精品解析：天津市天津大学附属中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

天津大学附属中学2026-2027学年度第一学期 高二数学 9月考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以或. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，， 所以，， 所以. 4. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 5. 已知向量，若共面，则等于（ ） A. -9 B. 9 C. -5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，由于共面，所以存在，使得，然后利用建立方程求解得到即可. 【详解】向量， 由于共面，所以存在，使得， 即 所以解得 6. 若点到直线的距离是，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】点到直线的距离， 解得或. 7. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，，显然两直线平行， 因此由可以推出，充分性成立； 若，则，解得或1， 当时，，，此时两直线重合，舍去， 当时，，，此时两直线平行， 因此由可以推出，必要性成立； 综上所述，“”是“”的充要条件． 8. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB相交，由图象知，．故选A． 考点：直线相交问题求参数范围． 【方法点睛】对于直线的相交问题，常借助数形结合比较直观的研究相交．但要注意特殊位置，如直线斜率不存在时，直线与线段端点相交时，是否取等号问题等．当然本题也可直接设出直线l和直线AB的方程，然后求出交点横坐标，由横坐标大于等于-3且小于等于2求解即可．注意对比两种方法，感受数形结合的魅力． 9. 点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（ ） A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】 由对称的性质结合斜率公式、中点公式可得，求得后，由截距的概念即可得解. 【详解】因为点，，所以，线段的中点， 则，解得， 所以直线即为， 当时，， 所以直线在轴上的截距是4. 故选：C. 10. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 【答案】C 【解析】 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角__________ 【答案】## 【解析】 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角. 【详解】记直线 的倾斜角为， 由题知，又, 所以，即. 故答案为： 12. 已知向量，，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式求出，再根据数量积运算性质求出，即可求出答案. 【详解】因为，，， 则， ， 所以. 13. 若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【解析】 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 14. 已知，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 在上的投影向量为. 15. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算点到直线的距离. 【详解】由题图可知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 因为正方体棱长为4， 所以. 因为为的中点， 所以， 因为为的中点， 所以由中点坐标公式可得， 所以，取直线的单位方向向量， 则，， 所以点到直线的距离为. 16. 已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，将化为，列方程组即可求出定点；对于②，根据直线的一般式方程判断直线平行的方法即可求解；对于③，根据两直线垂直即可求解；对于④，分为和两种情况，结合直线的图象列不等式组即可求解. 【详解】①可化为，令，解得， 所以直线过定点，故①正确； ②若，则，解得， 当时，：，：，两直线重合，舍去； 当时，：，：，两直线平行，符合题意. 所以，故②错误； ③选项：若，则，解得或者，故③正确； ④：当时，直线：不过第三象限，满足题意； 当时，直线：不过第三象限， 则，解得，综上，故④错误． 三、解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【小问1详解】 由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为； 【小问2详解】 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即． 18. 如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由几何体结构结合向量运算法则直接进行运算即可； （2）先由题设以及用向量，，表示向量和，再由向量运算法则即可求解. 【小问1详解】 由题可得向量； 【小问2详解】 由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 19. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． （3）求的面积． 【答案】（1） A(3,4) （2） x+5y-9=0 （3） 7 【解析】 【分析】（1）根据题意得到交点所在的两条直线，联立方程即可； （2）根据题意列出有关条件的式子，进行求解； （3）根据三角形面积公式，先求出有关量，代入公式即可. 【小问1详解】 因为为边上的高，，所以， 过，得方程为，即， 联立方程，解得，故. 【小问2详解】 设，则中点， 由题意在上，在上，得，解得，即， 则， 由点斜式得直线方程为，整理得. 【小问3详解】 ， 点到直线的距离， 所以. 20. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）因为平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 因为是中点，所以， 因为是中点，所以，即， 因为，所以， 设， 因为，所以， 解得， 向量， 平面的法向量为， 因为， 所以，即平面， 又平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面和建立空间直角坐标系，由是中点，利用中点坐标公式求出的坐标，由是中点求出的坐标，由利用向量坐标公式求出的坐标，求出和平面的法向量为，利用向量的数量积求得，从而得到平面. （2）求出平面的法向量，设平面和平面的夹角为，利用向量的数量积求出. （3）点到的距离为点的坐标，求出，点到平面的距离就是的坐标，通过计算求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 设平面的法向量， ， 令，则 ，，， 平面法向量， 设平面和平面的夹角为， 则. 【小问3详解】 ，，，， ，， 点到的距离为点的坐标， 则， 点到平面的距离就是的坐标，即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津大学附属中学2026-2027学年度第一学期 高二数学 9月考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若共面，则等于（ ） A. -9 B. 9 C. -5 D. 5 6. 若点到直线的距离是，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 9. 点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（ ） A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 10. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角__________ 12. 已知向量，，，则____________． 13. 若直线与直线间的距离为1，则__________. 14. 已知，，则在上的投影向量为________． 15. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为____________________． 16. 已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 三、解答题：本题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的方程． 18. 如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求直线的方程． （3）求的面积． 20. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $