浙教版八上期中压轴题汇总02：一元一次不等式（8大题型）数学新教材浙教版八年级上册

期中压轴题汇总02：一元一次不等式（8大题型） 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、不等式性质的应用 题型2、解不等式组的应用 题型3、由不等式的解集求字母参数范围 题型4、由不等式组的解集求字母参数范围 题型5、方程与不等式的综合问题 题型6、不等式（组）与方程的综合 题型7、不等式与几何的综合问题 题型8、不等式的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 不等式专题涵盖不等式性质应用、不等式（组）求解与含参问题、方程与不等式综合、几何与不等式综合以及实际应用。解题核心在于深刻理解不等式性质（特别是不等号方向的改变条件），熟练运用“数形结合”思想在数轴上表示解集或分析参数范围，并掌握方程与不等式相互转化的桥梁作用。关键方法包括：解不等式（组）严格遵循步骤，注意乘除负数变号；利用数轴法直观求解字母参数范围；在应用题中通过“找关键词”（如不大于、至少）构建不等式模型。解题时要做到计算严谨、数形对照、分类讨论清晰。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、不等式性质的应用 题型模版 题型特征： 给出两个实数或代数式的大小关系，经过运算（如加减、乘除）后判断新代数式的大小关系；或给出运算后的结果，反向推断原参数符号。常涉及不等号方向的改变。 解题方法： 严格依据不等式的基本性质。加减任何数不等号方向不变；乘除正数方向不变，乘除负数方向必须改变；乘除0无意义。利用作差法或举特值法辅助判断，注意对参数的正负零情况进行分类讨论。 题型 2、解不等式组的应用（解不等式、不等式组的拓展，流程图，自定义问题等） 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则（） A． B． C． D． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则a的取值范围是________． 典例2已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，则是正数；⑤若，且，则，其中正确的说法有　　个． A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 题型2、解不等式组的应用 题型模版 题型特征： 求解一元一次不等式或不等式组，并结合数轴表示解集。拓展题型包括阅读新定义运算（如流程图）、自定义不等式结构，要求按给定规则求解。 解题方法： 遵循“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的标准步骤。解不等式组需分别求出各不等式的解，利用数轴寻找公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小题无解）。新定义题按规则“翻译”成常规不等式求解。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 变式1-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作． (1)如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围． (2)如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 典例2（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 变式2-2（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 典例3（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”，其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”． 解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为______； (2)若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为______， (3)点A表示的数为，点C，D表示的数分别是，0，点为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段上一点（点B可以与点C与点D重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则可取得整数有______； ②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动，设移动的时间为秒，求的所有整数值，使得点可以为点A与点B的“亚运@未来点”．    变式3-1（24-25八年级上·浙江宁波·期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，…，；，，，…，，则，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立． (1)请你写出并证明柯西不等式的二元形式（即取2）； (2)设是边长为1的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值； (3)已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值． 题型3、由不等式的解集求字母参数范围 题型模版 题型特征： 已知含参不等式的解集（如  ），反向求参数（如  ）的值或范围。常结合数轴进行考查。 解题方法： 先解出含参不等式的通解（如  ），利用数轴法将通解与已知解集重合，建立关于参数的方程。特别注意：若参数可能改变不等号方向，需分类讨论参数正负；若解集端点为实心点，注意等号能否取到。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为_______________． 题型4、由不等式组的解集求字母参数范围 题型模版 题型特征： 已知不等式组的解集情况（如有解、无解、整数解个数、解集区间），求其中参数范围。是浙江中考的高频考点。 解题方法： 先解出含参不等式组中不含参数的部分。利用数轴法，画出已知解的范围和含参解的范围，观察端点位置关系。根据“有解”、“无解”或“特定整数解”的条件列出参数的不等式（组）。端点重合时需代回原式检验等号是否成立。 典例1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 变式1-1（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 典例2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 变式2-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 题型5、方程与不等式的综合问题 题型模版 题型特征： 将方程的解或根的判别条件转化为不等式。例如，已知方程有正根、非负根，或方程的两根满足大小关系，求参数范围。 解题方法： 先解方程用含参代数式表示方程的根，再根据题意（如“根为非负数”即  ）建立关于参数的不等式。若涉及二次方程根的判别式，需结合  和根的范围综合求解。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·期中）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 变式1-1（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为______． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为___________． 题型6、不等式组与方程的综合 题型模版 题型特征： 方程的解（或解集中的整数解）是不等式（组）解集的一部分；或者方程本身作为不等式组的一个条件出现。 解题方法： 采用“分步转化”策略。先解出方程或不等式组，求出明确的解集。再根据“方程的解满足不等式”或“不等式的解集包含方程的解”构建新不等式。注意数形结合确定交集范围。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组． (1)若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； (2)若，求y的取值范围． 典例2（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-1（25-26八年级上·浙江·期中）若方程组的解为，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 变式2-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 题型7、不等式与几何的综合问题 题型模版 题型特征： 在几何图形（如三角形、四边形）中，利用边长、周长、面积等几何量的正数性质或几何不等关系（如三角形三边关系）构建不等式。 解题方法： 利用几何定理列出代数式。如三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）、面积为正等。将几何约束转化为代数不等式（组）求解，注意解的合理性（如边长不能为负）。 典例1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是________． 变式1-2（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) _____．    变式1-3（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    题型8、不等式的实际应用问题 题型模版 题型特征： 生活应用题，如购买方案、运输调配、利润最大化、人数分配等。题目中常含“不超过”、“至少”、“最多”等限定词。 解题方法： 审题建模：找出表示不等关系的关键词列出不等式（组）。整数解应用：求出解集后，结合实际问题背景（如人数、件数必须是整数），找出符合题意的特殊解（整数解）。方案设计：通常设未知数，利用不等式求出范围，再根据方案数进行分类讨论。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 变式1-1（25-26八年级上·浙江·期中）某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事． 素材一 如何设计志愿者招募方案？ 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次 专业志愿者/名 本地志愿者/名 总费用/元 第一场次 3 10 690 第二场次 4 5 545 素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展， 专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元． 问题解决 任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资； 任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案． 典例2（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． (1)提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 变式2-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 典例3（25-26七年级下·浙江舟山·期中）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 (1)请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． (2)若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ (3)按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 变式3-2（21-22七年级下·浙江温州·期中）三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100元． (1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？ (2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表． Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） 甲店 15 20 乙店 12 16 设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑． ①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？ ②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 　　箱水果．（直接写出答案） 变式3-2（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．    素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·浙江·期中）我们规定：的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则__________，若，则的取值范围为__________； (2)若=，，求实数的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 4．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是____________（填写序号即可） 5．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为_________． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 车型 车辆数辆 载客量人 租金元 型客车 型客车 11．（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 试卷第58页（共59页） 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题汇总02：一元一次不等式（8大题型） 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、不等式性质的应用 题型2、解不等式组的应用 题型3、由不等式的解集求字母参数范围 题型4、由不等式组的解集求字母参数范围 题型5、方程与不等式的综合问题 题型6、不等式（组）与方程的综合 题型7、不等式与几何的综合问题 题型8、不等式的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 不等式专题涵盖不等式性质应用、不等式（组）求解与含参问题、方程与不等式综合、几何与不等式综合以及实际应用。解题核心在于深刻理解不等式性质（特别是不等号方向的改变条件），熟练运用“数形结合”思想在数轴上表示解集或分析参数范围，并掌握方程与不等式相互转化的桥梁作用。关键方法包括：解不等式（组）严格遵循步骤，注意乘除负数变号；利用数轴法直观求解字母参数范围；在应用题中通过“找关键词”（如不大于、至少）构建不等式模型。解题时要做到计算严谨、数形对照、分类讨论清晰。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、不等式性质的应用 题型模版 题型特征： 给出两个实数或代数式的大小关系，经过运算（如加减、乘除）后判断新代数式的大小关系；或给出运算后的结果，反向推断原参数符号。常涉及不等号方向的改变。 解题方法： 严格依据不等式的基本性质。加减任何数不等号方向不变；乘除正数方向不变，乘除负数方向必须改变；乘除0无意义。利用作差法或举特值法辅助判断，注意对参数的正负零情况进行分类讨论。 题型 2、解不等式组的应用（解不等式、不等式组的拓展，流程图，自定义问题等） 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式性质判断：①两边加相同数，不等号方向不变；②两边乘负数，不等号方向改变；③中可能为零，导致不等式不成立；④分母恒为正，除以正数不等号方向不变．进一步可得答案． 【详解】解：∵， ① 两边加2，不等号方向不变， ∴，正确． ② 两边乘（负数），不等号方向改变， ∴，正确． ③ 当时，，则；但时，，则， 不等式不成立， ∴ 不一定正确． ④ ∵ ，两边除以正数，不等号方向不变， ∴，正确． ∴ 正确的有①、②、④，共3个． 故选：B 变式1-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质3，是解题的关键．由已知条件和推导出，即．将不等式两边除以负数b，不等式方向反转，直接得到． 【详解】∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质可得，求解即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 典例2已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，则是正数；⑤若，且，则，其中正确的说法有　　个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①除0外，互为相反数的商为，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断； ④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断； ⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断． 【详解】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确； ②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确； ③，即， ，即，本选项错误； ④若， 当，时，可得，即，，所以为正数； 当，时，，，所以为正数； 当，时，，，所以为正数； 当，时，，，所以为正数， 本选项正确； ⑤， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确； 则其中正确的有4个，是①②④⑤． 故选：． 【点睛】本题考查了相反数，不等式的性质，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 变式2-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)例如：，，，，，得到． (2) 证明：∵， ∴，， ∴． 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型2、解不等式组的应用 题型模版 题型特征： 求解一元一次不等式或不等式组，并结合数轴表示解集。拓展题型包括阅读新定义运算（如流程图）、自定义不等式结构，要求按给定规则求解。 解题方法： 遵循“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的标准步骤。解不等式组需分别求出各不等式的解，利用数轴寻找公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小题无解）。新定义题按规则“翻译”成常规不等式求解。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数的个数． 【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果， ∴第一次运行结果，第二次运行结果， 即， 解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为， 则符合条件的整数为、、、、，共个， 故选：B． 变式1-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作． (1)如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围． (2)如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了流程图与不等式，理解流程图的计算规定是解题关键． （1）由操作流程可得，如果程序操作恰好执行一次就停止了，则，再求出的取值范围即可． （2）由题意可知，第一次程序操作可得，进而第二次程序操作可得，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：输入，由操作流程可得， 如果程序操作恰好执行一次就停止了，则， 解得：； （2）解：输入， 则第一次程序操作可得，解得， 进而第二次程序操作可得，解得：， 输入的的取值范围是． 典例2（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 变式2-2（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 典例3（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”，其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”． 解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为______； (2)若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为______， (3)点A表示的数为，点C，D表示的数分别是，0，点为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段上一点（点B可以与点C与点D重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则可取得整数有______； ②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动，设移动的时间为秒，求的所有整数值，使得点可以为点A与点B的“亚运@未来点”． 【答案】(1)或 (2)或 (3)①；② 【分析】（1）设点表示的数为，则，根据新定义得，得到方程求解即可； （2）设点表示的数为，则点表示的数为，依题意，得， 再求解即可； （3）设点表示的数为，①若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则，根据新定义列不等式求解即可；②点表示的数为点表示的数为根据新定义列不等式组组求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为，则， 当时，， 或， 解得：或，点M表示的数为或， 故答案为：或； （2）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 依题意，得， 或， 解得：或，即点A表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：设点表示的数为，    ①若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则 ， ， ， 解得：， 则可取得整数有， 故答案为：； ②点表示的数为点表示的数为 若点可以为点A与点B的“亚运@未来点”， ，， ， 解得：， 故的所有整数值为． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的意义，解一元一次不等式组等知识，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 变式3-1（24-25八年级上·浙江宁波·期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，…，；，，，…，，则，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立． (1)请你写出并证明柯西不等式的二元形式（即取2）； (2)设是边长为1的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值； (3)已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值． 【答案】(1) ， 证明：∵， ∴， ∴， 则 ， 故有成立； (2) (3)2 【分析】本题以柯西不等式为背景考查完全平方公式和不等式的性质， 根据题意即可得，结合，得到，即有； 根据题意得，结合柯西不等式和三角形面积得即可； 根据题意得，则，可得，结合完全平方公式有，则，整理化简得，即可求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵边长为1的正三角形 ∴三角形的高为， 则， 根据柯西不等式得 ， 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴，解得， 故的最大值为2． 题型3、由不等式的解集求字母参数范围 题型模版 题型特征： 已知含参不等式的解集（如  ），反向求参数（如  ）的值或范围。常结合数轴进行考查。 解题方法： 先解出含参不等式的通解（如  ），利用数轴法将通解与已知解集重合，建立关于参数的方程。特别注意：若参数可能改变不等号方向，需分类讨论参数正负；若解集端点为实心点，注意等号能否取到。 典例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 变式1-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为_______________． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 题型4、由不等式组的解集求字母参数范围 题型模版 题型特征： 已知不等式组的解集情况（如有解、无解、整数解个数、解集区间），求其中参数范围。是浙江中考的高频考点。 解题方法： 先解出含参不等式组中不含参数的部分。利用数轴法，画出已知解的范围和含参解的范围，观察端点位置关系。根据“有解”、“无解”或“特定整数解”的条件列出参数的不等式（组）。端点重合时需代回原式检验等号是否成立。 典例1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 变式1-1（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，准确的计算是解决本题的关键． 首先解每个不等式，得到不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得， 解得， 解不等式得， 解得， ∵整数解有且只有2个， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴整数解为和0， ∴， ∴， ∴， 故m的取值范围是， 故选B． 变式1-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求解不等式组，根据一元一次不等式的整数解求参数的取值范围，掌握知识点是解题的关键． 先求解不等式组，得到解集为．由于恰好有4个整数解，且，整数解必为0，1，2，3．为确保恰好4个整数解，需满足在解集中而不在解集中，从而推导出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， 展开得， 移项得， 两边乘得． ∴不等式组的解集为． ∵解集恰好有4个整数解，且， ∴整数解为0，1，2，3． 为确保在解集中，需，即； 为确保不在解集中，需． ∴的取值范围为． 故选C． 典例2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或； 故答案为或． 变式2-1（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 题型5、方程与不等式的综合问题 题型模版 题型特征： 将方程的解或根的判别条件转化为不等式。例如，已知方程有正根、非负根，或方程的两根满足大小关系，求参数范围。 解题方法： 先解方程用含参代数式表示方程的根，再根据题意（如“根为非负数”即  ）建立关于参数的不等式。若涉及二次方程根的判别式，需结合  和根的范围综合求解。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·期中）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据方程和方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，先解一元一次方程得到，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出，则可得到，解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解： 去括号得， 解得， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a有，共5个， 故选：B． 变式1-1（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为___________． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 【详解】解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 题型6、不等式组与方程的综合 题型模版 题型特征： 方程的解（或解集中的整数解）是不等式（组）解集的一部分；或者方程本身作为不等式组的一个条件出现。 解题方法： 采用“分步转化”策略。先解出方程或不等式组，求出明确的解集。再根据“方程的解满足不等式”或“不等式的解集包含方程的解”构建新不等式。注意数形结合确定交集范围。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非负数可以列出不等式组，从而求出m的范围． （2）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出的范围，结合（1）中的范围，即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵为负数，为非负数， ， 解得：． （2）解：解不等式得， ， ， ， ， ∴． 变式1-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组． (1)若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； (2)若，求y的取值范围． 【答案】(1)，a的最小整数解为 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键； （1）解方程组得，然后由题意易得，进而求解即可； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴，解得：， ∴a的最小整数解为； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即． 典例2（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 变式2-1（25-26八年级上·浙江·期中）若方程组的解为，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式综合．将方程组两方程相加，得到的表达式，再根据求解的取值范围． 【详解】解：， ∵ （1）+（2）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变式2-2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 变式2-3（25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 题型7、不等式与几何的综合问题 题型模版 题型特征： 在几何图形（如三角形、四边形）中，利用边长、周长、面积等几何量的正数性质或几何不等关系（如三角形三边关系）构建不等式。 解题方法： 利用几何定理列出代数式。如三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）、面积为正等。将几何约束转化为代数不等式（组）求解，注意解的合理性（如边长不能为负）。 典例1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是________． 【答案】21或22 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及三角形的三边关系，根据三角形三边关系得到，解不等式得到，则，x为正整数，故或10，代入求周长． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，x，10， ∴，即 解不等式， 去分母得， 整理得． 所以． ∵x为正整数， ∴或10． 当时，周长为； 当时，周长为． 故答案为：21或22． 变式1-2（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) _____．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求不等式的整数解；根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴°，，的度数，，…， ∴， 解得． 当时，n<． 由于为整数，故． ∵n<． ∴ 故答案为：；． 变式1-3（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 题型8、不等式的实际应用问题 题型模版 题型特征： 生活应用题，如购买方案、运输调配、利润最大化、人数分配等。题目中常含“不超过”、“至少”、“最多”等限定词。 解题方法： 审题建模：找出表示不等关系的关键词列出不等式（组）。整数解应用：求出解集后，结合实际问题背景（如人数、件数必须是整数），找出符合题意的特殊解（整数解）。方案设计：通常设未知数，利用不等式求出范围，再根据方案数进行分类讨论。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 【答案】任务一：地上充电桩需要万元，地下充电桩需要万元 任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元”列二元一次方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过”列一元一次不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【详解】任务一：解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得， 解得， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 万元和万元； 任务二：解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴整数的值为，， 方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 变式1-1（25-26八年级上·浙江·期中）某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元 (2)有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进羽毛球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元： ， ， 答：羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元； （2）解：设购进羽毛球拍的数量为副， 则， ，为正整数， 可取36，37，38，39，40， 共有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 变式1-2（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事． 素材一 如何设计志愿者招募方案？ 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次 专业志愿者/名 本地志愿者/名 总费用/元 第一场次 3 10 690 第二场次 4 5 545 素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展， 专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元． 问题解决 任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资； 任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案． 【答案】任务一：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元；任务二：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名；方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设专业志愿者每场薪资为元，本地志愿者每场薪资为元，列方程组并求解即可； （2）设招募专业志愿者名，则本地志愿者为名（为正整数），列不等式并求解即可． 【详解】解：任务一：确定志愿者薪资 设专业志愿者每场薪资为元，本地志愿者每场薪资为元，可列方程组： ，解得：， 答：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元． 任务二：探究志愿者数量 解：设招募专业志愿者名，则本地志愿者为名（为正整数），可列不等式： ，解得， 因为为正整数，且，所以为，或，于是，或． 答：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名；方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名． 典例2（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． (1)提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 【答案】(1)提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元 (2)购买方案有：提示牌50个、垃圾箱50个；提示牌51个、垃圾箱49个；提示牌52个、垃圾箱48个；提示牌53个、垃圾箱47个；其中提示牌53个、垃圾箱47个所需资金最少，最少是9700元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）与一元一次不等式组的实际应用，灵活根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． （1）通过设未知数，根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，垃圾箱单价是提示牌的3倍”这两个条件，建立二元一次方程组，考查了二元一次方程组的列法与解法． （2）通过设购买垃圾箱的数量，结合“至少需要安放47个垃圾箱”“购买提示牌和垃圾箱共100个”“费用不超过10000元”这些条件，建立一元一次不等式组，求出取值范围后列举购买方案，并通过计算费用比较得出最省钱的方案，考查了一元一次不等式组的列法、解法以及方案选择与费用优化问题． 【详解】（1）解：提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为y元，根据题意得， 解得 检验，方程组的解符合题意． ∴提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元． （2）解：设购买垃圾箱x个，则购买提示牌个． 根据题意得：      解得：． ∵x整数， ∴． 方案1：购买垃圾箱47个，提示牌个 方案2：购买垃圾箱48个，提示牌个； 方案3：购买垃圾箱49个，提示牌个； 方案4：购买垃圾箱50个，提示牌个． 设总费用为y元，则费用公式为： 方案1：，元； 方案2：，元； 方案3：，元； 方案4：，元． 综上所述，所有购买方案为上述4种，购买47个垃圾箱和53个提示牌时所需资金最少，最少是9700元． 变式2-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 典例3（25-26七年级下·浙江舟山·期中）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 (1)请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． (2)若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ (3)按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是100元，跳绳的单价是20元 (2)1240元 (3)购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条 【分析】（1）设足球的单价是元，跳绳的单价是元，根据题意列出方程组即可求解； （2）按优惠方式计算即可求解； （3）设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元，根据条件可得，由优惠方式可得，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得， 解得． 答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元． （2）解：（元）． 答：优惠后实际只需支付1240元． （3）解：设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元， 由题意得，，， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条． 变式3-2（21-22七年级下·浙江温州·期中）三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100元． (1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？ (2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表． Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） 甲店 15 20 乙店 12 16 设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑． ①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？ ②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 　　箱水果．（直接写出答案） 【答案】(1)Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱； (2)①292；②53或52． 【分析】（1）设Ⅰ级瓯柑买了箱，Ⅱ级瓯柑买了箱，利用总价单价数量，结合“李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，且共花费了3100元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，再将其代入中即可求出结论； ②利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，结合，，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可求出，的值，将其相加即可求出结论． 【详解】（1）解：设Ⅰ级瓯柑买了箱，Ⅱ级瓯柑买了箱， 依题意得：， 解得：． 答：Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱． （2）解：①依题意得：， ， ． 答：她在乙店获利292元． ②依题意得：， ． ，， 即， ． 又，均为整数， 或， 或， 分配给甲店共53或52箱水果． 故答案为：53或52． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 变式3-2（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．    素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 【答案】任务1：A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；任务2：四种；任务3：6杯 【分析】任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，列出二元一次方程，可得，根据m，n均为正整数，即可求解； 任务3：设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料为b杯，则B的加料为杯，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，可得总花费为：，即可得，根据，可得，问题随之得解． 【详解】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元， 由题可知：， 解得：， 即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯， 则， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴解得：，，，， 即有共有四种方案； 任务3：买了6杯 设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯， ∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元， ∴总花费为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b是整数， ∴，， ∴（杯）． 【点睛】本题主要考查了二元次一方程组的应用，以及根据题意解二元一次方程等知识，问题的难点是任务三，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，列出总花费为：，是解答本题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·浙江·期中）我们规定：的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则__________，若，则的取值范围为__________； (2)若=，，求实数的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2) 【分析】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组． （1）根据运算法则列方程及不等式，再解一元一次方程和解一元一次不等式，即可； （2）根据运算法则，得到，解得：，根据，得，从而确定的取值范围． 【详解】（1） 解：∵， ∴， 解得； ∵， ∴, 解得， 故答案为：0.25，； （2） 解：∵=， ∴，解得：， ， ， 解得：． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是____________（填写序号即可） 【答案】①③ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组． 根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当时，，即不等式组无解， ∴②错误， ∵若不等式组有解，即，则， ∴③正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， ∴④错误， 故答案为：①③． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【详解】（1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先解不等式组，得到解集为 ，该解集恰有3个整数解，即整数解为 ，因此， 必须大于 1（以确保 被包含），且小于或等于 2（以确保 不被包含）． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 由于解集恰有3个整数解，即整数解为， 因此需满足 ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的应用，将两个方程相加，得到关于的表达式，再根据解不等式即可，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1) 填表如下： 车型 车辆数辆 载客量人 租金元 型客车 型客车 (2)至少租型客车5辆 (3)有两个方案，分别为：方案一：A车5辆B车9辆；方案二：A车6辆B车8辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给信息可以填表得解； （2）依据题意，由总载客量需满足师生总数698人，则，结合为车辆数（整数），从而可以判断得解； （3）依据题意，由总租金元，则，故；又结合（2）中，，且为整数，可得或6，进而可以判断得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，总载客量需满足师生总数698人， ． ． ． 为车辆数（整数）， 最小取5． 至少需租用型客车5辆． （3）解：由题意，总租金元， ． ． 又结合（2）中，，且为整数， 或6． 共有2种租车方案：租用型客车5辆，型客车辆；租用型客车6辆，型客车辆． 11．（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 【答案】探究一：（1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）最多能做6个礼品盒； 探究二：最多能做32个礼品盒； 探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）略 （2）根据题意可得， 即， 解得： ， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为32， 即最多能做32个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 【答案】(1)小筐每筐75元，大筐每筐100元。 (2)购买方案有两种：①小筐12筐，大筐4筐，费用1300元；②小筐11筐，大筐5筐，费用1325元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确找出各小问中的数量关系是解答本题的关键． （1）设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据“何老师买了1筐小筐和2筐大筐杨梅共花费275元；郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅，两位老师共花费450元”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据“小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍”列不等式组求解，再确定购买方案． 【详解】（1）解：设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据题意得， ， 解得， 答：所以小筐每筐75元，大筐每筐100元； （2）解：设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据题意得， ， 解得， ∵是正整数， ∴或12， 当时，； 当时，； 购买方案①：小筐12筐，大筐4筐，费用（元）； 方案②：小筐11筐，大筐5筐，费用（元）． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； (2)满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件．根据“3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程，求解即可； （2）设增加m辆无人车，则增加名投递员．根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件． 由题意得， 整理得， 解得， ， 答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； （2）解：设增加m辆无人车，则增加名投递员(m为正整数，n为正整数)． 新增投递量需满足：， 解得， ∵m为正整数，n为正整数， ∴，或，， 答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 15．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 试卷第58页（共59页） 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $