3.3.1 抛物线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能够用自己的语言准确表述抛物线定义，并指出定义中的关键条件； 2. 独立完成抛物线标准方程的推导过程，正确填写四种标准方程对照表 ； 3.能快速由方程判断焦点、准线、开口方向，能根据条件求解抛物线标准方程； 4.通过类比椭圆、双曲线的研究路径，初步形成“几何特征→代数方程→几何性质” 的研究范式，发展逻辑推理素养。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： 圆锥曲线是平面内满足特定距离约束的动点轨迹，所有圆锥曲线均可通过坐标法（数形结合）实现几何问题代数化；通过建立标准方程，统一实现曲线形状、位置、性质的量化研究，形成“定义建模—方程化简—性质探究—应用落地”的圆锥曲线结构化研究体系。 单元大概念： 利用点的坐标刻画几何对象，研究几何对象的性质以及探讨几何对象之间的关系。 单元大问题： 如何通过几何轨迹定义与坐标代数方法，系统研究三类圆锥曲线的图形、方程与性质，构建圆锥曲线统一的知识结构与研究范式？ 本课大问题： 如何沿用圆锥曲线统一的解析研究方法：如何从抛物线的几何特征出发，建立其标准方程，并通过方程揭示抛物线的本质？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 数学本质： 抛物线的本质是平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。其标准方程的本质是用代数形式“翻译”这一几何等量关系，实现从几何直观到代数表征的转化。 本质延续圆锥曲线统一研究范式：几何定义→轨迹建模→坐标化简→标准方程→性质应用，是解析几何数形结合思想、轨迹思想的典型载体，也是椭圆、双曲线研究方法的迁移与完善。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 如何从抛物线的几何特征出发，建立其标准方程，并通过方程揭示抛物线的本质？ 子问题 子问题 1：回顾椭圆、双曲线的几何定义，二者均依托距离和、差的约束，平面内是否存在 新的距离约束，对应一类新的圆锥曲线？到定点和定直线距离相等的点的轨迹是什么？ 发现抛物线的“身份”？ 子问题 2：如何用数学语言（文字语言和符号语言）刻画抛物线的几何特征？ 子问题 3：建立怎样的平面直角坐标系，能使抛物线的方程最简洁？ 子问题 4：抛物线有几种标准方程？它们之间有什么关系？方程中的参数p有什么几何意义？ 子问题 5：如何根据给定条件，选择适当的抛物线标准方程解决问题？ 子问题 6： 从椭圆到双曲线再到抛物线，我们研究圆锥曲线的路径有什么共同特征？ 这体现了怎样的数学思想方法？ 问题1： 椭圆和双曲线的学习路径是什么？ 背景 定义 应用 性质 方程 观察下图，模仿学过的圆锥曲线学习过程，我们该如何学习图中的曲线？ 【环节二】唤醒类比，引发冲突 当 0＜e＜1 时，点 M 的轨迹为椭圆； 当 e＞1 时，点 M 的轨迹为双曲线. 思考：当 e＝1 时，即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等时， 点 M 的轨迹会是什么形状？ 椭圆、双曲线有什么共同的几何特征： 都可以看作是：在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) 【环节三】感知与关联——抛物线从哪里来？ 【环节三】感知与关联——抛物线从哪里来？ 问题2：动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等时，点 M 的轨迹会是什么形状？ 追问1：动点 M 满足什么样的几何条件？ 追问2：动点 M轨迹是什么形状？ 一条抛物线 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线. M · F l · 焦点 d 准线 追问3：若直线l过定点F，那么点M的轨迹是什么？ 点的轨迹是过点F且垂直于直线 l 的直线. l · F ∟ 【环节四】定义与辨析——抛物线是什么？ 抛物线的定义 M H F K 问题3：类比椭圆，双曲线方程的建立过程，你认为应该如何求抛物线的方程？ 坐标法 议一议：观察抛物线的几何特征，如何建系会比较简单呢？ d 化简 建系 设点 列式(限) 代入 【环节五】表征与优化——抛物线如何代数化？ l F O y x P H K (方案一) l F O y x P H (方案二) K l F O y x P H K (方案三) 【环节五】表征与优化——抛物线如何代数化？ 问题3：我们如何建立坐标系才能让方程最“优美”？（提示：回想椭圆/双曲线，对称性是关键！） 设︱KF︱= p (p>0) 则F ( ，0)， l：x = - p 2 p 2 设点M的坐标为M(x，y)， 由定义可知，|MF|=|MN| 化简得 y2 = 2px（p＞0） 如图，建立直角坐标系： 方案一 o x l F M N · · ∟ K ∟ y 【环节五】表征与优化——抛物线如何代数化？ 化简 建系 设点 列式(限) 代入 l F O y x P H K (方案一) l F O y x P H (方案二) K l F O y x P H K (方案三) 【环节五】表征与优化——抛物线如何代数化？ 问题3：我们如何建立坐标系才能让方程最“优美”？（提示：回想椭圆/双曲线，对称性是关键！） 问题：抛物线的焦点位置会有些什么情况？如下图，要怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程呢？请探究之后填写下表． 【环节五】结构与统一——抛物线有几种标准方程？ 追问1：四种标准方程有什么共同特征？ 追问2：如何由方程快速判断开口方向和焦点位置？ 追问3：参数p在四种形式中有什么共同的几何意义？ 抛物线的标准方程： 它表示焦点在x轴的正半轴上的抛物线， 焦点：F(c, 0)，在轴正半轴上 准线： . O x y p F l ∟ M H K d · · l: （焦准距） p的几何意义： 焦点F到准线 l 的距离 【环节五】表征与优化——抛物线如何代数化？ 焦点的坐标是方程一次项系数的 倍， 准线方程值是一次项系数的 - 倍， 焦点和准线对应值成相反数。 开口方向：向右 对称轴： 轴 顶点：(0,0) 图形 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 p的几何意义——焦点到准线的距离。 向右 向左 向上 向下 【环节五】结构与统一——抛物线有几种标准方程？ 看方程知图形、看图形写方程 1、方程左二次右一次式 2、一次项定对称轴， 焦点在对称轴上. 一次项定轴，系数符号定开口 3、焦点不为零的坐标分量为一次项系数的四分之一 4、准线方程值是一次项系数的 - 倍. 当a>0时与当a<0时，结论都为： 追问4：二次函数的图像是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点坐标、准线方程. 【环节五】结构与统一——抛物线有几种标准方程？ 3、焦点不为零的坐标分量为一次项系数的四分之一 4、准线方程值是一次项系数的 - 倍. 焦点在轴上，焦点， 准线方程为. 1、方程左二次右一次式 2、一次项定对称轴， 焦点在对称轴上. 例1 解析 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ 一次项系数除以4，焦点坐标即得之；准线方程取相反数 【总结】根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程： 第一步：标准化：先将抛物线方程标准化； 第二步：求p：令标准化后的一次项系数=2p，即可求出p 第三步：写对应的焦点坐标和准线方程 例1 解析 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ 【总结】待定系数法求抛物线标准方程： 第一步：设方程：根据焦点位置或开口方向，设出标准方程； 第二步：求p：根据题意建立关于参数p的方程，解方程求p； 第三步：下结论：根据p的值，写出所求抛物线的标准方程. 焦点在哪个半轴，一次项就是那个变量， 符号正对应正半轴，符号负对应负半轴。 例2 一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ 解 析 如右图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上． 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ 练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 教材133 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ 练习2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点是 ； （2）准线方程是 ； （3）焦点到准线的距离是2. 或 先定位，后定量 小结：已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程. 教材133 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ （4）抛物线过点(3,﹣4)； 教材133 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为 y2=mx (m≠0)或x2=ny (n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 【环节六】应用与迁移——如何用标准方程解决问题？ 练习2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程. 先定位，后定量 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 25 图形 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 p的几何意义——焦点到准线的距离。 向右 向左 向上 向下 【环节七】：单元融通·体系闭环 看方程知图形、看图形写方程 1、方程左二次右一次式 2、一次项定对称轴， 焦点在对称轴上. 一次项定轴，系数符号定开口 3、焦点不为零的坐标分量为一次项系数的四分之一 4、准线方程值是一次项系数的 - 倍. 01 02 03 基础：教材第133页练习第1-3题， 提升：教材第138页习题3.3第1—4题， 拓展：（1）思考探究：对比椭圆、双曲线、抛物线的统一定义（圆锥曲线第二定义），思考三类曲线的内在关联，尝试梳理圆锥曲线统一的距离约束规律。 （2）知识整理：绘制本节课思维导图，整合抛物线定义、四类标准方程、参数意义、核心性质，并将本节课知识嵌入圆锥曲线单元知识框架中，形成结构化笔记。。 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 28 即:若 |MF| = d ,则点 的轨迹是抛物线. $