故不能化为纯循环小数； 的分母7与10互质，故能化为纯循环小数； 的分母8含质因数2，与10不互质，故不能化为纯循环小数；； 的分母9与10互质，故能化为纯循环小数； 的分母10含质因数2和5，与10不互质，故不能化为纯循环小数； 的分母11与10互质，故能化为纯循环小数； 的分母12含质因数2和3，与10不互质，故不能化为纯循环小数； ∴能化为纯循环小数的有、、，共3个， 故答案为：3． 40．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）在分数，，，中，能化为有限小数的有__________个． 【答案】2 【详解】解：对于分数 ，化简为最简分数：，分母3的质因数为3，不是2或5，故不能化为有限小数． 对于分数 ，化简为最简分数：，分母5的质因数为5，只有5，故能化为有限小数． 对于分数 ，已为最简分数，分母40分解质因数为 ，只有2和5，故能化为有限小数． 对于分数 ，已为最简分数，分母6分解质因数为 ，有3，故不能化为有限小数． 综上，能化为有限小数的分数有 和 ，共2个． 故答案为：． 41．（25-26六年级上·上海·阶段检测）我们知道循环小数可以化成分数，如化成分数，设，那么，所以，解得，所以，则将化成分数为______． 【答案】 【详解】解：设， ， ， ， 化简得， 解得：，即， 综上，． 故答案为：． 42．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个最简真分数，化成小数后，如果小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2026，那么__________． 【答案】1 【详解】解：，，，，，， ， ， 即符合要求， 所以． 故答案为：1． 题型9 由数轴位置判断结论正误（共5小题） 【模型】数轴上 a<0<b，且 |a|>|b|，给出 4~5 个式子判断正确个数（如 a+b、a−b、ab、|a|−|b|）。 【步骤】① 先标符号：a<0，b>0；② 再标绝对值大小（离原点远近）；③ 逐个判断：a+b 符号看绝对值大者；a−b = a+(−b) 必负；ab 异号得负；|a|−|b| 为正；④ 特殊值法：取 a=−3，b=1 代入验证。 【易错】① 只看符号不看绝对值（a+b 的符号判断错）；② 把 a−b 当成 b−a；③ 漏掉 |a+b| 与 |a|+|b| 的大小关系；④ 多选题漏选或多选。 43．（24-25六年级上·上海·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴可知，，， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 44．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上点分别表示数，那么下列运算结果一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在、之间，且靠近点，则， ∴，，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 45．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴可知，， ∵，故选项A不符合题意； ∵，故选项B不符合题意； ∵，故选项C不符合题意； ∵，故选项D符合题意； 故选：D． 46．（23-24六年级下·上海闵行·期中）如图，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知：，且，故选项B正确，不符合题意； 由，则，故选项C正确，不符合题意； 由于，由不等式性质3，知，故A正确，不符合题意； 由不等式性质1得：， D错误，符合题意； 故选：D． 47．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误﹒ 故选：B 题型10 数轴折叠与平移（共5小题） 【模型】折叠问题：“点 A 与点 B 重合，求折痕表示的数”；平移问题：“点右移 3 再左移 5 后表示的数”。 【步骤】① 折痕点 = 重合两点表示数的中点 = (a+b)/2；② 平移：右加左减；③ 两点距离 = |右−左|；④ 注意“移动 5 个单位”有两个方向（未说方向时要分类）。 【易错】① 折叠问题忘记折痕是中点；② “距 A 点 3 个单位”只写一个解（左右两个点）；③ 平移方向与加减号写反；④ 中点公式漏除以 2。 48．（25-26六年级上·上海松江·期中）点是数轴上一点，若将数轴沿点对折后，表示12的点与表示的点恰好重合，那么点表示的数为（    ） A．－2 B．0 C．1.5 D．2 【答案】D 【详解】解：∵点A对折后使12与重合， ∴点A是12与的中点． ∴点A表示的数为． 故选D． 49．（25-26六年级上·上海普陀·期中）在数轴上，点表示的数为，一个动点从点出发，先向左移动2.5个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，那么点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A表示的数为， 先向左移动2.5个单位，再向右移动3个单位， ∴点B表示的数为：． 因此，点B表示的数为， 故选：C． 50.如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 51．（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 52．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 【答案】1或 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 题型11 绝对值化简（根据数轴位置去绝对值）（共5小题） 【模型】已知 a、b、c 在数轴上位置，化简 |a|+|a+b|−|c−b|+|b−a|。 【步骤】① 判断每个绝对值内式子的正负；② 正→直接去绝对值；负→去绝对值后整体加负号（变相反数）；③ 合并同类项；④ 关键：c−b 的符号看 c 在 b 左还是右。 【易错】① 去绝对值时只变第一项符号，漏掉整个括号变号；② 判断 c−b 符号时方向反；③ 多重绝对值嵌套时漏判；④ 结果忘合并同类项。 53．（24-25六年级上·上海·期中）、、在数轴上的位置如图，化简：________． 【答案】 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， ∴ ． 故答案为：． 54.a，b，c在数轴上的位置如图所示：则__________． 【答案】 【详解】解：由数轴得：，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 55．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简：____． 【答案】 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 56．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）如图，根据数轴上表示的三个数的位置，化简：______． 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 57．（23-24六年级下·上海·期中）如果a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．化简_______． 【答案】 【详解】解：由图示可得：，则， 所以． 故答案为：． 题型12 绝对值几何意义（距离和的最小值）（共3小题） 【模型】求 |x−1|+|x−3| 的最小值；或 |x+2|+|x−4| 的最小值及取最小值时 x 的范围。 【步骤】① |x−a| 表示数轴上 x 到 a 的距离；② |x−a|+|x−b|（a<b）：当 x 在 a、b 之间时取最小值 = b−a；③ 奇数个点取中间点，偶数个点取中间一段；④ |x−a|−|x−b| 则有最大值和最小值。 【易错】① 把最小值算成 0（除非 a=b）；② 取最小值时 x 的范围写成一个点（偶数个点时是一段）；③ |x+2| 误读成 x 到 −2 还是到 2（应为到 −2）；④ 多绝对值求和不会分组。 58．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 59．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 【答案】或 【详解】解：代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值， 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，a的值是或． 故答案为：或． 60.的最小值是__________． 【答案】7 【详解】解：记分别表示，表示数， ∴，，，， ∴， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 当时， ， 如图，当时， ， 当时， ， 综上：的最小值为， 故答案为7． 题型13 数轴动点（相遇与追及）（共4小题） 【模型】点 A 从 −10 出发向右、点 B 从 14 出发向左，速度分别为 2、3 单位/秒，求相遇时间；或相距 5 个单位时的时间。 【步骤】① t 秒后两点表示的数：起点 + 速度×t（右正左负）；② 相遇：两式相等解 t；③ 相距 d：|两点之差|=d，分相遇前、相遇后两种情况；④ 注意“相向/同向”、“先出发”等条件。 【易错】① 只算相遇前一种情况，漏相遇后；② 速度方向符号错（向左应为减）；③ 相距问题忘绝对值导致漏解；④ t 为负数要舍去。 61．已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是_______． 【答案】 【详解】解：设运动秒时， ，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵的长度总为一个固定的值，即与无关， ∴，即， 故答案为：． 62．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 63．（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 【答案】2或 【详解】解：设点所对应的数是，，则点所对应的数是． 点所对应的数是，点所对应的数是． 点到点的距离为， 点到点的距离为． ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴． ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，但不在范围内，舍去． 综上，点所对应的数是或． 故答案为：或． 64．（25-26六年级上·上海静安·期末）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 【答案】或 【详解】解：乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过3秒后，乙所在位置表示的数为， 经过3秒后，甲、乙之间的距离是， 此时甲所在位置表示的数是或， 故答案为：或． 题型14 新定义运算（共5小题） 【模型】定义 a★b = 2a−b²，求 (3★(−2))★1；或判断运算律是否成立。 【步骤】① 严格按定义代入，不凭直觉套用乘法分配律；② 有括号先算括号内；③ 区分新运算符号（★、⊕、※）与普通乘号；④ 判断交换律/结合律是否成立用具体数代入检验。 【易错】① 把 a★b 当成 a×b；② 代入时负号没加括号（如 −2² 与 (−2)² 混淆）；③ 想当然认为新运算满足交换律；④ 多层嵌套计算顺序错。 65．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【答案】 【详解】解：首先计算：由于有一个数为0，结果为另一个数的绝对值，即，∴． 然后计算：由于两数异号，结果为它们的绝对值之和的相反数，即． 故答案为：． 66．（25-26六年级上·上海静安·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题：已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：_____． 【答案】 【详解】解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴对于任意非零整数，有， ∴ ∵， ∴原式， 故答案为：． 67．（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一列有理数：，其中是减去1的差的倒数的绝对值，是减去1的差的倒数的绝对值，以此类推直至无法继续后停止，当时，这一列数有______个． 【答案】3037 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 可以发现，整数项每3项减少2， ∴当结果为1时，下一项为，无意义， ∴最后一个数为1， ∴． ∴当时，这一列数有3037个． 故答案为：3037． 68．（24-25六年级下·上海·期中）对于有理数，定义新运算：，其中，，均为常数．已知，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ，得， 可得：， ∴． 故答案为：． 69．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 【答案】0 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 题型15 幻方（九宫格）（共4小题） 【模型】3×3 方格中已填若干数，要求每行、每列、对角线三数之和相等，求空格 a、b 之积或 a+b。 【步骤】① 三阶幻方核心：中间数 = 九个数平均数 = 幻和÷3；② 过中间数的直线（中行、中列、两对角线）两端之和=2×中间数；③ 找一条已知两数的线，先求第三个数；④ 逐步补全，每行和=幻和。 【易错】① 不知道中间数是幻和的 1/3，硬算；② 对角线上的数看错位置；③ 求出一个数后忘了校验它在其他线上是否满足；④ a、b 求反或乘积算错。 70．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是______． 【答案】 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 71.幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为_________． 【答案】4 【详解】解：根据图可知， 解得：． 故答案为：． 72．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为_________． 0 3 1 【答案】9 【详解】解：由题意解答：，即； ∴，即：，解得：； ，即，解得：； ，解得：； ，即，解得：； 所以． 故答案为9． 73.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是______． 【答案】 【详解】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q， ∴根据题意可知：，， ∴将上式变形可得：，， ∴， 故答案为：． 题型16 程序框图（流程图）（共5小题） 【模型】输入 x，按流程“x→×2→+3→判断是否>10→否则返回重算”，求输出结果。 【步骤】① 按箭头方向一步一代入；② 判断框注意“是/否”出口；③ 循环结构要逐次写出每次结果，直到满足出口条件；④ 输入负数时注意符号与绝对值变化。 【易错】① 循环次数数错；② 判断出口方向走反；③ 每步代入时上一步结果抄错；④ 输出是最后一次循环后的数，不是判断前的数。 74．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 75．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ______________． 【答案】或 【详解】解：当时， ， 当时， ． ． 所以输入的数a是或． 故答案为：或． 76．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图所示是一个计算流程图，若输出是2，则输入x的值为__________．    【答案】5或 【详解】解：若，则， 解得； 若，则， 解得； 综上，输入x的值为5或， 故答案为：5或． 77．（23-24六年级上·上海·期中）在图所示的运算程序中，如果输出的数是2，则输入的数__________ 【答案】10或13 【详解】解：当x能被5整除时， ， ∴； 当x不能被5整除时， ， ∴， ∴． 故答案为：10或13． 题型17 规律探究（数列 / 图形）（共5小题） 【模型】给一列数：−1，2，−3，4，−5，6…求第 n 项；或图形点数：第 1 个图 4 个点，第 2 个 7 个，求第 n 个。 【步骤】① 标序号 n 与对应值 aₙ；② 看差（等差）或比（等比）；③ 符号交替用 (−1)ⁿ 或 (−1)ⁿ⁺¹；④ 图形题拆成“基础部分+递增部分”；⑤ 代入 n=1、2、3 验证公式。 【易错】① 符号系数 n 的奇偶对应错（(−1)ⁿ 与 (−1)ⁿ⁺¹）；② 只看前 2 项就下结论；③ 图形题数错点数；④ 求第 100 项时代入计算错。 78.观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____． 【答案】：n2+n＝n×（n+1）． 【详解】解：观察各式可知，第几个算式就是几的平方加几，等于等于这个数与这个数加1的积， 所以，第n个等式为：n2+n＝n×（n+1）， 故答案为：n2+n＝n×（n+1）． 79．（24-25六年级上·上海·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 【答案】11 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 80．（25-26六年级上·上海·阶段检测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为_________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 81．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】8 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 82．观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 【答案】 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 题型18 概念综合辨析（有理数章末高频）（共5小题） 【模型】“下列说法正确的有几个”：相反数、倒数、绝对值、乘方、科学记数法。 【步骤】① 相反数：a 与 −a，0 的相反数是 0；② 倒数：乘积为 1，0 没有倒数；③ 绝对值非负 |a|≥0；④ 乘方：(−a)ⁿ 与 −aⁿ 区别；⑤ 科学记数法 a×10ⁿ 中 1≤|a|<10。 【易错】① “绝对值相等的两数相等”（漏互为相反数）；② “倒数等于本身的数是 1”（漏 −1）；③ (−2)²=−4 类符号错；④ 科学记数法 n 位数 n−1 的数错；⑤ 0 除以任何数都得 0（漏 0 不能作除数）。 83．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．绝对值相等的两个数一定相等 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 【答案】D 【详解】解：对于A：∵绝对值相等的两个数可能互为相反数，如，但，∴A不符合题意， 对于B：∵绝对值等于它的相反数的数满足，即，时也成立，而0不是负数，∴B不符合题意， 对于C：∵数轴上离原点越远的点表示数的绝对值越大，但数本身可能为负，如离原点比3远，但，∴C不符合题意， 对于D：∵一个数的绝对值表示该数在数轴上对应点与原点的距离，∴绝对值越大，点离原点越远，∴D符合题意， 故选：D． 84．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 85．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①有理数可以用数轴上的点表示； ②能够写成分数（、为整数且）的数叫作有理数； ③绝对值相等的两个数相等； ④两个负有理数，绝对值大的那个数反而小． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】有理数都可以用数轴上的点表示，故①正确； 有理数定义为可写成分数形式（、为整数且），故②正确； 绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数，故③错误； 两个负有理数，绝对值越大，数越小，故④正确． 综上，正确的说法有①②④，共3个． 故选：D． 86．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①能够写成分数的数叫作有理数，说法正确； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数，说法错误，如：和两数符号不同，绝对值不同也不是相反数； ③所有的素数都是奇数，说法错误，2是素数但不是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数，说法错误，例如，8，9互素，但都是合数， 所以只有①正确． 故选：B． 87．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在下列说法中，正确的个数是（   ） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；（2）数轴上的每一个点都表示一个有理数；（3）任何有理数的绝对值都不可能是负数；（4）每个有理数都有相反数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：（1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，故（1）正确； （2）数轴上的每一个点不一定表示有理数，例如，故（2）错误； （3）绝对值是数轴上的点到原点的距离，任何有理数的绝对值都不可能是负数，故（3）正确； （4）每个有理数都有相反数，故（4）正确； 综上，正确的有（1）（3）（4），共3个． 故选：C． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中选填压轴题汇总18种题型87题 （数的整除+分数+有理数） 题型1 最大公因数 / 最小公倍数 题型2 整除特征综合判断（2、3、5、9） 题型3 最大公因数 / 最小公倍数实际应用 题型4 素数、合数、奇偶性概念辨析 题型5 裂项相消求和 题型6 单位“1”转化与量率对应 题型7 分数简便运算 题型8 分数与小数互化 / 循环小数 题型9 由数轴位置判断结论正误 题型10 数轴折叠与平移 题型11 绝对值化简（根据数轴位置去绝对值） 题型12 绝对值几何意义（距离和的最小值） 题型13 数轴动点（相遇与追及） 题型14 新定义运算 题型15 幻方（九宫格） 题型16 程序框图（流程图） 题型17 规律探究（数列 / 图形） 题型18 概念综合辨析（有理数章末高频） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 分解素因数逆推：最大公因数 / 最小公倍数（共5小题） 【模型】已知 A=2×3×a、B=2×5×b 型表达式（或已知两数分解素因数结果），反求最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）；或反过来已知 GCD、LCM 求原数。 【步骤】① 把两数写成素因数幂次排列（指数对齐）；② GCD = 取公共素因数的“较小指数”幂相乘；③ LCM = 取所有素因数的“较大指数”幂相乘；④ 牢记关系：A×B = GCD × LCM，可用于验算。 【易错】① 漏掉公共素因数（如两数都含 2² 与 2³，GCD 取 2² 而非 2）；② LCM 误把公共部分乘两遍；③ a、b 本身可能是素数也可能是合数，未讨论 a、b 是否与已有素因数重复；④ “整除”只在整数范围内讨论，出现 2.5、0 即排除。 1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，已知甲数是 12，则乙数是（    ） A．18 B．12 C．24 D．36 2．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个数的最小公倍数是180，最大公因数是15，则这两个数是___________． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）对于最简真分数A，规定表示分子与分母的最大公因数，表示分子与分母的最小公倍数，若最简真分数满足，那么______． 4．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 5．（25-26六年级上·上海·期中）甲数，乙数，、均为素数，甲数和乙数的最大公因数是105，最小公倍数小于1200，那么______． 题型2 整除特征综合判断（2、3、5、9）（共6小题） 【模型】给出一个多位数 □ 中填数字，使它同时被 2/3/5/9 整除，或判断“下列说法正确的有几个”。 【步骤】① 被 2 整除看末位偶；② 被 5 整除看末位 0 或 5；③ 被 3（或 9）整除看各位数字之和被 3（或 9）整除；④ 同时被 2、5 整除→末位必为 0；⑤ 被 4 看末两位，被 8 看末三位（沪教六上拓展）。 【易错】① 把“被 3 整除”错记成“末位被 3 整除”；② 同时被 2、5 整除时末位只写 5；③ 填 □ 时漏解（数字和是 3 的倍数常有多个解）；④ 忽略 0 也是偶数、也能被任何非零整数整除；⑤ “a 能被 b 整除”与“b 能被 a 整除”方向混淆。 6．（25-26六年级上·上海·期中）小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 7．（25-26六年级上·上海·期中）用226、192、141分别除以同一个正整数，得到的余数都相同，且余数不为0，这个正整数是________． 8．（25-26六年级上·上海·阶段检测）从0、2、3、4、5、8中选出四个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是_______． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是______． 10．（24-25六年级上·上海·期中）在2018后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被13、17整除，则这个七位数最小是______ 11．（25-26六年级上·上海·期中）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“兰生数”，如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“兰生数”．若四位“兰生数”各位数字之和能被3整除，则满足条件的四位“兰生数”最大值为________． 题型3 最大公因数 / 最小公倍数实际应用（截段、分发、相遇）（共5小题） 【模型】“把两根木条截成同样长且无剩余”“苹果梨分给若干小朋友刚好分完”“两路车再次同时发车时间”——选填压轴常以填空题出现。 【步骤】① 问“最长/最多/刚好分完无剩余”→求 GCD；② 问“至少再过多久/再次同时/最少总数”→求 LCM；③ 截段问题：段数=总长÷每段长；④ 分发问题：人数=GCD，每人得个数=各自数量÷GCD。 【易错】① GCD 与 LCM 用反（截木条用 LCM 是经典错）；② 截段问题只求了每段长，忘了求“共几段”；③ 发车问题只算了 LCM，忘了问的是“下次发车几点”要加时间；④ 单位不统一（米与厘米）。 12．（25-26六年级上·上海·期中）如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯．如果要求在，，处各安装一盏路灯，那么最少安装______盏灯． 13.王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支，王老师这盒铅笔最少有______支． 14．（25-26六年级上·上海·期中）有一批书平均分给6个小朋友，结果多3本，平均分给8个小朋友，也多5本，平均分给9个小朋友，还多6本，这批书最少有_____本． 15．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）有一种地砖，长是45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖_______块才能铺成一个实心的正方形． 16．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一袋糖果不论是6人平均分，还是5人平均分，都多2块，这包糖果至少有_____________块． 题型4 素数、合数、奇偶性概念辨析（共7小题） 【模型】“下列说法正确的有几个”型多选判断：素数/合数、奇数/偶数、因数/倍数、互素。 【步骤】① 1 既不是素数也不是合数；② 2 是唯一的偶素数；③ 两个素数之积必为合数；④ 互素≠两个都是素数（如 8 与 9 互素）；⑤ 偶数不一定是合数（2 是素数），奇数不一定是素数（9、15）。 【易错】① “所有素数都是奇数”（漏 2）；② “所有偶数都是合数”（漏 2）；③ “两个素数相加一定是偶数”（2+3=5 反例）；④ 把互素理解成“都是素数”；⑤ 因数与倍数相互依存，不能单独说“某数是因数”。 17．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25六年级上·上海闵行·期中）以下结论中，正确的有（   ） ①因为，所以是的倍数；②所有的偶数都是合数；③正整数中不是素数就是合数；④任意两个数的积一定是这两个数的公倍数；⑤一个合数至少有3个因数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 20．（25-26六年级上·上海·期中）将自然数1、2、3、4、5、6记在6个形状大小相同的卡片上，随机打乱之后翻出，并将摸出的卡片上的数字先后记为．记，以下说法中正确的是（    ） ①的最小值为3        ②的值一定是奇数 A．① B．② C．①② D．①②都不正确 21．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在______岁的时候说的这个话． 22．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法．请问，这样的正整数最小是______． 23．在这个连乘积中，末尾有___________个0． 题型5 裂项相消求和（共5小题） 【模型】求和式分母为两个连续（或差为定数）整数之积：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(n(n+1))。 【步骤】① 识别通项：1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)；② 差为 d 时：1/[n(n+d)] = (1/d)·(1/n − 1/(n+d))；③ 展开后中间项全部抵消，只剩首末两项；④ 注意系数 1/d 别漏乘。 【易错】① 差为 2 或 3 时漏掉 1/2、1/3 系数；② 抵消方向写反（1/(n+1)−1/n）；③ 首尾项数错（共 n 项则剩 2 项，不是 1 项）；④ 带分数或整数项未单独处理。 24．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 25．（25-26六年级上·上海·阶段检测）观察： ，，，… ，，，… 根据观察所得规律计算：______．（只要结果） 26.已知：；；；…；请根据这个规律计算______． 27.观察：那么直接写出下面的计算结果：________． 28．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：________． 题型6 单位“1”转化与量率对应（共5小题） 【模型】“第一天看全书的 1/3，第二天看余下的 1/4，还剩 80 页，求全书”——选填压轴高频。 【步骤】① 先定每一步的单位“1”是谁；② “余下的 1/4”是以“余下部分”为单位 1，不是全书；③ 逐步算剩余分率：剩 2/3，再剩 (2/3)×(3/4)=1/2；④ 量率对应：对应量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 【易错】① 把“余下的 1/4”当成全书的 1/4；② “比多/比少几分之几”时分率对应错（甲比乙多 1/5 ≠ 乙比甲少 1/5）；③ 量与率不对应（80 页对应的分率找错）；④ 结果忘写“页”或约分不彻底。 29．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）把一条绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，下列说法正确的是（    ） A．第一段长 B．第二段长 C．两段同样长 D．无法确定哪段长 30．（25-26六年级上·上海·期中）一桶4升的油，第一次用了它的，第二次用了升，剩余的油占原来的___________．（填最简分数） 31．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图，已知三角形和圆、矩形和圆各有一部分重叠，重叠部分①的面积是矩形面积的，是圆面积的，重叠部分②的面积是圆面积的，是三角形面积的，问两个重叠部分面积之和是整个图形面积的________． 32．（24-25六年级上·上海·期中）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要5小时，单开丙管需要3小时；排一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则______小时后水开始溢出水池． 33．（25-26六年级上·上海·期中）《九章算术》中记载了一个问题：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗．问持米几何？问题的意思是：“有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税．过中关时，用所余米的纳税．过内关时，用再余米的纳税，最后还剩5斗米，则这个人总共背了___________斗米过关卡．（“斗”是我国古代的计量单位） 题型7 分数简便运算（凑整 / 拆项 / 分配律逆用）（共4小题） 【模型】选填倒数第二题常考：99 × 23/100、(1/2+1/3+1/4)×12、0.25×32×1.25 等。 【步骤】① 凑整：0.25↔4、0.125↔8、0.5↔2；② 拆项：99=100−1，101=100+1；③ 分配律逆用：提取公共因数；④ 除法先变乘法（除以一个数=乘它的倒数）。 【易错】① 除法乱用分配律：a÷(b+c) ≠ a÷b+a÷c；② 带分数乘法只乘整数部分漏乘分数部分；③ 约分时机错（未先化假分数就硬算）；④ 结果是假分数未化带分数或约分。 34．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）的整数部分是______． 35．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36，请你观察图（2），可以把算式转化为____________． 36．（24-25六年级上·上海虹口·阶段检测）计算：______． 37．（25-26六年级上·上海·期中）已知是正整数且，若数对，使得的值也是整数，则称是的一个“理想数对”，如使得，所以是的一个“理想数对”，请写出其他所有的“理想数对”：___________． 题型8 分数与小数互化 / 循环小数（共5小题） 【模型】判断一个分数能否化成有限小数；循环小数与分数互化；比较大小。 【步骤】① 最简分数分母只含素因数 2 和 5→有限小数；② 分母含其他素因数→无限循环；③ 比较大小：通分、化小数、交叉相乘、找中间量（1/2、1）。 【易错】① 判断有限小数前不约分（如 3/6 误判为不能化有限小数）；② 循环小数记循环点点错位置；③ 通分后分子加减错；④ 带分数比较只比整数部分忽略分数部分。 38．（24-25六年级上·上海闵行·期中）这四个数中，能化成有限小数的共有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 39．（25-26六年级上·上海·期中）在中，能化为纯循环小数的有________个． 40．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）在分数，，，中，能化为有限小数的有__________个． 41．（25-26六年级上·上海·阶段检测）我们知道循环小数可以化成分数，如化成分数，设，那么，所以，解得，所以，则将化成分数为______． 42．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个最简真分数，化成小数后，如果小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2026，那么__________． 题型9 由数轴位置判断结论正误（共5小题） 【模型】数轴上 a<0<b，且 |a|>|b|，给出 4~5 个式子判断正确个数（如 a+b、a−b、ab、|a|−|b|）。 【步骤】① 先标符号：a<0，b>0；② 再标绝对值大小（离原点远近）；③ 逐个判断：a+b 符号看绝对值大者；a−b = a+(−b) 必负；ab 异号得负；|a|−|b| 为正；④ 特殊值法：取 a=−3，b=1 代入验证。 【易错】① 只看符号不看绝对值（a+b 的符号判断错）；② 把 a−b 当成 b−a；③ 漏掉 |a+b| 与 |a|+|b| 的大小关系；④ 多选题漏选或多选。 43．（24-25六年级上·上海·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上点分别表示数，那么下列运算结果一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（23-24六年级下·上海闵行·期中）如图，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10 数轴折叠与平移（共5小题） 【模型】折叠问题：“点 A 与点 B 重合，求折痕表示的数”；平移问题：“点右移 3 再左移 5 后表示的数”。 【步骤】① 折痕点 = 重合两点表示数的中点 = (a+b)/2；② 平移：右加左减；③ 两点距离 = |右−左|；④ 注意“移动 5 个单位”有两个方向（未说方向时要分类）。 【易错】① 折叠问题忘记折痕是中点；② “距 A 点 3 个单位”只写一个解（左右两个点）；③ 平移方向与加减号写反；④ 中点公式漏除以 2。 48．（25-26六年级上·上海松江·期中）点是数轴上一点，若将数轴沿点对折后，表示12的点与表示的点恰好重合，那么点表示的数为（    ） A．－2 B．0 C．1.5 D．2 49．（25-26六年级上·上海普陀·期中）在数轴上，点表示的数为，一个动点从点出发，先向左移动2.5个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，那么点表示的数为（   ） A． B． C． D． 50.如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 51．（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 52．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 题型11 绝对值化简（根据数轴位置去绝对值）（共5小题） 【模型】已知 a、b、c 在数轴上位置，化简 |a|+|a+b|−|c−b|+|b−a|。 【步骤】① 判断每个绝对值内式子的正负；② 正→直接去绝对值；负→去绝对值后整体加负号（变相反数）；③ 合并同类项；④ 关键：c−b 的符号看 c 在 b 左还是右。 【易错】① 去绝对值时只变第一项符号，漏掉整个括号变号；② 判断 c−b 符号时方向反；③ 多重绝对值嵌套时漏判；④ 结果忘合并同类项。 53．（24-25六年级上·上海·期中）、、在数轴上的位置如图，化简：________． 54.a，b，c在数轴上的位置如图所示：则__________． 55．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简：____． 56．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）如图，根据数轴上表示的三个数的位置，化简：______． 57．（23-24六年级下·上海·期中）如果a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．化简_______． 题型12 绝对值几何意义（距离和的最小值）（共3小题） 【模型】求 |x−1|+|x−3| 的最小值；或 |x+2|+|x−4| 的最小值及取最小值时 x 的范围。 【步骤】① |x−a| 表示数轴上 x 到 a 的距离；② |x−a|+|x−b|（a<b）：当 x 在 a、b 之间时取最小值 = b−a；③ 奇数个点取中间点，偶数个点取中间一段；④ |x−a|−|x−b| 则有最大值和最小值。 【易错】① 把最小值算成 0（除非 a=b）；② 取最小值时 x 的范围写成一个点（偶数个点时是一段）；③ |x+2| 误读成 x 到 −2 还是到 2（应为到 −2）；④ 多绝对值求和不会分组。 58．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 59．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 60.的最小值是__________． 题型13 数轴动点（相遇与追及）（共4小题） 【模型】点 A 从 −10 出发向右、点 B 从 14 出发向左，速度分别为 2、3 单位/秒，求相遇时间；或相距 5 个单位时的时间。 【步骤】① t 秒后两点表示的数：起点 + 速度×t（右正左负）；② 相遇：两式相等解 t；③ 相距 d：|两点之差|=d，分相遇前、相遇后两种情况；④ 注意“相向/同向”、“先出发”等条件。 【易错】① 只算相遇前一种情况，漏相遇后；② 速度方向符号错（向左应为减）；③ 相距问题忘绝对值导致漏解；④ t 为负数要舍去。 61．已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是_______． 62．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 63．（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 64．（25-26六年级上·上海静安·期末）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 题型14 新定义运算（共5小题） 【模型】定义 a★b = 2a−b²，求 (3★(−2))★1；或判断运算律是否成立。 【步骤】① 严格按定义代入，不凭直觉套用乘法分配律；② 有括号先算括号内；③ 区分新运算符号（★、⊕、※）与普通乘号；④ 判断交换律/结合律是否成立用具体数代入检验。 【易错】① 把 a★b 当成 a×b；② 代入时负号没加括号（如 −2² 与 (−2)² 混淆）；③ 想当然认为新运算满足交换律；④ 多层嵌套计算顺序错。 65．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 66．（25-26六年级上·上海静安·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题：已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：_____． 67．（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一列有理数：，其中是减去1的差的倒数的绝对值，是减去1的差的倒数的绝对值，以此类推直至无法继续后停止，当时，这一列数有______个． 68．（24-25六年级下·上海·期中）对于有理数，定义新运算：，其中，，均为常数．已知，，则的值为______． 69．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 题型15 幻方（九宫格）（共4小题） 【模型】3×3 方格中已填若干数，要求每行、每列、对角线三数之和相等，求空格 a、b 之积或 a+b。 【步骤】① 三阶幻方核心：中间数 = 九个数平均数 = 幻和÷3；② 过中间数的直线（中行、中列、两对角线）两端之和=2×中间数；③ 找一条已知两数的线，先求第三个数；④ 逐步补全，每行和=幻和。 【易错】① 不知道中间数是幻和的 1/3，硬算；② 对角线上的数看错位置；③ 求出一个数后忘了校验它在其他线上是否满足；④ a、b 求反或乘积算错。 70．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是______． 71.幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为_________． 72．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为_________． 0 3 1 73.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是______． 题型16 程序框图（流程图）（共5小题） 【模型】输入 x，按流程“x→×2→+3→判断是否>10→否则返回重算”，求输出结果。 【步骤】① 按箭头方向一步一代入；② 判断框注意“是/否”出口；③ 循环结构要逐次写出每次结果，直到满足出口条件；④ 输入负数时注意符号与绝对值变化。 【易错】① 循环次数数错；② 判断出口方向走反；③ 每步代入时上一步结果抄错；④ 输出是最后一次循环后的数，不是判断前的数。 74．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 75．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ______________． 76．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图所示是一个计算流程图，若输出是2，则输入x的值为__________．    77．（23-24六年级上·上海·期中）在图所示的运算程序中，如果输出的数是2，则输入的数__________ 题型17 规律探究（数列 / 图形）（共5小题） 【模型】给一列数：−1，2，−3，4，−5，6…求第 n 项；或图形点数：第 1 个图 4 个点，第 2 个 7 个，求第 n 个。 【步骤】① 标序号 n 与对应值 aₙ；② 看差（等差）或比（等比）；③ 符号交替用 (−1)ⁿ 或 (−1)ⁿ⁺¹；④ 图形题拆成“基础部分+递增部分”；⑤ 代入 n=1、2、3 验证公式。 【易错】① 符号系数 n 的奇偶对应错（(−1)ⁿ 与 (−1)ⁿ⁺¹）；② 只看前 2 项就下结论；③ 图形题数错点数；④ 求第 100 项时代入计算错。 78.观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____． 79．（24-25六年级上·上海·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 80．（25-26六年级上·上海·阶段检测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为_________． 81．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 82．观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 题型18 概念综合辨析（有理数章末高频）（共5小题） 【模型】“下列说法正确的有几个”：相反数、倒数、绝对值、乘方、科学记数法。 【步骤】① 相反数：a 与 −a，0 的相反数是 0；② 倒数：乘积为 1，0 没有倒数；③ 绝对值非负 |a|≥0；④ 乘方：(−a)ⁿ 与 −aⁿ 区别；⑤ 科学记数法 a×10ⁿ 中 1≤|a|<10。 【易错】① “绝对值相等的两数相等”（漏互为相反数）；② “倒数等于本身的数是 1”（漏 −1）；③ (−2)²=−4 类符号错；④ 科学记数法 n 位数 n−1 的数错；⑤ 0 除以任何数都得 0（漏 0 不能作除数）。 83．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．绝对值相等的两个数一定相等 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 84．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 85．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①有理数可以用数轴上的点表示； ②能够写成分数（、为整数且）的数叫作有理数； ③绝对值相等的两个数相等； ④两个负有理数，绝对值大的那个数反而小． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 86．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 87．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在下列说法中，正确的个数是（   ） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；（2）数轴上的每一个点都表示一个有理数；（3）任何有理数的绝对值都不可能是负数；（4）每个有理数都有相反数． A．1 B．2 C．3 D．4 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $