精品解析：陕西榆林市府谷县府谷中学2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试卷

2026年秋季学期高一年级第一次学情调研 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：必修第一册第一章~第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系即可判断. 【详解】由元素与集合的关系可知，故A，B错误，C正确； 由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，按照该规则进行否定即可. 【详解】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定， 所以命题“，”的否定是“，”. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的运算法则即可得出结果. 【详解】由补集的定义可知，， 故选：A． 4. 已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形可得，阴影部分表示的集合为，求出即可. 【详解】根据图形可得，阴影部分表示的集合为， ， . 故选：B. 5. 不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【详解】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求最小值． 【详解】， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8. 故选：C． 7. 已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，据此求出的值及集合，易得集合的真子集个数为. 【详解】. 当时，； 当时，； 当时，； ，所以集合的真子集个数是： 故选：D 8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 10. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将所有集合统一分母，通过分子奇偶区分元素类型，快速判断集合交、并、包含关系，子集判断题优先取特殊值验证，快速排除错误选项，提升解题效率. 【详解】A选项，，所以的元素都不是整数，而的元素都是整数，所以，A正确； B选项，举反例，取中元素，若，不是整数，说明，故不是子集，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项， ， ， 故，D正确. 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 比较大小：__________填”或“ 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以比较两分母的大小即可 【详解】因为，且， 所以 所以 故答案： 13. 已知，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故答案为： 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求，的值； （2）若，且，求，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案； （2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解. 【小问1详解】 解：若， 则有，解得； 【小问2详解】 解：， 因为， 所以，解得. 16. 已知全集，集合，． （1）求和； （2）求和． 【答案】（1），或； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用集合的补集运算即可求解； （2）利用集合的交并补集运算即可求解. 【小问1详解】 因为全集，集合， 所以，或； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，所以． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵ ，∴. 又 ， ∴ ，. 【小问2详解】 ∵ “”是“”成立的充分不必要条件， ∴ . 当时，满足，此时，解得. 当时，若满足，则需， 解得. 综上，实数的取值范围为. 18. （1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件； （2）由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件. 【详解】（1）∵，且， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为； （2）∵，则， ∴， 当且仅当即时等号成立. ∴的最大值. 19. 如图，在等腰梯形ABCD中，记AC交BD于点O，，且，设． （1）用x表示AO，并求出x的取值范围； （2）求面积的最大值及此时x的值． 【答案】（1）， 的取值范围是 ； （2） 面积的最大值为 ，此时 ． 【解析】 【分析】（1）设，借助平行及对称可得，再利用勾股定理即可求出. （2）由（1）求出面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在等腰梯形ABCD中，，可得，所以， 设，则， 由，得，，在中，由勾股定理得，解得， 则， 由，即，解得， 即x的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）得：， 当且仅当即时取等号， 所以的最大面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高一年级第一次学情调研 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：必修第一册第一章~第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7 8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 比较大小：__________填”或“ 13. 已知，则的取值范围为__________． 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求，的值； （2）若，且，求，的值. 16. 已知全集，集合，． （1）求和； （2）求和． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. （1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 19. 如图，在等腰梯形ABCD中，记AC交BD于点O，，且，设． （1）用x表示AO，并求出x的取值范围； （2）求面积的最大值及此时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $