精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

重庆一中高2026届高三11月期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由圈整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】由，得，解得， ， 由，得，因为在上单调递增， 所以，则， . 故选：C. 2. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，结合纯虚数的定义即可得. 【详解】为纯虚数， 所以，可得. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值即可. 【详解】由. 故选：D 4. 已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数与方差的计算公式进行计算即可求得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：B 5. 在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到，再结合余弦定理、基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 又， 所以， 故选：B 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论． 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 7. 已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用空间向量表示出，进而求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 所以， 则， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为0. 故选：A 8. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若为的中点，结合题设知是外接圆的圆心，进而有棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上，若平面，在平面内过作，构建合适的空间直角坐标系，令并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求球体面积. 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示， 由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被截得的弦长最短时，的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识和位置关系进行逐项求解即可. 【详解】对于A：将直线变形为，则有 ，解得，所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，所以直线与圆相交，A正确； 对于B：将直线变形为，则有 ，解得，所以直线过定点，B错误； 对于C：因为圆心到轴的距离为1，所以该圆被轴截得的弦长为，C正确； 对于D：由B可知直线过定点，所以当圆被直线截得的弦长最短时，. 因为，所以直线与轴平行， 所以，那么此时直线的方程为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（ ） A. 几何体的表面积为 B. 几何体的体积为 C. 一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D. 直线与面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由题求出等腰梯形的高，分别计算各个表面的面积得解；对B，几何体被分割成两个全等的四棱锥，和直三棱柱，计算得解；对C，将侧面与沿展开铺平，易判断构成平行四边形，求出，得解；对D，由题得即是直线与平面所成角，求解判断. 【详解】如图1，过点分别作，，垂足分别为， 过点分别作，，垂足分别为，连接. 对于A，由，，四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形， 所以四边形和为全等的等腰梯形， 所以，则，同理， 所以几何体的表面积，故A正确； 对于B，如图1，过点作，垂足为， 因为，，平面，， 所以平面，又平面，所以， 平面，，所以平面， ， 由题几何体被分割成两个全等的四棱锥，和直三棱柱， 所以几何体的体积，故B错误； 对于C，如图2，由，，，得， 所以，又， 将侧面与沿展开铺平，则构成平行四边形， 此时线段长即从点到的最短距离，，故C正确； 对于D，如图1，由平面，连接，则即是直线与平面所成角， 所以，则，故D错误. 故选：AC. 11. 设首项为1的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是单调递增数列 D. 若，则正整数的最小值为19 【答案】BCD 【解析】 【分析】由递推公式依次计算可求出；分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而利用分组求和法及等比数列求和公式求为偶数、奇数时的前项和，再结合单调性确定的值即可． 【详解】由，得，，，，，A错， 当为偶数时，，则，又， 此时是首项为4，公比为2的等比数列，则，； 当为奇数时，，则，又， 此时是首项为4，公比为2的等比数列，则，，B对， 综上，，且， 则，且， 所以是单调递增数列且各项均为正，则数列单调递增，C对， 当为奇数时， ，又， 当为偶数时， ，又， 所以正整数的最小值是19，D对. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线______. 【答案】 【解析】 【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解. 【详解】 由正弦定理得，都是锐角， ，， ， 在中，由正弦定理得：； 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知有，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面积，数形结合判断最大对应点的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值. 【详解】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的值； （2）设边的中点为，若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形中，结合已知整理得，即可得角的大小； （2）作，垂足为，设，再用表示出、，应用勾股定理构建方程求参数，进而求相关边长，即可求面积. 【小问1详解】 在中，代入 所以，即，又，则； 【小问2详解】 如图，作，垂足为，， 为中点，设，因为为中点，所以， 在中，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， ，，则. 16. 记为数列的前项和，且，，其中. （1）证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系式化为，整理得是等差数列，并求通项公式即可； （2）分离参数得，构造数列，则只需求其最小项，即可. 【小问1详解】 由已知得，两式相减并化简得， 两边同时除以得， 所以数列为常数列，亦即为公差为0的等差数列. 首项为，则，即. 【小问2详解】 由（1）， 所以， 记，则， 当时，，当时，，当时，， ， ，则. 所以实数的取值范围为. 17. 刍薨（chúméng）是中国古代数学名著《九章算术》中记载的一种几何体，书中提到其：“下有袤有广，而上有袤无广.”可翻译为：“底面有长有宽，为矩形；顶部只有长没有宽，为一条棱.”如图，在刍薨中，四边形是正方形，面面， （1）求证：； （2）若，，，.下面三个条件：①，②平面平面，③平面平面中，只有一个能确保这样的刍薨存在且唯一.请你先选出此条件（不用说明理由），并据此求出面和面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）选条件②， 【解析】 【分析】（1）由，即可求证； （2）由①或③，得到四边形不为等腰梯形，故选②，通过建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 证明：在正方形中，，不在平面内，在平面， 平面. 又因为在平面，平面平面， 所以. 在正方形中，，所以. 【小问2详解】 由（Ⅰ）知，又，，， 所以四边形为等腰梯形. 若选条件①：，又因为，，、平面， 所以平面；而平面，所以， 此时四边形不为等腰梯形，故条件①不符合； 若选条件③：平面平面，又平面平面，， 平面，而平面， ，此时四边形不为等腰梯形，故条件③不符合； 应选条件②：平面平面； 过点作于，过作交于，连接， 如图，平面平面，平面平面， 平面，又平面，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 在四边形中，，，， 所以，，在中，，，所以. 在中，，，所以. 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 18. 重庆一中为培养学生综合能力，积极开展围棋选修课，甲、乙两位同学进行围棋对弈训练，已知甲赢下第一局的概率为，且每位同学在前一局已经获胜的条件下，继续赢下后一局的概率都为.如此重复进行，每局比赛都无平局. （1）求甲同学第2局获胜的概率； （2）记甲同学第局获胜的概率为（）. （i）求的表达式； （ii）若存在正整数，使成立，求整数的最小值.（参考数据，题中是自然对数的底数） 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）（i）由题意得时，，从而可求出；（ii）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而可求得答案. 【小问1详解】 由题意，甲前2局都赢的概率为， 甲输第1局且赢第2局的概率为， 所以甲第2局获胜的概率为. 【小问2详解】 （i）记事件：“在第局获胜的条件下，第局也获胜”，则， 事件：“在第局落败的条件下，第局获胜”，则， 由全概率公式可得，当时，，即，又， 所以是首项和公比都为的等比数列，所以，则. （ii）原条件等价于， 令，则， 易知在上单调递减且，所以时， 则在上单调递减，显然， 因此的最小值是在最大时取得，为奇数时，； 为偶数时，，此时单调递减，所以， 综上，的最大值为，所以. 因为在上单调递减，所以， 而，， 综上所述，所以满足的整数的最小值为. 19. 已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系中，将任意向量绕原点，沿逆时针方向旋转角，会得到向量. （1）将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，且，求的坐标； （2）若为曲线上任意一点，将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，记点的轨迹曲线为. （i）求的方程； （ii）若等腰直角的三个顶点均在曲线上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由坐标旋转的定义列式求解； （2）（i）设和，由坐标旋转的定义可得，结合点在曲线上，代入运算得解； （ii）将的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值的问题，写出面积表达式，再利用导数即可求出最小值. 【小问1详解】 设，， 则有， 所以. 【小问2详解】 （i）设和，且，， 则， 则， 在曲线上， ，将，的表达式代入化简得，故的方程为. （ii）由（i）知的内接等腰面积的最小值，等于曲线的内接等腰面积的最小值. 如图，设为直角顶点，，， 则， 则斜率，斜率， ，，即…， ，，化简得：， 即，显然， 所以， 将式代入得…，易知， 将式和式代入式得， 令，则，则， 令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 所以曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三11月期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由圈整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被截得的弦长最短时，的方程为 10. 成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（ ） A. 几何体的表面积为 B. 几何体的体积为 C. 一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D. 直线与面所成角的正弦值为 11. 设首项为1的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是单调递增数列 D. 若，则正整数的最小值为19 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则______. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线______. 14. 在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的值； （2）设边的中点为，若，求的面积. 16. 记为数列的前项和，且，，其中. （1）证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 刍薨（chúméng）是中国古代数学名著《九章算术》中记载的一种几何体，书中提到其：“下有袤有广，而上有袤无广.”可翻译为：“底面有长有宽，为矩形；顶部只有长没有宽，为一条棱.”如图，在刍薨中，四边形是正方形，面面， （1）求证：； （2）若，，，.下面三个条件：①，②平面平面，③平面平面中，只有一个能确保这样的刍薨存在且唯一.请你先选出此条件（不用说明理由），并据此求出面和面夹角的余弦值. 18. 重庆一中为培养学生综合能力，积极开展围棋选修课，甲、乙两位同学进行围棋对弈训练，已知甲赢下第一局的概率为，且每位同学在前一局已经获胜的条件下，继续赢下后一局的概率都为.如此重复进行，每局比赛都无平局. （1）求甲同学第2局获胜的概率； （2）记甲同学第局获胜的概率为（）. （i）求的表达式； （ii）若存在正整数，使成立，求整数的最小值.（参考数据，题中是自然对数的底数） 19. 已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系中，将任意向量绕原点，沿逆时针方向旋转角，会得到向量. （1）将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，且，求的坐标； （2）若为曲线上任意一点，将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，记点的轨迹曲线为. （i）求的方程； （ii）若等腰直角的三个顶点均在曲线上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $