3.3.2 课时2 抛物线的综合应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线综合应用，涵盖标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系及坐标法求轨迹方程，通过复习抛物线焦点、准线等性质，类比直线与椭圆位置关系，引导学生探究新问题，搭建从性质到应用的学习支架。 其亮点是以问题驱动和类比迁移展开教学，如通过直线与抛物线公共点分类讨论培养数学思维（推理能力），用坐标法证明焦点弦性质体现数学语言表达（模型意识）。归纳坐标法步骤，学生提升逻辑推理与建模能力，教师可借助结构化实例高效教学。

3.3.2 课时2 抛物线的综合应用 抛物线的简单几何性质 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y≤0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 2 方程 图形 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py 2p 四种标准方程抛物线的焦半径、焦点弦与通径： F x y 问题1 :直线与抛物线的位置关系有哪几种? 1.相离(没有交点) 2.相切(有一个交点) 3.相交(一个交点，两个交点) 与双曲线的情况类似 探究1 直线与抛物线的位置关系 活动1：类比直线与椭圆、直线与双曲线位置关系，探究直线与抛物线位置关系. 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行或重合 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 与判断直线与双曲线位置关系过程一致 问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？ 问题1：已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(﹣2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x： (1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点？ 活动2：根据已知条件，分析下列问题，先说说求解思路再进行求解. 有两种情形： 一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切． 解：由题意，设直线l的方程为y-1=k(x+2) 消去x，得ky2－4y+4(2k+1)=0 (1)当k=0时，由方程得y=1， 把y=1代入y2=4x， (2)当k≠0时，方程的判别式为△=﹣16(2k2+k－1) ①由△=0，即2k2+k-1=0， 方程组只有一个解 即直线与抛物线只有一个公共点 问题1：已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(﹣2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x： (1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点？ ②由△>0，即2k2+k－1<0, 方程组有两个解 即直线与抛物线有两个公共点 ③由△<0，即2k2+k－1>0, ,方程组没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点. 问题1：已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(﹣2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x： (1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点？ 注意：在方程中ky2－4y+4(2k+1)=0，二次项系数含有k，所以要对k进行讨论； 作图要点：画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形，观察直线绕点P转动的情形. 即直线与抛物线只有一个公共点 即直线与抛物线有两个公共点 即直线与抛物线没有公共点 练一练 1.已知抛物线的方程为y2=4x，当b为何值时，直线l：y=x+b与抛物线： (1)只有一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点？ (4)当直线与抛物线有公共点时，b的最大值是多少? b的最大为1.此值在直线与抛物线相切时取得. b=1 b<1 b>1 2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线l：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离. . F 解一：设直线4x+3y+m=0与抛物线相切 由△=0得，m=36. 将m=36代入①式，解得y=﹣24，所以所求P点坐标(9，﹣24). 练一练 2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线l：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。 . F 解二：易知直线与抛物线无交点 设抛物线上一点P(x0，y0) 则y02=64x0 ∴当y0=﹣24时，dmin=2 ,此时P(9，﹣24) 问题1：已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(﹣2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x： (1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点？ 有两种情形： 一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切． 如何证明这个结论并推广到一般呢？ y x O 问题：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. A B F D 活动3：结合直线与抛物线的位置关系，尝试利用坐标法解决以下问题. 提示：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可． 探究2：利用坐标法证明、求解与抛物线有关的问题 证明：建立如图所示的坐标系 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，点A的坐标为 则直线OA的方程为 点D的纵坐标为 直线AF的方程为 ∴DB//x轴 当y02=p2时，结论也成立. ∴直线DB平行于抛物线的对称轴. y x O A B F D 解得点B的纵坐标为 问题：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 思考：上述解法是根据直线与抛物线的位置关系求得B、D两点纵坐标相等，除此之外还有其它办法求解上述问题吗？ y x O A B F D A B F K x y 归纳总结 1.建系：根据问题，合理建立平面直角坐标系； 2.求点：利用已知条件，求出相关点坐标； 3.求解：根据抛物线的相关性质，列式求解. 坐标法求解抛物线相关问题的步骤： 解：设 ，由题意可知，联立直线y=x-2与抛物线方程 ,得 , ， ， ， . 3.如图，直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于A，B两点，求证： 问题：如图，已知定点B(a，﹣h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 解：设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m). 由题意得，直线OB的方程为 因为点 M在OB上，将点M的坐标代入①，得 所以点P的坐标x满足②. 直线OE的方程为 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③ 将②代入③，消去m，得 ,即点P的轨迹方程. 活动4：利用坐标法求解与抛物线有关的轨迹问题. 焦点在y轴负半轴的抛物线的一部分. 注意：在以上问题中，若设点B关于y轴的对称点为A，则方程为 对应的轨迹是常见的抛物拱AOB，如图. 归纳总结 1.建系：根据已知，合理建立平面直角坐标系； 2.设点：设出相关点坐标，并将要求点用已知点代换； 3.代换：利用已知条件，找出要求点与已知点的关系，然后代换，化简. 坐标法求有关抛物线的轨迹问题： 练一练 解：如图所示，设圆心为E，则其坐标为 ， 由题意可知， ， 化简，得 ， 所以点的轨迹方程为 . 4.已知圆心在y轴上移动的圆经过点A(0，5)，且与x轴、y轴分别交于B（x，0)，C(0，y）两个动点，求点M(x，y）的轨迹方程. 任务：根据下列关键词，建构知识导图. “坐标法”、“轨迹方程” $