浙教版九上期中压轴题汇总02：圆的基本性质+相似三角形（13大题型）数学新教材浙教版九年级上册

期中压轴题汇总02：圆的基本性质+相似三角形（13大题型） 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题涵盖圆的几何性质（角、弦、切线）、相似三角形的判定与性质，以及两者与函数、四边形、最值问题的深度融合。解题核心在于熟练掌握“圆周角定理及其推论”、“相似三角形的判定模型（A型、X型、母子型、一线三等角）”以及“转化思想”。关键方法包括：利用辅助线构造直角三角形或相似模型；通过“等积法”或“勾股定理”建立方程；在动态问题中寻找不变量；将几何长度转化为函数解析式。解题时要做到“见直径想直角，见切线连半径，见比例找相似”，灵活运用数形结合与分类讨论思想。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、黄金分割的应用 题型模版 题型特征： 涉及线段比值的计算，或判断点是否为线段的黄金分割点。常出现在正五边形、等腰三角形顶角为36∘的底边与腰的关系中，或作为新定义题目出现。 解题方法： 熟记黄金比数值 ≈0.618。若 C是AB的黄金分割点且AC>BC，则 AC2=AB⋅BC。在几何计算中，常利用相似三角形（如顶角36∘的等腰三角形底角平分线分出的三角形与原三角形相似）来推导该比例关系，列方程求解线段长。 典例1（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 题型2、与圆有关的角的应用 题型模版 题型特征： 已知圆心角、圆周角、弦切角中的某些角度，求其他角度；或证明角相等。常结合平行线、等腰三角形考查。 解题方法： 紧扣“同弧或等弧所对的圆周角相等”及“圆周角等于同弧所对圆心角的一半”。遇到直径必连构造90∘ 圆周角；遇到切线必连半径构造90∘ 典例1（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 变式1-2（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图1，是的直径，为下方上一点，为的中点，连接． (1)求证：． (2)如图2，延长，相交于点． ①求证：． ②若，求的半径． 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 题型3、圆与三角形的综合 题型模版 题型特征： 圆内接三角形问题，涉及垂径定理、勾股定理与三角函数的结合。常见求弦长、半径、点到直线的距离。 解题方法： 构建“半径、弦心距、半弦”组成的直角三角形模型（）。利用垂径定理平分弦和弧的性质，结合等腰三角形“三线合一”求解。若涉及面积，常用“等积法”）建立等量关系。 典例1（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 变式1-1（24-25九年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中． (1)求的度数． (2)如图2，当经过圆心O与交于点G时， ①若，求的值． ②若，求的值． 变式1-2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形中，，于点，以为半径作圆，交于点，交于点，点为上一点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，与交于点，延长交于点，连结，若，求的大小． (3)如图3，若的半径为15，，请用尺规作图的方法作出的角平分线，与交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 变式1-3（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 题型4、三角形的外接圆问题 题型模版 题型特征： 确定三角形外心位置，求外接圆半径，或解决与外心相关的角度、距离问题。锐角、直角、钝角三角形外心位置不同。 解题方法： 外心是三边垂直平分线的交点。直角三角形外心在斜边中点，半径为斜边一半；一般三角形利用正弦定理或构建直角三角形求解。注意分类讨论：当三角形形状不确定时，外心可能在三角形内部、边上或外部。 典例1（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，是的外接圆，，延长的角平分线交于点D． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，作交于点F，若，，求的半径． 变式1-3（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结． (1)若．求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 题型5、圆的折叠问题 题型模版 题型特征： 圆形纸片折叠，折痕经过圆上一点或圆内一点，求折痕长、重叠部分面积或相关角度。本质是轴对称变换。 解题方法： 抓住“折叠前后图形全等”这一核心性质。折痕即为对称轴，垂直平分对应点的连线。常利用“垂径定理”计算折痕（弦）长，或利用“翻折后的弧所在圆与原圆半径相等”这一隐含条件，通过构造菱形或等腰三角形求解。 典例1（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 变式1-2（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是______． 变式1-4（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 题型6、圆的最值问题 题型模版 题型特征： 动点在圆上运动，求线段和差的最值、面积最值或角度最值。常涉及“将军饮马”模型的变式。 解题方法： 点到圆的最值： 连接定点与圆心，与圆的交点即为极值点（d−r最小，d+r最大）。 弦长最值： 过圆内定点的最长弦是直径，最短弦是垂直于直径的弦。 轨迹法： 若动点轨迹也是圆（隐圆），利用两圆位置关系求最值。 三角函数法： 设参数角，将几何量转化为三角函数求最值。 典例1（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为______． 变式1-2（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，线段长为4，以为圆心，线段为半径作，点为上一动点，点为线段中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值为______． 变式1-3（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． (1)如图，若，为直径，求的度数． (2)如图，当经过圆心O，求证：． (3)如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 题型7、圆与函数的综合问题 题型模版 题型特征： 在平面直角坐标系中，圆与一次函数、反比例函数图象相交、相切。求交点坐标、函数解析式或参数范围。 解题方法： “数形结合”。将几何条件转化为代数方程。利用圆的对称性简化计算（如圆心在坐标轴上）。对于动点问题，常设点坐标，利用两点间距离公式建立关于坐标的方程求解。 典例1（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．    变式1-1（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（   ） A． B． C． D． 变式1-2（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 变式1-3（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上．    (1)求抛物线顶点A的坐标． (2)若是的外接圆，试求的半径． (3)当时，求点P到圆心I的距离． 题型8、圆与相似三角形的综合 题型模版 题型特征： 圆中出现相交弦、切割线或切线，求证线段乘积式（如 PA⋅PB=PC⋅PD）或比例式。 解题方法： 寻找“共角”或“同弧所对圆周角”来判定相似。常见模型： 相交弦模型： 对顶角相等 + 同弧圆周角相等。 切割线模型： 公共角 + 弦切角等于夹弧所对圆周角。 射影定理模型： 直径上的高构成的母子相似。 通过相似比转化线段关系，注意隐含的等量代换。 典例1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D． (1)连接，求证：； (2)若，求度数； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若，，，求的长． 变式1-1（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知，是的直径，点为圆上一点，点，分别为弧，弧的中点，过点作于点，点，关于直线对称，连接． (1)求弧的度数； (2)若为的直径，请猜想与的数量关系，并给出证明； (3)设，的面积为，若的半径为1，求关于的函数解析式． 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：是中点； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 变式1-4（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以为直径的分别交，于点D，E．若，过点D作交于点F，则_______． 题型9、圆与四边形的综合 题型模版 题型特征： 圆内接四边形问题，利用对角互补、外角等于内对角性质；或圆外切四边形，利用对边和相等性质。 解题方法： 若四点共圆，优先使用“对角互补”转化角度，或将外角转移到内角构造相似。对于不规则四边形，常通过连接对角线将其分割为两个三角形，利用圆的性质求解。 典例1（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点． ①若，，求的长； ②如图3，当F是的中点时，求的值． 变式1-1（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，四边形内接于为直径，于． (1)求的半径； (2)求四边形的面积； (3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长． 变式1-3（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形内接于，，连接恰好为的外角的角平分线，连接，交于点F． (1)求证：． (2)若 ①求证：． ②若的半径为10，，求的值． 变式1-4（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是直径，点C为上一点，连接． (1)如图1，若，连接，判断和的数量关系，并证明． (2)如图2，若，连接并延长交于点E，连接交于点E．若，求的值． (3)如图3，点C为的中点，已知，过点B作与交于点Q，连接交于点K，求之间的数量关系． 题型10、相似三角形性质与判定的综合 题型模版 题型特征： 在复杂图形中识别基本相似模型（A字、8字、母子、一线三等角/K字型），证明相似并计算线段比、面积比。 解题方法： 判定： 找角（平行线、公共角、对顶角、余角）或找边（两边成比例且夹角相等）。 性质应用： 相似比 k 等于对应高、中线、角平分线之比；面积比等于k2。 构造： 若无现成相似，通过作平行线构造“A”型或“X”型相似，或作垂线构造直角三角形相似。 典例1（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知为平行四边形的边的中点，交于点，，则图中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（    ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在线段上，交于点F，交于点G，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 变式1-2（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，求的长． 题型11、相似三角形与四边形的综合 题型模版 题型特征： 平行四边形、矩形、正方形背景下的相似问题。常涉及动点产生的相似，或折叠产生的相似。 解题方法： 利用四边形对边平行产生“内错角相等”从而判定相似。在矩形/正方形中，重点关注“一线三等角”（K字型）模型。若涉及面积，利用相似比的平方关系。对于动点问题，设时间为 t ，表示出相关线段长，列比例方程求解，注意检验解的合理性（是否超出边长范围）。 典例1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 变式1-1（25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 变式1-2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则______，______． 变式1-3（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图1，点是正方形对角线延长线上一点，．连结，，将线段绕着点逆时针旋转一定的角度后与的延长线交于点． (1)求证：①是等腰三角形； ②； (2)连交于点，设，的面积为，求与的关系式． 题型12、相似三角形与二次函数的综合 题型模版 题型特征： 抛物线上存在点构成三角形与已知三角形相似，或求满足相似条件的点坐标。这是浙江中考压轴题高频考点。 解题方法： 定形不定点： 已知三角形形状固定，设动点坐标 (x,y)，利用距离公式表示边长，根据相似比列方程（通常需分类讨论对应边）。 角度转化： 利用斜率或三角函数值相等来确定角度相等，进而判定相似。 几何法： 先求出可能的直线解析式（利用角度关系），再求直线与抛物线交点。注意分类讨论对应顶点的顺序。 典例1（25-26九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E． (1)连接，，求证； (2)点P在运动过程中线段 的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长． 变式1-2（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点和点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，是否存在使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究） 变式1-3（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-4（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点 C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标； (2)连接BC、BD、CD，求的面积： (3)已知点E的坐标为，点P在直线DE上，当与 相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 题型13、用相似三角形的性质解答最值问题 题型模版 题型特征： 求线段比值的最大值/最小值，或在相似变换中求某线段长度的极值。 解题方法： 函数法： 利用相似建立目标线段与自变量（如时间t或坐标x）的函数关系（通常是二次函数），利用顶点式求最值。 几何法： 将比值转化为固定线段与变动线段的比。若分子固定，求分母的最值（如点到直线的距离、点到圆的距离）。 辅助圆法： 若动点对定线段张角固定，其轨迹为圆弧，利用圆的性质求最值。 典例1（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图1，四边形内接于，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且． ①求证：点，是的三等分点． ②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值． 变式1-1（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为_____，线段长度的最小值为_____． 变式1-2（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)当，时，①求线段的长；②求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 变式1-3（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，连接分别交于点G、H．连接．则下列结论中：①；②平分；③；④．正确的有__________．（只写序号） 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C．6 D． 6．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 7．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是______． 8．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，若，则_______． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 10．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，射线与直线交于点，设． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，当点恰好与点重合时，试确定的值； (3)作点关于直线的对称点，连接，延长交直线于点．当时，求的值，并直接写出相应的值． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，点、是正方形边、上的两个动点，，，交于点，交于点．连接，过点作，垂足为，连接． (1)若， ______， ______； (2)若，求的长； (3)请用尺规作图，画出的外接圆； (4)求的面积最小值． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，求证： 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，D为AE边上一点，若，，求CD． 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，，，，，点F是边延长线上一点，连接交边于点，过点作交射线于点，设，，求关于的函数关系式． 13．（25-26九年级上·浙江·期中）如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． (1)若的半径为2，，求劣弧的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 15．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为． ①连结，求证： ． ②当直径，时，求的长． 试卷第2页（共142页） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题汇总02：圆的基本性质+相似三角形（13大题型） 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题涵盖圆的几何性质（角、弦、切线）、相似三角形的判定与性质，以及两者与函数、四边形、最值问题的深度融合。解题核心在于熟练掌握“圆周角定理及其推论”、“相似三角形的判定模型（A型、X型、母子型、一线三等角）”以及“转化思想”。关键方法包括：利用辅助线构造直角三角形或相似模型；通过“等积法”或“勾股定理”建立方程；在动态问题中寻找不变量；将几何长度转化为函数解析式。解题时要做到“见直径想直角，见切线连半径，见比例找相似”，灵活运用数形结合与分类讨论思想。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、黄金分割的应用 题型模版 题型特征： 涉及线段比值的计算，或判断点是否为线段的黄金分割点。常出现在正五边形、等腰三角形顶角为36∘的底边与腰的关系中，或作为新定义题目出现。 解题方法： 熟记黄金比数值 ≈0.618。若 C是AB的黄金分割点且AC>BC，则 AC2=AB⋅BC。在几何计算中，常利用相似三角形（如顶角36∘的等腰三角形底角平分线分出的三角形与原三角形相似）来推导该比例关系，列方程求解线段长。 典例1（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 题型2、与圆有关的角的应用 题型模版 题型特征： 已知圆心角、圆周角、弦切角中的某些角度，求其他角度；或证明角相等。常结合平行线、等腰三角形考查。 解题方法： 紧扣“同弧或等弧所对的圆周角相等”及“圆周角等于同弧所对圆心角的一半”。遇到直径必连构造90∘ 圆周角；遇到切线必连半径构造90∘ 典例1（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点、在上，点为中点，，点在线段上，交于点，，，则__________． 【答案】 【分析】先由确定是半圆直径，取圆心后，结合是弧中点得到圆心角关系；再通过圆周角定理、等边三角形判定求出圆的半径；接着利用平行线性质和含角的直角三角形性质，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， 取的圆心，连接， ∵点为的圆弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形性质，熟练掌握圆的基本性质（直径与圆周角的关系、弧与圆心角的关系）及特殊三角形的性质是解题的关键． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； (2) (3)1 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，从而得到，然后根据圆周角定理得到，从而根据等角对等边得到结论； （2）连结，先证明为等腰直角三角形得到，再根据圆周角定理得到，即可解答； （3设交于G点，连结，先证明，得到，再证明为等腰三角形得到，再证明得到，证明得到，从而得到，然后利用为等腰直角三角形求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：连结，如图， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设交于G点，连结，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 变式1-2（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图1，是的直径，为下方上一点，为的中点，连接． (1)求证：． (2)如图2，延长，相交于点． ①求证：． ②若，求的半径． 【答案】(1) 证明：为的中点， 为的半径 ； (2) ①证明：是的直径， ， ， ， ， ， ． ② 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质、平行线的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． (1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可解答； (2)①先证明，推导出，得到，继而推导出，得到，即可解答；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，求出，设的半径为d，由勾股定理求出符合题意的d值即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接BC，则， ， 设的直径为， 则， ， ， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 的半径为2.5． 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． (2)5 (3) 证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 题型3、圆与三角形的综合 题型模版 题型特征： 圆内接三角形问题，涉及垂径定理、勾股定理与三角函数的结合。常见求弦长、半径、点到直线的距离。 解题方法： 构建“半径、弦心距、半弦”组成的直角三角形模型（）。利用垂径定理平分弦和弧的性质，结合等腰三角形“三线合一”求解。若涉及面积，常用“等积法”）建立等量关系。 典例1（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 变式1-1（24-25九年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中． (1)求的度数． (2)如图2，当经过圆心O与交于点G时， ①若，求的值． ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）先根据圆周角定理，得，运用得，即可作答； （2）①先得，再结合，，以及圆周角定理得证，运用勾股定理得，算出，结合等面积法，化简得，因为，故； ②延长交于点N，连结，先设，根据圆内接四边形以及邻补角互补得，再证明，，代入数值得，再证明∴，则，得， 结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵为直径， ∴，； （2）解： ①连结交于点M， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②延长交于点N，连结， ∵， ∴设， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵都是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内角四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式1-2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形中，，于点，以为半径作圆，交于点，交于点，点为上一点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，与交于点，延长交于点，连结，若，求的大小． (3)如图3，若的半径为15，，请用尺规作图的方法作出的角平分线，与交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 【答案】(1) 证明：连接， ， ， ， ∵等腰三角形中，，， ， ， ； (2) (3)如图， 【分析】本题考查的是圆周角定理、圆心角与弧的关系、等腰三角形性质及正方形的判定与性质， （1）连接，先证明，则，再证即可得出结论； （2）连接并延长交于点M，求出，再证明，即可求出结论； （3）作出的角平分线，与交于点，连结，连接，作于点Q，证明四边形是矩形，得出，再根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接并延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵等腰三角形中，，， ， ， ， ， ； （3）解：按要求作出的角平分线，与交于点，连结，连接，作于点Q， ∵等腰三角形中，，， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴矩形是正方形， 的半径为15，， ， ， ， 在中， ． 变式1-3（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 题型4、三角形的外接圆问题 题型模版 题型特征： 确定三角形外心位置，求外接圆半径，或解决与外心相关的角度、距离问题。锐角、直角、钝角三角形外心位置不同。 解题方法： 外心是三边垂直平分线的交点。直角三角形外心在斜边中点，半径为斜边一半；一般三角形利用正弦定理或构建直角三角形求解。注意分类讨论：当三角形形状不确定时，外心可能在三角形内部、边上或外部。 典例1（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 变式1-1（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． 根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再由圆周角定理得到，可证，根据面积比等于相似比的平方得到，可设，则，作交于F，证明是等腰直角三角形，得到，则，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：∵点D是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 即， ∴， ∴， ∵与的面积比为， 即， 可设，则， 作交于， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 变式1-2（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，是的外接圆，，延长的角平分线交于点D． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，作交于点F，若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴； (2) (3)10 【分析】（1）利用角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形的外角的性质解答即可； （2）证明，然后利用相似三角形对应边成比例，解答即可； （3）作的直径，连接，过点作于点，利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，设，则，则，利用勾股定理求得，再证明，其对应边成比例求得，即可求得半径． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：作的直径，连接，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 变式1-3（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结． (1)若．求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得，再利用同角的余角相等得到；再根据圆内接四边形对角互补得，进而得出，由此即可得出结论； （2）根据等角的补角相等得到，可证明，再利用相似的性质即可求得； （3）连结，，可得，进而可得，设，，，即有，再由垂径定理，得出，根据得到，由此求出，再根据即可求解． 【详解】（1）为直径， ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ∴． （2）四边形为圆的内接四边形， ． ，且由（1）得，． ． 又， ． ∴， ∴，， 又∴， ∴， ． （3）连结，． ∵是直径， ∴， ，， ∴， 设，则，，， ，即， ∴， ∵是直径，， ∴，， ， ， ， ， ，即， 解得：． ，即， 解得． ． 题型5、圆的折叠问题 题型模版 题型特征： 圆形纸片折叠，折痕经过圆上一点或圆内一点，求折痕长、重叠部分面积或相关角度。本质是轴对称变换。 解题方法： 抓住“折叠前后图形全等”这一核心性质。折痕即为对称轴，垂直平分对应点的连线。常利用“垂径定理”计算折痕（弦）长，或利用“翻折后的弧所在圆与原圆半径相等”这一隐含条件，通过构造菱形或等腰三角形求解。 典例1（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，易知，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 变式1-2（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 过点作于点，延长交于点，连接，先证出是等边三角形，则，根据等腰三角形的三线合一可得，则劣弧的度数为，优弧的度数为，再分两个临界位置：①当点在优弧上时，②当在劣弧翻折后的圆弧上时，利用圆周角定理求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点，延长交于点，连接， ∵把沿弦翻折后恰好经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 如图2，当点在优弧上时，连接， 由圆周角定理得：； 如图3，当在劣弧翻折后的圆弧上时， 作点关于弦的对称点，连接，则点在劣弧上，， 由圆周角定理得：， ∴此时； 如图4，在内有任意点，连接，则有，证明如下： ， ∵， ∴， ∴当点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界）时，． 故答案为：． 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是______． 【答案】8 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，得到，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 变式1-4（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 题型6、圆的最值问题 题型模版 题型特征： 动点在圆上运动，求线段和差的最值、面积最值或角度最值。常涉及“将军饮马”模型的变式。 解题方法： 点到圆的最值： 连接定点与圆心，与圆的交点即为极值点（d−r最小，d+r最大）。 弦长最值： 过圆内定点的最长弦是直径，最短弦是垂直于直径的弦。 轨迹法： 若动点轨迹也是圆（隐圆），利用两圆位置关系求最值。 三角函数法： 设参数角，将几何量转化为三角函数求最值。 典例1（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接，首先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 点的运动轨迹为以为直径的，连接， ， ∴当点D在的延长线上时，的值最大， 是的直径，， ， 是等边三角形， ， 取的中点Q，连接， 则， 在中，， ， ， 则的最大值为． 变式1-2（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，线段长为4，以为圆心，线段为半径作，点为上一动点，点为线段中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值为______． 【答案】 【分析】过A作，使，连接，证明，可得，可知E在以F为圆心，长为半径的圆上运动，当时，的值最大，进而得解． 【详解】解：过A作，使，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， E在以F为圆心，长为半径的圆上运动， 延长交于，则， 当时，的值最大， 为线段中点， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，点圆最值问题，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，证明E在圆上运动． 变式1-3（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． (1)如图，若，为直径，求的度数． (2)如图，当经过圆心O，求证：． (3)如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：∵，且经过圆心O， ∴，即为的中垂线 ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此由直角三角形两锐角互余可得答案； （2）可证明为的中垂线，则可推出，由圆内接四边形对角互补可得，则，据此可证明； （3）如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N，可证明，则是等边三角形，同理是等边三角形，即可得到，进而得到；如图3-2所示，取的中点H，连接，由三角形中位线定理可得；求出，可推出，则可证明当为直径时，有最大值，即此时的值最大，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵点C为的中点，， ∴； 如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴ ∴， ∴； 如图3-2所示，取的中点H，连接， ∵点C为的中点， ∴为的中位线 ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当为直径时，有最大值，即此时的值最大 ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型7、圆与函数的综合问题 题型模版 题型特征： 在平面直角坐标系中，圆与一次函数、反比例函数图象相交、相切。求交点坐标、函数解析式或参数范围。 解题方法： “数形结合”。将几何条件转化为代数方程。利用圆的对称性简化计算（如圆心在坐标轴上）。对于动点问题，常设点坐标，利用两点间距离公式建立关于坐标的方程求解。 典例1（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； (3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【详解】（1）解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，    由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，   ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 变式1-1（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 变式1-2（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 【答案】(1)； (2)当为直角三角形时，的值为1或2或5； (3)经过的路径长度为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线， ，， 则、， 抛物线解析式为； （2）解：设点， ， 点， 则、、， ①若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ②若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ③若，则， 整理，得：， ， ， ， ， 则或（舍， ， 直线解析式为， 当时，，即， ； 综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5． （3）为的外接圆， 点在线段的中垂线上， 当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段， 当时，如图1， 由（2）知， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 当时，如图2， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， 、， ； 当时，如图3， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 则点经过的路径长度为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题． 变式1-3（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A，连接，把所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P在直线l上．    (1)求抛物线顶点A的坐标． (2)若是的外接圆，试求的半径． (3)当时，求点P到圆心I的距离． 【答案】(1) (2)圆的半径为； (3)点P到圆心I的距离为：． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本性质、一次函数的基本性质． （1）由抛物线顶点坐标公式即可求解； （2）由，即可求解； （3）当时，则，进而求解． 【详解】（1）解：令，则或， 即点， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即点； （2）解：由圆和抛物线的性质知，点A、I共线且在的中垂线上， 设点，设圆的半径为r， 由得：， 解得：，； 即圆的半径为； （3）解：由（2）知，点，，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线l的表达式为：， 当时，则，    则， 解得：， 则点P的坐标为：或， 由点P、I坐标知，， 或， 即点P到圆心I的距离为：． 题型8、圆与相似三角形的综合 题型模版 题型特征： 圆中出现相交弦、切割线或切线，求证线段乘积式（如 PA⋅PB=PC⋅PD）或比例式。 解题方法： 寻找“共角”或“同弧所对圆周角”来判定相似。常见模型： 相交弦模型： 对顶角相等 + 同弧圆周角相等。 切割线模型： 公共角 + 弦切角等于夹弧所对圆周角。 射影定理模型： 直径上的高构成的母子相似。 通过相似比转化线段关系，注意隐含的等量代换。 典例1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D． (1)连接，求证：； (2)若，求度数； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，    ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识． （1）连接，，由，，得到，结合，证明得到，即可证明； （2）设，则，，由和得到，再结合列方程求解即可； （3）延长交于，先证明，得到，，则，，设，半径，由，得到，代入整理得， 即可得到，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，延长交于， 由（1）可得是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴设，半径，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 由（1）得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 变式1-1（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知，是的直径，点为圆上一点，点，分别为弧，弧的中点，过点作于点，点，关于直线对称，连接． (1)求弧的度数； (2)若为的直径，请猜想与的数量关系，并给出证明； (3)设，的面积为，若的半径为1，求关于的函数解析式． 【答案】(1)弧的度数为 (2) 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，, ∴； (3) 【分析】（1）如图，连接，，由点，分别为弧，弧的中点，可得，，再进一步可得答案， （2）如图，连接，，证明，，结合，可得，证明，即可； （3）如图，过作于，连接，，记，的交点为，证明为等腰直角三角形，可得，证明四边形是矩形，，设，由，可得，再解方程，进一步利用三角形的面积公式可得答案. 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵是的直径，点为圆上一点， ∴， ∵点，分别为弧，弧的中点， ∴，， ∴， ∴弧的度数为； （2）略 （3）解：如图，过作于，连接，，记，的交点为， 由（1）可得：， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去） ∴ . ∴. 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，弧，圆心角之间的关系，列二次函数关系式，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 变式1-3（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：是中点； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 是中点． (3) 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，结合同角的余角相等，再结合圆周角定理完成角的等量代换； （2）通过线段比例关系证明三角形相似，结合圆周角与圆心角的关系，推导弧的等量关系； （3）借助相似三角形的性质求出圆的半径，再利用相似三角形对应线段成比例计算线段长度，再结合勾股定理建立方程求解目标线段的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， 由（2）得， ， ， 即的半径为， ，， 是直径， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆的性质（直径与圆周角、圆周角定理）、相似三角形的判定与性质，同角的余角相等以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的相关定理与几何计算方法是解题的关键． 变式1-4（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以为直径的分别交，于点D，E．若，过点D作交于点F，则_______． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质；设，则，然后根据圆内接四边形的性质得到，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，进而得到，根据平行线得到，利用对应边成比例得到，然后代入计算比值即可． 【详解】解：， ， 设，则 ， ∵ 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ∴， ∴设， ， ， ， ，即 ， ， 故答案为：． 题型9、圆与四边形的综合 题型模版 题型特征： 圆内接四边形问题，利用对角互补、外角等于内对角性质；或圆外切四边形，利用对边和相等性质。 解题方法： 若四点共圆，优先使用“对角互补”转化角度，或将外角转移到内角构造相似。对于不规则四边形，常通过连接对角线将其分割为两个三角形，利用圆的性质求解。 典例1（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点． ①若，，求的长； ②如图3，当F是的中点时，求的值． 【答案】(1) 证明：连接、， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，是直径， ， ∴． (2)①，② 【分析】（1）连接，，由圆的内接四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，因此，故，再由垂径定理得到，即可解答； （2）①连接，证明四边形是平行四边形得到，，设，推出，，根据，求出，因此，得到为等腰直角三角形，即可求出，，过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形，从而，； ②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M，设，，易得，，分别在和中表示出，从而建立方程求出x，再在中，利用勾股求出、，最后利用相似转化求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， 设，则， ∵， ， ∴ ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，， ， 解得， ∴， 为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ， 过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形， ， ； ②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M， 设，则， 为中点， 设， 则， ∵， ，， ， ，， ，， ∵在中，， 在中，， ， 解得（负值舍去）， ∴， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式1-1（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，四边形内接于为直径，于． (1)求的半径； (2)求四边形的面积； (3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长． 【答案】(1)5 (2)32 (3) 【分析】（1）连接，设半径为r，由勾股定理求出的半径即可； （2）过B作，交延长线于点G，利用角平分线性质和三角形全等求出和长，再代入数据计算即可； （3）连接DF，过C作于点G，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，设半径为r， 在中，，由勾股定理得： ， 解得：， ∴的半径为5； （2）如图，过B作，交延长线于点G， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，连接DF，过C作于点G，则， ∵，， ∴， ∴，同理得：， 连接交于点M， ∵, ∴, ∴ ∵， ∴, ∴, ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 变式1-3（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形内接于，，连接恰好为的外角的角平分线，连接，交于点F． (1)求证：． (2)若 ①求证：． ②若的半径为10，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形内接于， ∴, ∵, ∴ ∵， ∴， ∴； (2) ①证明：∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，角平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，则，即可解答； （2）①先证明，推导出，得到，即，即可解答； ②连接并延长交于H，连接，先求出，得到，，继而求出，，推导出，则将，即可解答． 【详解】（1）略 （2）① 略 ②连接并延长交于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1-4（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是直径，点C为上一点，连接． (1)如图1，若，连接，判断和的数量关系，并证明． (2)如图2，若，连接并延长交于点E，连接交于点E．若，求的值． (3)如图3，点C为的中点，已知，过点B作与交于点Q，连接交于点K，求之间的数量关系． 【答案】(1) ， 证明：设，则， ∵是直径， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴； (2) (3) 【分析】（1）设，则，得到，，即可得到结论； （2）连接，求出，证明，得到，即，证明，得到，即可得到； （3）在上取点M，使，连接，证明点在以点C为圆心的圆上，设，则，证明四点共圆，得到，则，由得到是等腰直角三角形，则，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴ ∴ （3）如图，在上取点M，使，连接， ∵是弧的中点，是直径， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴点在以点C为圆心的圆上，如图， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明四点共圆是解题的关键． 题型10、相似三角形性质与判定的综合 题型模版 题型特征： 在复杂图形中识别基本相似模型（A字、8字、母子、一线三等角/K字型），证明相似并计算线段比、面积比。 解题方法： 判定： 找角（平行线、公共角、对顶角、余角）或找边（两边成比例且夹角相等）。 性质应用： 相似比 k 等于对应高、中线、角平分线之比；面积比等于k2。 构造： 若无现成相似，通过作平行线构造“A”型或“X”型相似，或作垂线构造直角三角形相似。 典例1（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知为平行四边形的边的中点，交于点，，则图中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，分别交、于、，再设，，，根据平行四边形的性质，结合是中点，可得，再利用，根据平行线分线段成比例定理的推论可知，根据比例线段易得，根据三角形面积公式以及平行四边形的面积公式易求以及，进而可求它们的比值． 【详解】解：如图，过作，分别交、于、， 设，，， 是中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理有， ， ． 变式1-1（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先延长交的延长线于一点，结合平行线的性质以及为中点，证明，再结合，然后证明，根据斜边上的中线等于斜边的一半以及等边对等角，得，证明，故，再整理得，即可作答． 【详解】解：延长交的延长线于一点，如图所示； ∵， ∴ ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴， ∵，， 则， ∵已知的值， ∴可以求出的值． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式1-2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在线段上，交于点F，交于点G，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 过点D作，交于点，证，得，同理可得，进而，，再证，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：过点D作，交于点， 由题意可得：， ∴， ∴, 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 故选：C． 变式1-2（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，求的长． 【答案】 【分析】在上截取，先证明，再证明，确定，接着证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形外角性质应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 题型11、相似三角形与四边形的综合 题型模版 题型特征： 平行四边形、矩形、正方形背景下的相似问题。常涉及动点产生的相似，或折叠产生的相似。 解题方法： 利用四边形对边平行产生“内错角相等”从而判定相似。在矩形/正方形中，重点关注“一线三等角”（K字型）模型。若涉及面积，利用相似比的平方关系。对于动点问题，设时间为 t ，表示出相关线段长，列比例方程求解，注意检验解的合理性（是否超出边长范围）。 典例1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 变式1-1（25-26九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 【答案】 【分析】设直线与、相交于点、，连接，由题意可得直线，、、三点共线，设，则，，证明，得出，设，则，，由对称性可得，，故，求出，，证明，得出的边上的高为，求出，，即可得解． 【详解】解：设直线与、相交于点、，连接，如图： ， ∵线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上， ∴直线，、、三点共线， ∵， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由对称性可得，，故， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的对应高之比为， ∴的边上的高为， ∴，， ∴，， ∴四边形与的面积之比为． 变式1-2（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则______，______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等角对等边，由对称的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，证明，得出，设，则，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 变式1-3（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图1，点是正方形对角线延长线上一点，．连结，，将线段绕着点逆时针旋转一定的角度后与的延长线交于点． (1)求证：①是等腰三角形； ②； (2)连交于点，设，的面积为，求与的关系式． 【答案】(1) 证明：①∵是正方形的对角线， 平分，即， 又， 在和中， ， ∴ . ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ②解：过点作，交于点，则， ，且， ， 在正方形中，对角线， 又 ， ，即， ， ∴， ， ； (2) 【分析】（1）①由正方形的性质可得，再根据边角边证明即可得出是等腰三角形； ②过点作，交于点，则，得，，求出，可得结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明，得，求出，同理可得，得到，求出，运用三角形面积公式可得． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：，理由如下： 过点作，交的延长线于点，过点作于点， ， ， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴ ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ， 同理可得， ， ∵， 同理得：，即, ∴， ， ． 题型12、相似三角形与二次函数的综合 题型模版 题型特征： 抛物线上存在点构成三角形与已知三角形相似，或求满足相似条件的点坐标。这是浙江中考压轴题高频考点。 解题方法： 定形不定点： 已知三角形形状固定，设动点坐标 (x,y)，利用距离公式表示边长，根据相似比列方程（通常需分类讨论对应边）。 角度转化： 利用斜率或三角函数值相等来确定角度相等，进而判定相似。 几何法： 先求出可能的直线解析式（利用角度关系），再求直线与抛物线交点。注意分类讨论对应顶点的顺序。 典例1（25-26九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E． (1)连接，，求证； (2)点P在运动过程中线段 的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长． 【答案】(1) 证明：如图， ， ，． ． (2)点P在运动过程中线段 的长不变，是定值2． 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数与几何图形，两点之间的距离公式． （1）由圆周角相等可证； （2）由，可得，设，则，可得，，，故，可知为定值2． 【详解】（1）略 （2）解：， ，． ． ． ． 设，则． 当时，， 解得，． 当时，． ，，． ，，． ． 是定值2． 点P在运动过程中线段 的长不变，是定值2． 变式1-2（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点和点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，是否存在使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点，代入，求出b，c，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，， ∴ ∴，， 同理，， ①当时，，如图， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，，如图， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． 变式1-3（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质． 变式1-4（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点 C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标； (2)连接BC、BD、CD，求的面积： (3)已知点E的坐标为，点P在直线DE上，当与 相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3)或或或 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、勾股定理逆定理、两点间距离公式、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，再结合可得、，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，最后根据三角形的面积公式计算即可． （3），，，再运用勾股定理逆定理结合已知条件可得，然后求得直线的解析式为；设，则，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴顶点为D为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∴． （3）解：∵，， ∴，， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， 当时，， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或； 当时，， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 综上，点P的坐标为或或或． 题型13、用相似三角形的性质解答最值问题 题型模版 题型特征： 求线段比值的最大值/最小值，或在相似变换中求某线段长度的极值。 解题方法： 函数法： 利用相似建立目标线段与自变量（如时间t或坐标x）的函数关系（通常是二次函数），利用顶点式求最值。 几何法： 将比值转化为固定线段与变动线段的比。若分子固定，求分母的最值（如点到直线的距离、点到圆的距离）。 辅助圆法： 若动点对定线段张角固定，其轨迹为圆弧，利用圆的性质求最值。 典例1（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图1，四边形内接于，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且． ①求证：点，是的三等分点． ②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值． 【答案】(1) 解：， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， 四边形为矩形． (2) ①证明：如图，连接， 由（1）可知四边形为矩形， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理， ，即点，是的三等分点． ② 【分析】（1）根据等弧对等弦，证得，结合题目条件证得四边形是平行四边形，再根据圆的内接四边形对角互补，证直角，即可求证矩形． （2）①连接，先证是等边三角形，再通过弧之间的转换证得，再通过圆周角相等得到，同理，即可求证；②过点E作，，过点B作，连接，先通过半径求出和矩形中各边的长度，转化求出等线段的长度，通过勾股定理得到当最短时，最短，也最短，的面积最小，再结合旋转得到当最短时，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图，过点E作，，过点B作，连接， 由（2）可知是等边三角形，且内接于，而的半径为， ， ， 四边形为矩形，， 四边形为矩形， ，， 又， ， ， 由勾股定理，可知， ， ， ， ，， 根据勾股定理，可知当最短时，最短，也最短，的面积最小 又是由上的点旋转得到， 当最短时，， ， ， 是的中点，， ， 此时面积为． 【点睛】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点并适当添加辅助线帮助分析出旋转过程中线段长度变化情况是解题的关键． 变式1-1（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为_____，线段长度的最小值为_____． 【答案】 / 【分析】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小；再当点P运动到点A时，点Q运动到点N，则在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为，进行求解即可． 【详解】解：连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，连接， 则， ∵矩形，，E，F分别为，边的中点， ∴，，，， ∴四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小， ∴的最小值为； ∵点P的速度是点Q的速度的2倍， ∴当点P运动到点A时，点Q运动到点N， ∴在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线．解题的关键是条件辅助线，构造相似三角形和直角三角形，利用两点之间线段最短得到线段的最小值． 变式1-2（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)当，时，①求线段的长；②求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【答案】(1) 证明：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ (2)①9；②45 (3)面积是定值， 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理． （1）根据平分得到，根据得到，进而证明即可； （2）①根据得到，即，进而计算即可； ②证明，得到，则； （3）作交于点M，作交于点N，连结，，根据平分得到，即，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理得到，根据，，得到，，证明，，进而得到，即，即可证明四边形是平行四边形，得到，即可证明是的中位线，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵ ∴ ∴，即 ∴ ②∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴ （3）解：面积为定值．证明如下： 理由：作交于点M，作交于点N，连结， ∵平分 ∴ ∴ ∴ 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ ∴的面积为定值，． 变式1-3（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2) 证明：，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； (3)①；② 【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，通过证明，可得 ，即可求解； （3）①先表示出，和，在证明基础上，代入求得结果； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，求得，表示出，，根据列出，进一步得出结果． 【详解】（1）过点作于，交于；如图， ，四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， 线段绕点逆时针旋转， ， ， 又， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）将绕点逆时针旋转至，如图2， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ①设，则，，，， 由（1）知：， ， ， ， ，舍去； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】作于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得得到，设圆的半径为r，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得出是直角三角形，由勾股定理可得出，解方程求得即可求得BD的长． 【详解】解：作于E， ， ， 垂直平分， 过圆心， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设圆的半径为r，则， ， ， 在中，， ， 整理得，即， （负值舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判断，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点、、、四点共圆是解本题的关键． 先判断出点、、、四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，连接分别交于点G、H．连接．则下列结论中：①；②平分；③；④．正确的有__________．（只写序号） 【答案】①②④ 【分析】可证明得到，则可证明，再证明，得到，据此可判断①；连接，证明是等腰直角三角形，得到；可证明A、E、H、F四点共圆，得到，据此可判断②；设正方形的边长为，则，由勾股定理得到，；证明，推出；由等面积法可得，则，据此可判断③；求出，得到，，则，进而得到；求出，则，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，连接， 同理可得， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴A、E、H、F四点共圆， ∴， ∴平分，故②正确； 设正方形的边长为，则， ∴，； 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，过点C作，并延长，交于点H，则有当点O与点P重合时，有最小值，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点C作，并延长，交于点H，如图所示： ∴， ∴点C与点H关于对称， ∴， ∴， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为， ∴， 即的最小值为6； 故选C． 6．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 【答案】 【分析】证明，得到，设，勾股定理得到，将的最大值转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为. 7．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．由已知求出，再分和两种情况进行讨论，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， 四边形是矩形， ， 当时，如图1， 则， ， ，， ， 当时，如图2， ， 垂直平分， ， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当为直角三角形时，的长是或， 故答案为：或 8．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，若，则_______． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得垂直平分线段，由中位线定理可得，，设，则，再证明，则，然后证明，则，再整理，最后代入数值到，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵将沿直线翻折得到， ∴垂直平分线段， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形 【分析】本题重点考查了勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握并灵活运用相关知识点，并分类讨论是解此题的关键． （1）根据题意可以得的长为点运行的速度与时间之积，当时需要考虑此时点已经运行在上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． （2）此处需要分情况讨论，①当在上时，显然无解．②当在上时，需要分三种情况讨论，即，，．时，作垂线，利用直角三角形面积公式得到，进而求得的值并完成求解；时，容易得到的值，进而完成求解；时，利用等腰三角形的性质可以得到，利用相似三角形对应线段成比例，可以求得，最后完成求解．③当在上，此时，通过简单计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时，动点运动了， 此时还未到达点， ∴的长为， 当秒时，动点运动了， ∴此时点在的运动过程中， ∴， ∵， ∴， ∴在的中点上，同时为直角三角形， ∴此时的长为． 答：当秒时，BP的长为；当秒时，BP的长为． （2）解：①当在上时，为在一条直线上，无法构成三角形； ②当在上时,分三种情况讨论， 若,过作，如下图所示， 根据三角形面积公式， ， 即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴运动的路程为， ∴； 若时， ， 此时运动的路程为， ∴； 若时， 连接，过点作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时运动的路程为， ∴． ③当在上时，如下图所示， ∵， ∴斜边一定是最长边，只存在， ∴，， 此时运动的路程为， ∴． 综上所述，当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形． 答：当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形． 10．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，射线与直线交于点，设． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，当点恰好与点重合时，试确定的值； (3)作点关于直线的对称点，连接，延长交直线于点．当时，求的值，并直接写出相应的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，当时，，由同角的余角相等可得，从而证明，因此； （2）同理（1）可得，，则，结合，，可得，，即； （3）设，则，，使用勾股定理计算得，由面积法可得．根据轴对称的性质可得，，同理（2）可得，计算得，，进而计算出，，因此．分两类讨论，当点在边上时，，容易判断点在上，由平行可判定，计算得，此时；点在的延长线上时，则，利用计算出，此时． 【详解】（1）略； （2）解：同理（1）可得，，， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵是边的中点，即， ∴， ∴，即； （3）解：设，则， ∵是边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵点和点关于对称， ∴，， ∴点在上，， 同理（2）可得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， ①当点在边上时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理，得， 解得（负值，舍去），此时； ②当点在的延长线上时，如图， ∴， ∵， ∴， 同理①可得，， ∴，即， ∴， 整理，得， 解得（负值，舍去），此时； 综上所述，当时，；当时，． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，点、是正方形边、上的两个动点，，，交于点，交于点．连接，过点作，垂足为，连接． (1)若， ______， ______； (2)若，求的长； (3)请用尺规作图，画出的外接圆； (4)求的面积最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图，即为所求作的圆． (4) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，， ，，根据勾股定理得出，证明，得出，求出；证明为等腰直角三角形，求出； （2）证明，得出，，证明，根据勾股定理得出，根据等积法求出，即可得出答案； （3）分别作和的垂直平分线、，则和交于点Q，以点Q为圆心，为半径作即可； （4）连接，交于点M，根据正方形性质得出，，设，则，根据相似三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据，设，根据，得出，即，，根据完全平方公式，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 （4）解：连接，交于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， 根据解析（1）可知，， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， 设， ∵， ∴，即，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了尺规作外接圆，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，二次根式混合运算，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，求证： 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，D为AE边上一点，若，，求CD． 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，，，，，点F是边延长线上一点，连接交边于点，过点作交射线于点，设，，求关于的函数关系式． 【答案】 （1）证明：， ，， ，， ， ， 即； （2）；（3） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形及列函数关系式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证即可求解； （2）延长,使得，易得，得到，，进而可得，再证得，得到，结合，可得即可求解； （3）过作于，可证，得到，结合即可求解． 【详解】（1） 略 （2）延长,使得， 又， ，， ， ，， 又， ，， ， ，即， ， ； （3）过作于， ，，， 四边形为正方形，则， ， ，， ， ，， ， ，即， 在中， ， ， 即，， 解得． 13．（25-26九年级上·浙江·期中）如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)； (3) 【分析】（1）连接，设，则，由可得，再由为直径，可得，求出，最后由等腰三角形的判定证明即可； （2）先由勾股定理求解，再判定为等腰三角形，且，根据边的关系求解即可； （3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明为等腰直角三角形，再得到，由此可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作垂直于，垂足为，如图， ∵，， ∴在中，， ∵，, ∴， ∵, ∴， , ∴为等腰三角形， ∵垂直于， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：设点到线段的距离为， ∵， ∴要使得的面积最大，就是当， 此时，为等腰直角三角形，且， 连接，过点D作，如图， ∵， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并适当添加辅助线． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． (1)若的半径为2，，求劣弧的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图1中，连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：如图3中，连接． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）如图1中，连接．求出即可解决问题． （2）如图1中，连接．首先证明，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． （3）如图3中，连接．证明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧长公式，全等三角形的判定和性质三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 15．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为． ①连结，求证： ． ②当直径，时，求的长． 【答案】(1) 是的“幸运角”． 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， ， 是的“幸运角” (2)①连接 的幸运角为， 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， 即 ② 【分析】（1）根据垂径定理得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据“三线合一”的性质得出，利用对顶角相等，结合“幸运角”的定义即可得答案； （2）①如图，连接、，根据“幸运角”的定义得出，，即可得出，，根据圆周角定理可得，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质得出； ②过点作于点，根据已知可得,进而求得，由（1）可知，则；根据垂径定理可得，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图，过点作于点， 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， ∴ ∴， ∵ 由①可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 试卷第2页（共142页） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $