3.3.1 抛物线及其标准方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过椭圆与双曲线离心率k=1的自然过渡引入，结合直尺、绳子和三角板的动手操作实验，构建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步理解概念。 其亮点在于以直观想象为基础，通过动手实验和微思考辨析定义，结合表格对比不同开口方向的标准方程培养数学运算能力，卫星接收天线、抛物线形拱桥等实例渗透数学建模思想。系统小结与分层作业设计，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

3.3.1　抛物线及其标准方程 第三章　圆锥曲线的方程 1 课标要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用（数学抽象）. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象、数学运算）. 3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题（数学运算、数 学建模）. 情境导入 　　通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直 线l（不过点F）的距离之比为k，当0＜k＜1时，点M的轨迹为椭圆； 当k＞1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k＝1时，即动 点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么 形状？ 目 录 CONTENTS 知识点一　抛物线的定义 知识点二　抛物线的标准方程 提能点　抛物线定义的应用 小结与自测 课时作业 知识点三　抛物线的实际应用 知识点一　抛物线的定义 目录 5 问题　如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上， 截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定 在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉 笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后 使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？ 提示：抛物线. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 ⁠ 的点的轨迹叫做抛物线. 2. 焦点：点 叫做抛物线的焦点. 3. 准线：直线l叫做抛物线的 ⁠. 相 等　 F　 准线　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 在抛物线定义中，为什么强调定点F不能在定直线l上？ 提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条 直线. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的 轨迹是抛物线. （　√　） （2）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则 点P的轨迹是抛物线. （　×　） （3）若点P到点F（1，0）的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的 轨迹是抛物线. （　√　） （4）抛物线的方程都是二次函数. （　×　） √ × √ × 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知点F（1，0），直线l：x＝－1，B是l上的动点.若过点B垂直于y 轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（　　） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线 解析：　如图，连接MF，由中垂线性质知｜MB｜＝｜ MF｜，即M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等， 且点F不在直线l上，因此，点M的轨迹是抛物线.故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 对抛物线定义的理解 （1）“一动三定”：一动点M；一定点F（即焦点），一定直线l（即准 线），一定值1（即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为 1）； （2）定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的 轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　抛物线的标准方程 目录 12 问题　仿照椭圆与双曲线方程的建立，我们取经过点F且垂直于直线l的直 线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标 系Oxy.设｜KF｜＝p（p＞0），那么焦点F的坐标为（ ，0），准线l 的方程为x＝－ .试推导抛物线的标准方程. 数学·选择性必修第一册 目录 提示：设M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛 物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}.因为｜MF｜＝ ，d＝ ，所以 ＝ ，将上式两 边平方并化简，得y2＝2px（p＞0）. 数学·选择性必修第一册 目录 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 （p＞0） ⁠ x＝－ （p＞0） ⁠ y2＝2px　 （ ，0） y2＝－2px　 x＝ 数学·选择性必修第一册 目录 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 （p＞0） ⁠ y＝－ （p＞0） ⁠ 提醒：四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开 口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方 向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. x2＝2py　 （0， ） x2＝－2py　 y＝ 数学·选择性必修第一册 目录 角度1　由标准方程求焦点坐标及准线方程 （链接教材P132例1（1））求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2＝x； 解：对于y2＝x，焦点在x轴正半轴上， 焦点坐标为（ ，0）， 准线方程为x＝－ . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）x2＝－y； 解：对于x2＝－y，焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为（0，－ ）， 准线方程为y＝ . （3）x2＋12y＝0. 解：对于x2＋12y＝0，即x2＝－12y， 焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为（0，－3），准线方程为y＝3. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 　　求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程 得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程. 数学·选择性必修第一册 目录 角度2　求抛物线的标准方程 （链接教材P132例1（2））根据下列条件分别求出抛物线的标准方 程： （1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6； 解：由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y. （2）准线方程为x＝ ； 解：由题意知 ＝ ，所以p＝ ，所以抛物线的标准方程是y2＝－ x. 数学·选择性必修第一册 目录 （3）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）. 当焦点为（0，－3）时， ＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为 x2＝－12y； 当焦点为（4，0）时， ＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2 ＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝ ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝ ，准线方程为 ⁠； 解析：因为抛物线的焦点坐标为（1，0），所以 ＝1，p＝2，准线方程 为x＝－ ＝－1. 2 x＝－1 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求过点（3，－4）的抛物线的标准方程. 解：当焦点在x轴上时，设所求抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0）， 于是（－4）2＝3m，解得m＝ ；当焦点在y轴上时，设所求抛物线的标 准方程为x2＝ny（n≠0），于是32＝－4n，解得n＝－ ，所以抛物线的 标准方程为y2＝ x或x2＝－ y. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　抛物线的实际应用 目录 25 （链接教材P132例2）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所 示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近 似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所 示）.已知接收天线的口径（直径）为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦 点到顶点的距离为 ⁠. 0.9 数学·选择性必修第一册 目录 解析：如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立平面直角 坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， 焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入A （0.4，1.2），所以1.22＝2p×0.4，解得p＝1.8，所以抛物 线方程为y2＝3.6x，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ＝ 0.9. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求解抛物线实际应用题的步骤 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　如图是抛物线形拱桥，设水面宽｜AB｜＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF. 若｜CD｜＝9 m， 则｜DE｜不超过 m才能使货船通过拱桥. 6 数学·选择性必修第一册 目录 解析：如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB 的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 标系，则B（9，－8）.设抛物线方程为x2＝－2py（p＞ 0）.因为点B在抛物线上，所以81＝－2p·（－8），所以 p＝ ，所以抛物线的方程为x2＝－ y.当x＝ 时，y＝－2，即｜DE｜＝8－2＝6（m）.所以｜DE｜不超过6 m才能使货船通过拱桥. 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　抛物线定义的应用 目录 31 问题　若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦 点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度 与点M坐标的关系. 提示：如图所示，过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝x0＋ . 数学·选择性必修第一册 目录 图形 方程 y2＝2px y2＝－2px 焦半径（｜MF｜） x0＋ －x0 数学·选择性必修第一册 目录 图形 方程 x2＝2py x2＝－2py 焦半径（｜MF｜） y0＋ －y0 提醒：由焦半径公式｜MF｜＝x0＋ 可知｜MF｜的最小值为 ，此时M 在顶点. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）〔一题多解〕设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，若点 A（ ，2）在C上，则｜AF｜＝（　C　） A. B. C. D. 解析：法一　因为点A（ ，2）在C上，所以（ ）2＝2p·2，得p＝ ，所以抛物线的准线方程为y＝－ .由抛物线的定义知，｜AF｜等于点 A到准线的距离，即｜AF｜＝2＋ ＝ . C 数学·选择性必修第一册 目录 法二　因为点A（ ，2）在C上，所以（ ）2＝2p·2，得p＝ ，所 以F（0， ），所以｜AF｜2＝（ ）2＋（ ）2＝2＋ ＝ ，所以｜ AF｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离 与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ⁠. ​ 解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距 离等于它到焦点的距离. 由图可知，当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（ ， 0）三点共线 时距离之和最小，所以最小距离d＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 变式　若将本例（2）中的点（0，2）改为点A（5，3），则｜PA｜＋｜ PF｜的最小值为 ⁠. ​ 解析：将x＝5代入y2＝2x，得y＝± .所以点A在抛物 线内部.设点P到准线x＝－ 的距离为d，则｜PA｜＋｜ PF｜＝｜PA｜＋d.由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d 最小，最小值是 ，即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是 . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 抛物线定义的两种应用 （1）实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距 离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的 相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小 值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　（1）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则点P的坐标为 （　C　） A. （6，9） B. （－4，4） C. （±6，9） D. （±4，4） 解析：设点P（x0，y0），由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为（0， 1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y0＋1＝10，所以 y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.所以点P的坐标为（±6，9）. C 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂 线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为 ⁠. 解析：由抛物线C：x2＝12y可知其焦点坐标为（0，3），准线方程为y＝ －3，记抛物线C的焦点为F（0，3），所以｜PG｜＋｜PM｜＝｜PG｜ ＋｜PF｜－2≥｜FG｜－2＝ －2＝3，当且仅当点P为线段FG 与抛物线的交点时等号成立，所以｜PG｜＋｜PM｜的最小值为3. 3 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 42 数学·选择性必修第一册 目录 1. 若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点 的轨迹是（　　） A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线 解析：　动点P的条件满足抛物线的定义.故选A. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　） A. （1，0） B. （ ，0） C. （0， ） D. （0，1） 解析：　由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准 方程为x2＝ y，则焦点坐标为（0， ），故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为 （　　） A. y2＝－2x B. x2＝－2y C. y2＝－4x D. x2＝－4y 解析：因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px.又因为p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. （2026·河南开封质检）石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、 结构坚固的一种桥型.如图是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是焦点在y 轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水平面距离拱顶4 m时，水面的宽度是 8 m，则抛物线C的焦点到准线的距离为 m. 解析：设抛物线C：x2＝－2py（p＞0），由题意可知点（4，－4）在抛 物线C上，则－2p×（－4）＝42，解得p＝2，故抛物线C的焦点到准线 的距离是2 m. 2 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：106分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 48 1. 过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 抛物线 解析：由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 抛物线y＝－ x2的准线方程为（　　） A. x＝ B. x＝1 C. y＝1 D. y＝2 解析：　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 准线与x轴垂直，且经过点（1，－ ）的抛物线的标准方程是（　　） A. y2＝－2x B. y2＝2x C. x2＝2y D. x2＝－2y 解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），则（－ ）2＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 若抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3 倍，则y0＝（　　） A. B. C. 1 D. 2 解析：　抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛 物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0， 解得y0＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动 点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　） A. 2 B. 3 解析：　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知， 距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝ ＝2. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，｜ AF｜＝2，则下列说法正确的是（　　） A. 焦点F（1，0） B. 准线方程为y＝－1 C. 点A（1，2）或A（1，－2） D. 焦点到准线的距离为4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：由y2＝4x可知2p＝4，即p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；由抛物线定义可知｜AF｜＝xA－（－1）＝2，即xA＝1，代入抛物线方程可得 ＝4，即yA＝±2，所以点A（1，2）或A（1，－2），故C正确；由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为p＝2，故D错误，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（　　） A. y2＝x B. x2＝8y C. x2＝－8y D. y2＝－8x 解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）2＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以42＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. （2026·台州段考）若点M（x，y）在运动过程中总满足关系式 ＝｜x－4｜，则点M的轨迹方程为 ⁠. 解析：设点F（－4，0），直线l：x＝4，则动点M到点F（－4，0）的 距离为 ，动点M到直线l：x＝4的距离为｜x－4｜，又 ＝｜x－4｜，所以动点M的轨迹是以F（－4，0）为焦 点，直线l：x＝4为准线的抛物线，其轨迹方程为y2＝－16x. y2＝－16x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点， PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ ，那么｜PF｜＝ ⁠. 解析：如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE＝60°，因为 F（2，0），所以E（－2，0），则 ＝tan 60°， 即｜AE｜＝4 ，所以点P的坐标为（6，4 ），故｜ PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）根据下列条件分别求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； 解：双曲线方程可化为 － ＝1，左顶点为（－3，0）， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且 ＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜ ＝5. 解：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3）， 由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋ . 又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，则 动点P的轨迹方程为（　　） A. y2＝2x（x≥0） B. y＝1（x＜0） C. y2＝4x（x≥0）或y＝1（x＜0） D. y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析： 　由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1， 由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合 题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的 距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨 迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x ＜0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 〔多选〕设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列 结论正确的是（　　） A. 抛物线的准线方程是x＝－1 B. 当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值 C. 若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 D. 以线段PF为直径的圆与y轴相切 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：对于A，抛物线的准线方程为x＝－ ＝ －1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0 ≥0， ＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝ ＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在 原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜ PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝ ＝ ，故C正确；对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝ （1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝ ｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡 远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形 状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 cm（碗体 和碗盖的厚度忽略不计）. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2 ＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25， 解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到 碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）（2026·青岛月考）如图所示，已知抛物线y2＝2px（p＞ 0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛 物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点 为M. （1）求抛物线的方程； 解：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－ ， 于是4＋ ＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标. 解：由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）. 又F（1，0），所以kAF＝ ， 则直线FA的方程为y＝ （x－1）. 因为MN⊥FA，所以kMN＝－ ，则直线MN的方程为y＝－ x＋2. 解方程组得 所以N . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0） 为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两 点M，N，点P为线段MN的中点. （1）求｜AM｜＋｜AN｜的值； 解：设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义， 得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a. 又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16， 将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0， ∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求 出a的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下： 假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直 抛物线的准线，垂足为P'（图略）. ∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜. 由抛物线的定义知点P必在抛物线上， 这与点P是线段MN的中点矛盾， ∴这样的a不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $