天津市天津中学2026-2027学年高二年级上学期第一次诊断测试数学试卷

天津中学2025级高二第一学期第一次诊断测试 数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) Lk若直线kX=tm于的领斜角为a,则a-（) A.0 B.2 5 C. D.不存在 2.如图，在三棱锥S一ABC中，点L,F分别是S4,BC的中点，点G在棱EB上，且满足C-, GF=2 若S4=a,SB=b,SC=c,则SG=(. A.1a-18+1c -a- B.Ia-16+ 326 -L- -C 362 c.-+5 D.a+6+6 1-11- b+-c 3.在xy轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(). A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0 4.两直线2x+y=0和4x+2y-5=0之间的距离为（). A.5 B.5 c.√2 D. 2 5-4 5.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则OB等于(). A.(9,0,16) B.5 C.13 D.25 6.已知直线1的斜率为-1，直线1的倾斜角比直线1的倾斜角小30°，则直线1，的斜率为(). A.-2+V5 B.-2-5 c.-2+V5 D.2-V5 2 2 7.若直线1：x+2y+a+3=0,1,:x+(a-1)y-2=0平行，则实数u的值为(). A.-1 B.2 C.1或-2 D.-1或2 试卷第1页（共4页） 8.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,AA=V2 D ∠BA4,=∠DA4=45,∠BAD=60°，则AC=(). A.1 B.3 C.9 D.3 9.已知空间向量ā=(3,0,4)，b=(-3,2,5),则向量五在向量a上的投影向量是(). A.-32,5列B.-325列 C. D. 3.0,4) 8 10.已知线段AB两端点的坐标分别为A(-2,3)和B(4,2),若直线1：x+y+m-1=0与线段 AB有交点，则实数m的取值范围是(). A B. D.8+0 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.） 11.已知OA1AB,若0A=(（1,1,0),则OA0B=· 12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,2).若ā、6、c三向量共面，则实数= 13.经过点(-2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 14.设点A(-2,3),B(3,2),若直线x-y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 15.如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D,中，∠AAD=∠AAB=∠BAD=60, AA=AB=AD=3,点E为线段BD上靠近于点B的三等分点.若点G为棱CC1上的一个动 点，则EG·DG的最小值为 试卷第2页（共4页） 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知直线1：ax-y+17=0与直线/：x+(a+2)y=0(a>0)垂直，直线1在x轴和y轴 的截距分别为2和-4. (1)求1,1,4的方程； (2)求与1的交点到4的距离. 17.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°，E,F分别为CC1,BC 的中点. (I)求异面直线AB与EF所成角的余弦值： A C (2)求点B,到平面AEF的距离： E (3)求平面AEF与平面AEB夹角的余弦值. A 18.已知△ABC的三个顶点是A(3,4),B(0,8),C(-2,-8). (1)求BC边上的中线所在直线4的方程； (2)求∠BAC平分线所在直线1，的方程： (3)若直线经过点C,且A,B到直线13的距离相等，求1的方程. 试卷第3页（共4页） 19.如图，三棱柱ABC-AB,C1中，∠CAB=∠CBA,∠ACB,=∠AB,C,AB,⊥平面ABC,AC=2, ∠CAC1=90°，D,E分别是AC,BC1的中点. C (1)证明：AC⊥平面AB,C1; (2)求DE与平面CBB,夹角的正弦值： (3)棱BB,上是否存在一点F,使得DF∥平面AB,C?若存在，求 D BB:若不存在，请说明理由。 BF 20.已知点4，B分别是两射线y=x(≥0)和y=-xt≥0)上的点，点P(3,0). (I)若点P是线段AB的中点，求线段AB的长. (2)设点P在直线AB上，O为坐标原点. ①若直线AB垂直于x轴，求△OAB的面积； ②求△OAB面积的最小值，并求取到最小值时直线AB的方程. 试卷第4页（共4页）天津中学2025级高二第一学期第一次诊断测试 数学试卷 一、选择题： 1.若直线：x=tan2亚的倾斜角为a,则a=(). A.0 B.2 C. D.不存在 【答案】C 2.如图，在三棱锥&ABC中，点E,F分别是S4,BC的中点，点G在棱EF上，且满足BC=} GF2' 若s4=a,SB=i,sC=c,则SG=(）. A.a-1641 1- 一a- 一b+一C B. a-+c E 326 36 2 c. +1i+c 1 G C D. -a+ 366 【答案】D 3.在y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是（). A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0 【答案】B 4.两直线2x+y=0和4x+2y-5=0之间的距离为(). A.⑤ B.5 C.√2 D. 2 【答案】A 5.己知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则OB等于(). A.(9,0,16) B.5 C.13 D.25 【答案】B 试卷第1页（共12页） 6.已知直线1的斜率为-1，直线1，的倾斜角比直线1的倾斜角小30°，则直线1，的斜率为(). A.-2+V3 B.-2-V3 C.2+V5 D.2-V5 2 2 【答案】B 7.若直线1：ax+2y+a+3=0,1,:x+(a-1)y-2=0平行，则实数a的值为(). A.-1 B.2 C.1或-2 D.-1或2 【答案】B 8.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=1,A4,=V2 D ∠BAA=∠DAA=45,∠BAD=60°，则AC=(). A.1 B.5 C.9 D.3 B 【答案】D 9.已知空间向量=(3,0,4)，b=(-3,2,5),则向量6在向量ā上的投影向量是(). A. -32,5列R.8-325)c a0,4 a,利 D. 【答案】C 10.已知线段AB两端点的坐标分别为A(-2,3)和B(4,2),若直线1：x+y+m-1=0与线段 AB有交点，则实数m的取值范围是() a.引 别 c〔a,n*） D.-0+n 【答案】A 试卷第2页（共12页） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.） 11.已知OA1AB,若0A=(1,1,0),则OAOB=· 【答案】2 12.已知a=(2,-1,3),b=（-1,4,-2),c=(7,5,).若ā、b、c三向量共面，则实数元= 【答案】9 13.经过点(-2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 【答案】y=-2x或y=x+6 14.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax-y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 15.如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D中，∠AAD=∠AAB=∠BAD=60, AA=AB=AD=3,点E为线段BD上靠近于点B的三等分点.若点G为棱CC,上的一个动 点，则EGD,G的最小值为 【路打号 试卷第3页（共12页) 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知直线1：ax-y+17=0与直线/：x+(a+2)y=0(a>0)垂直，直线1在x轴和y轴 的截距分别为2和-4. (1)求4,1,4的方程； (2)求与13的交点到1？的距离. 【答案】 (1)1:4x-y+17=0,12:x+4y=0,13:2x-y-4=0 (2) 13V5 5 【解析】 解：由直线L:a2x-y+17=0和l2:x+(a+2)y=0, 因为1⊥12，则a2×1+(-1)(a+2)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1, 又因为a>0,所以a=2,可得l:4x-y+17=0,12:x+4y=0, 在x抽和V抽的截距分别为2和4，可得直线马的方程为) 即13：2x-y-4=0. 【小问2详解】 x+4y=0,解得x=-4y=1,即直线与4，的交点为(4,1)， 4x-y+17=0 解：联立方程组 则与马的交点到4的距离d=-8-1-4135 V22+(-025 试卷第4页（共12页） 17.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°，E,F分别为CC1,BC 的中点 (1)求异面直线A,B与EF所成角的余弦值： C (2)求点B,到平面AEF的距离： B (3)求平面AEF与平面AEB夹角的余弦值. A 【答案】 1)6 3 3 (2)6: C (3)56 B 18 【解析】 【小问1详解】 F 由题意可知AB、AC、AA两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则A(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,I),F(1,1,0),即AB=（2,0,-2),EF=(1,-1,-1) 所以cos(4B,EF列= 4B.EF4√6 4B.EF83 3 即异面直线4B与EF所成角的余弦值为y6 【小问2详解】 由上易知AB=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=(1,1,0), n.AE=2y+z=0 设面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则有 n.AF=x+y=0 取y=-1→x=1,z=2,即n=(1,-1,2), AB·n6 所以点B到平面AEF的距离为d= =V6: 【小问3详解】 由上可知4B=(2,0,-2),AE=(0,2,-1) 试卷第5页（共12页） m·AB=2a-2c=0 设面AEB的一个法向量为m=(a,b,c),则有 m·AE=2b-c=0 取c=2→b=1,a=2,即m=(2,l,2), 设平面AEF与平面AEB夹角为a, 则csa=os(m,训-mr同3618 mn5 5v6 即平面ABF与平面4EB夹角的余弦值56 18 试卷第6页（共12页） 18.已知△ABC的三个顶点是A(3,4),B(0,8),C(-2,-8). (1)求BC边上的中线所在直线的方程： (2)求∠BAC平分线所在直线l的方程： (3)若直线经过点C,且A,B到直线3的距离相等，求的方程. 【答案】 (1)x-y+1=0 (2)x-8y+29=0 (3)4x+3y+32=0或4x-y=0: 【解析】 【小问1详解】 因为BC的中点为(-1,0)， A(3,4) BC边上的中线方程：x-y+1=0. 【小问2详解】 因为A(3,4),B(0,8),C(-2,-8). 所以AB=(-3,4),AC=(-5,-12), 所以与AB,AC共线同向的单位向量为： a-4gs四-言- AB aca品+焉（信）(8-》 8 所以∠BAC平分线的斜率为k=5-1」 648 65 所以∠BAC平分线所在直线（的方程为）-4=8-3)，即x-8y+29=0: 【小问3详解】 当直线I的斜率存在时，设其方程为y+8=k(x+2),即kx-y+2k-8=0, 3k-4+2k-8-8+2k-8 因为A,B到直线的距离相等，所以、？+(-可 Vk2+(-)2 解得5k-12=2k-16,解得k=二。4或k=4 所以直线方程为4x+3y+32=0或4x-y=0; 当直线1的斜率不存在时，直线方程为x=-2,可得A,B到直线I的距离不相等， 综上所述：1的方程为4x+3y+32=0或4x-y=0 试卷第7页（共12页） 19.如图，三棱柱ABC-AB,C1中，∠CAB=∠CBA,∠ACB,=∠AB,C,AB,⊥平面ABC,AC=2, ∠CAC=90°，D,E分别是AC,BC的中点. C (1)证明：AC⊥平面AB,C1: B (2)求DE与平面CBB夹角的正弦值： (3)棱BB,上是否存在一点F,使得DF∥平面AB,C,？若存在，求 D BF B:若不存在，请说明理由。 BF 1 【答案】 (2) (3)存在， 6 BB 2 【解析】 【小问1详解】 因AB⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以AB⊥AC 又因∠CAC=90°，所以CA⊥AC,且AC∩AB,=A,AC,ABC平面ABC, 所以AC⊥平面ABC. ZA C 【小问2详解】 因∠CAB=∠CBA,取AB的中点为O, B 所以CO⊥AB,分别以AB,CO所在直线为x,y轴， 以过O点平行AB,的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图： 由(1)知AC⊥平面AB,C,BCC平面ABC,所以AC⊥B,C, 而三棱柱ABC-ABC中BC/B,C, 所以AC⊥BC,所以三角形ABC是等腰直角三角形，得AC=BC=2,AB=2√2 再由AC⊥平面AB,C,ABC平面ABC, 所以AC⊥AB,且∠ACB,=∠ABC, 所以ABC也是等腰直角三角形，所以AC=AB=2,CB=2V2. 所以00.00.Bv2,0.0,4-2.0,0.c0,-2,0,D-5,-5,0.B20,2 Γ2-2 试卷第8页（共12页） BC=(-√2，-√2,0). 0=0m+E=0丽+c=202+550-(9是 E-E-0m-(35是-99-02 设n=(x,y,z)为平面CBB,的一个法向量， 且BC=(-V2,-V2,0),BB=(-V2-V2,0,2)=(-2√2,0,2)， n-BC=0「-√2x-2y=0[x+y=0 得1-22x+2z=0'1-2x+2=0 得 n.BB =0' 令x=1,得y=-1,z=V2,所以n=(1,-1,V2) 所以lcos(元，DE -2x1+0x(-)+2×√2 25 V1+1+(W2)}2V-22+0+22266 所以DE与平面CBB夹角的正弦值为 6 【小问3详解】 存在F点为BB的中点，则DF∥平面ABC: B 如图： 因为O为AB的中点，D是AC的中点，所以OF∥AB,OD∥BC 由OF∥AB,AB,c平面ABC,OF丈平面ABC,所以OF∥平面 AB,C. 再由ODIIBC,BCIIB,C,所以ODIB,C, B,C,C平面AB,C,OD丈平面ABC,所以OD∥平面ABC 因OF∥平面AB,C1,OD∥平面ABC1,且OD∩OF=O,OF,ODC平面ODF. 所以平面ODF∥平面ABC,且DFC平面ODF,得DF∥平面AB,C. 故存在r点为BB的中点，则DF∥平面ABG,且BB2 BF 1 试卷第9页（共12页） 20.已知点4,6分别足两班线y-20)和y-≥0)上的点，点P3,0), (1)若点P是线段AB的中点，求线段AB的长. (2)设点P在直线AB上，O为坐标原点. ①若直线AB垂直于x轴，求△OAB的面积： ②求△OAB面积的最小值，并求取到最小值时直线AB的方程， 【答案】 (1)2W5 (202 :②最小值6,2x+y-6=0 【详解】(1)方法一：若直线AB的斜率不存在，即B的方程为x=3,易得433).B心。)】 此时AB的中点坐标为 3,1 与点P不符，不合题意 可知直线AB的斜率存在，不妨设为k,依思意得太<)或k> 此时直线AB的方程为y=k(x-3), -可得普)】 y=x, 由 y=2 可得B 6k 3k y=k(x-3) 、2k+1’2k+1' [3k 6k 因为AB的中点为P(3,0),所以 k-12k+=6 3k3k k-12k+=0, 解得k=-2, 则A(2,2),B(4,-2), 则AB=V(2-4)2+(2+2)2=2V5: 方法二：设A(a,a,B(2b,-b), a+2b=6, 由P(3,O)是线段AB的中点可得 a-b=0, 所以a=2,b=2, 所以A(2,2),B(4,-2), 则AB=V(2-4)2+(2+2)2=2√5 试卷第10页（共12页） y=x(x20) y- 2(e0) B (2)方法一：①当直线AB的斜率不存在时，由(1)的结论， 可得smon-×3个3+引程 ②当直线AB的斜率存在时，设为k,依题意得k<-2或k>1, 则直线AB的方程为y=k(x-3), 由可告}可并) 6k 3k Sae=aw+(y,-） 27 22-( 设=京，期-21<1且10.令f0=+1-+ 则-02咀020，副-子日<2时日0， 27 可 ≥6 木等于头 因为6<子片以当(=分即k=-2时，又m取得绿个值6， 此时直线AB的方程为2x+y-6=0 方法二：①当直线AB的斜率不存在时，由①的结论， 可得8m30n4-33+引子 ,3)27 ②设A(a,a,B(2b,-b), 由A,P,B三点共线可得k=k,即_a 、b a-32b-3' 整理得b=a+b,即上+=l, a b 试卷第11页（共12页) 断以a+-o+6日8-11+8号222284 a b 当且仅当a=b时取到等号. S.ow-S.ow+S.ow-ilOP-(y-y)-3(a+b)z6. 即a=b=2时，S.o4B取得最小值6， 此时直线AB的方程为2x+y-6=0 试卷第12页（共12页）