2026-2027学年高三上学期数学期中模拟考试卷一（重庆适用，基础卷一）

2026-2027学年度高三上期数学期中模拟考试卷（基础卷一） （内容包含集合与简易逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列 ） 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 未命名 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】逆用两角和的余弦公式计算求解. 【详解】. 2．（本题5分）已知复数，则的模为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】， . 3．（本题5分）已知平面向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】由题意得，解得. 4．（本题5分）记为等差数列的前项和，，则（ ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的前项和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 5．（本题5分）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、高次不等式 【详解】不等式，解得或， 则或，而，所以. 6．（本题5分）“”是“”的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、由对数函数的单调性解不等式 【详解】因为， 则“”是“”的充要条件. 7．（本题5分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】对数函数单调递增，，故， 指数函数单调递增，，故， 指数函数单调递减，，故， 故． 8．（本题5分）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率 所以切线方程为，即. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先依据奇函数定义判断各函数的奇偶性，排除奇偶性不符的选项，再验证剩余函数的单调性，选出同时满足两个条件的选项 【详解】对选项A：，满足，是偶函数，且在上单调递增，上单调递减，不符合要求，故A错误； 对选项B：设，满足，是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对选项C：设，满足，是奇函数，其斜率，故在上单调递增，故C正确； 对选项D：，满足且，是非奇非偶函数，不符合要求，故D错误。 10．（本题6分）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 11．（本题6分）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【知识点】判断数列的增减性、等差中项的应用、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】因为， 所以. 若，则， 所以，解得. 13．（本题5分）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 14．（本题5分）函数的定义域是_______________． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】解不等式组，得且，故函数的定义域为． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【详解】（1）由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. 16．（本题17分）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为， (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得与有且仅有一个交点，结合的单调性分析的取值情况，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当或时， 的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）令，即，依题意可得与有且仅有一个交点， 因为当时，当时，，此时， 当时，，所以； 当时，又， 当时，，此时， 当时，，所以； 所以或，解得或； 所以实数的取值范围为. 17．（本题15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)写出函数的解析式及单调递减区间及对称中心； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，递减区间为．对称中心 (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）由函数的图象可以确定函数的最小正周期，利用余弦型函数的最小正周期公式、特殊角的余弦值、余弦型函数的对称性和单调性进行求解即可； （2）利用换元法，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）根据函数的部分图象， 可得，解得，∴， 令，，所以，， 因为，所以解得，所以， 令， 解得的递减区间为． ， 所以该函数的对称中心为. （2）由以上可得，， ∵，∴， ∵在单调递增，在单调递减， ∴，所以值域为. 18．（本题15分）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）已知数列为等差数列，直接用即可求出公差，进而可求得通项公式. （2）使用裂项相消法即可求得的前项和. 【详解】（1），则公差， 则. （2）， 则， 即， 则 . 19．（本题17分）已知函数． (1)讨论的单调性与极值点； (2)当时， （i）证明：曲线关于中心对称； （ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增，无极值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点 (2)（i）证明：当时, ，故. 因为， 所以曲线关于中心对称. （ii） 【知识点】判断或证明函数的对称性、求过一点的切线方程、利用导数研究函数图象及性质、利用导数求函数（含参）的单调区间、函数极值点的辨析 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调性及极值点； （2）（i）根据函数图象中心对称的定义式证明即可； （ii）利用导数写出函数切线方程，根据过点有三条切线，代入坐标，则新的方程有三个解，构造函数，求函数单调性和极值点，推断有三个解的条件. 【详解】（1）， 当时，，在上单调递增，无极值点； 当时，由可得或，所以在单调递增， 由可得，所以在单调递减， 故是极大值点，是极小值点； 当时，由可得或，所以在单调递增， 由可得，所以在单调递减， 故是极大值点，是极小值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在单调递增， 在单调递减，是极大值点，是极小值点； 当时，在单调递增，在单调递减， 是极大值点，是极小值点. （2）（i）略 （ii）， 设切点坐标为，切线的斜率为. 则切线方程为，将点代入并整理得， 记， ，令，得或， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 所以时，的极大值为，当时，的极小值为， 当时，，时，， 由题意得，直线与曲线有三个不同的交点， 所以. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三上期数学期中模拟考试卷（基础卷一） （内容包含集合与简易逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列） 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 未命名 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）的值为（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知复数，则的模为（ ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知平面向量，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）记为等差数列的前项和，，则（ ）． A．7 B．6 C．5 D．4 5．（本题5分）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．（本题5分）“”是“”的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（本题5分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．（本题5分）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 11．（本题6分）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知向量，若，则实数__________. 13．（本题5分）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 14．（本题5分）函数的定义域是_______________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 16．（本题17分）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 17．（本题15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)写出函数的解析式及单调递减区间及对称中心； (2)求函数在区间上的值域． 18．（本题15分）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 19．（本题17分）已知函数． (1)讨论的单调性与极值点； (2)当时， （i）证明：曲线关于中心对称； （ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $