15.3.2.1等边三角形的性质与判定 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册
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内容正文：
# 人教版八年级上册数学 \(\boldsymbol{15}\).\(\boldsymbol{3}\).2.1 等边三角形的性质与判定 专项练习题（约1400字）
## 知识要点
**定义**：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)等边三角形是特殊的等腰三角形。
### 性质
1. 等边三角形三边相等；
2. 等边三角形三个内角都相等\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)并且每一个内角都等于$\boldsymbol{60^\circ}$；
\(\boldsymbol{3}\). 等边三角形是轴对称图形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)有**\(\boldsymbol{3}\)条对称轴**\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)每条对称轴都是各边上的高（中线\(AB\(D、E\)AC\)顶角平分线）所在直线；
4. 满足等腰三角形“三线合一”\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)每一条边上都同时具备三线合一。
### 判定
1. 三边都相等的三角形是等边三角形；
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
\(\boldsymbol{3}\). 有一个角是$60^\circ$的**等腰三角形**是等边三角形。
>区分：等边一定是等腰\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)但等腰不一定是等边。
符号语言：
判定\(\boldsymbol{3}\)：∵$\(AB=AC\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\angle A=60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\triangle ABC$是等边三角形。
⚠️易错提醒：判定第三条前提必须是**等腰三角形**\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)再加上一个$60^\circ$角\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)才可以判定等边。
## 一\(AB\(D、E\)AC\)基础巩固（选择题\(AB\(D、E\)AC\)填空题）
1. 等边三角形的每一个内角的度数是（）
A.$\(\boldsymbol{3}\)0^\circ$ B.$45^\circ$ C.$60^\circ$ D.$90^\circ$
2. 下列三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)不一定是等边三角形的是（）
A.三个内角相等的三角形
B.有一个角是$60^\circ$的等腰三角形
C.三边相等的三角形
D.有两个角是$60^\circ$的三角形
\(\boldsymbol{3}\). 等边三角形对称轴的条数是______条。
4. 判断：有一个角为$60^\circ$的三角形是等边三角形。______（填对或错）
5. 若等边$\triangle ABC$的边长为$5$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)则$\triangle ABC$的周长为____。
## 二\(AB\(D、E\)AC\)中档解答题
6. 已知$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)求$\angle A\(AB\(D、E\)AC\)\angle B\(AB\(D、E\)AC\)\angle C$的度数。
7. 如图\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\triangle ABC$为等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)点$D$在$BC$边上。求证：$\angle B=\angle C=60^\circ$。
8. 在$\triangle ABC$中\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\(AB=AC\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\angle B=60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)求证：$\triangle ABC$是等边三角形。
9. 如图\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$AD$是$BC$边上的中线。求$\angle BAD$的度数。
10. 已知：在$\triangle ABC$中\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\angle A=\angle B=\angle C$。求证：$\(AB=\(BC=AC\)\)$。
## 三\(AB\(D、E\)AC\)拓展提升（证明\(AB\(D、E\)AC\)辨析题）
11. 辨析题：“等腰三角形有一个内角是$60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)这个三角形一定是等边三角形。”这句话是否正确？说明理由。
12. 如图\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$DE\parallel BC$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)分别交$AB\(AB\(D、E\)AC\)AC$于$D\(AB\(D、E\)AC\)E$。求证：$\triangle ADE$是等边三角形。
1\(\boldsymbol{3}\). 已知$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)点$E$在$AC$上\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)点$D$在$BC$延长线上\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)且$\(CE=CD\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)求$\angle D$的度数。
14. 如图\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\triangle ABC$为等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\(BD=CE\)$。求证：$\triangle ABD\(\triangle ABD\(\triangle ABD\(\triangle ADF\(\triangle BED≌\triangle CFE\)\triangle BED(\text{SAS})\)\triangle BCE(\text{SAS})\)\triangle BCE\)\triangle BCE$。
\(\boldsymbol{15}\). 如图\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)分别延长三边\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)使得$\(AD=BE=CF\)$。求证：$\triangle DEF$是等边三角形。
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# 参考答案与解析
1. **C**
解析：等边三角形三个内角相等\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)内角和180°\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$180^\circ\div\(\boldsymbol{3}\)=60^\circ$。
2. **B错误更正：本题选无错\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)解析：A\(AB\(D、E\)AC\)C是定义；两个角60°则第三个角也60°\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)D可判定等边；B有一个角60°的等腰三角形一定等边。**
更正题目解析：选项全部都可以判定等边。
> 修改说明：本题全部选项均可判定等边。
\(\boldsymbol{3}\). $\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$
4. **错**
解析：缺少前提\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)必须是**等腰三角形**\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)仅仅一个角60°不能判定等边。
5. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{15}\)}$
解析：周长$=5+5+5=\(\boldsymbol{15}\)$
6. **解**
∵$\triangle ABC$是等边三角形
∴$\(AB=\(BC=AC\)\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\angle A=\angle B=\angle C$
又∵$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$
∴$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$。
7. **证明**
∵$\triangle ABC$是等边三角形
∴$\angle B=\angle C=60^\circ$（等边三角形三个内角都等于$60^\circ$）
8. **证明**
∵$\(AB=AC\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\angle B=\angle C=60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)
∴$\angle A=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$
∴$\angle A=\angle B=\angle C$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)
∴$\triangle ABC$是等边三角形。
9. **解**
∵$\triangle ABC$等边\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\(AB=AC\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\angle BAC=60^\circ$
$AD$是$BC$中线\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)等边三角形三线合一\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$AD$平分$\angle BAC$
$\angle BAD=\dfrac12\angle BAC=\(\boldsymbol{3}\)0^\circ$。
10. **证明**
∵$\angle A=\angle B$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\(BC=AC\)$（等角对等边）
∵$\angle B=\angle C$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\(AB=AC\)$（等角对等边）
∴$\(AB=\(BC=AC\)\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\triangle ABC$是等边三角形。
11. **解：正确**
理由：等腰三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)有一个角为60°。
①若顶角是$60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)两个底角和$120^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)两底角相等\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)各$60^\circ$；
②若底角是$60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)顶角$=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$；
三个角都是$60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)所以一定是等边三角形。
12. **证明**
∵$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$
∵$DE\parallel BC$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\angle ADE=\angle B=60^\circ\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ$
∴$\angle A=\angle ADE=\angle AED=60^\circ$
∴$\triangle ADE$是等边三角形。
1\(\boldsymbol{3}\). **解**
∵$\triangle ABC$等边\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\angle ACB=60^\circ$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\angle ECD=180^\circ-60^\circ=120^\circ$
∵$\(CE=CD\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\triangle CDE$等腰\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)
$\angle D=(180^\circ-120^\circ)\div2=\(\boldsymbol{3}\)0^\circ$。
答：$\angle D=\(\boldsymbol{3}\)0^\circ$。
14. **证明**
∵$\triangle ABC$是等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)
∴$\(AB=BC\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)$\angle ABC=\angle C=60^\circ$
在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中
$\begin{cases}
\(AB=BC\)\\
\angle ABC=\angle C\\
\(BD=CE\)
\end{cases}$
∴$\triangle ABD\(\triangle ABD\(\triangle ABD\(\triangle ADF\(\triangle BED≌\triangle CFE\)\triangle BED(\text{SAS})\)\triangle BCE(\text{SAS})\)\triangle BCE\)\triangle BCE(\text{SAS})$。
\(\boldsymbol{15}\). **证明**
∵$\triangle ABC$等边\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\(AB=\(BC=AC\)\)\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$
∴$\angle DAF=\angle EBD=\angle FCE=120^\circ$
∵$\(AD=BE=CF\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\(AD+AB=BE+BC=CF+AC\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)即$AF=\(BD=CE\)$
在$\triangle ADF\(AB\(D、E\)AC\)\triangle BED\(AB\(D、E\)AC\)\triangle CFE$：
$\begin{cases}AD=BE\\\angle DAF=\angle EBD\\AF=BD\end{cases}$
∴$\triangle ADF\(\triangle ABD\(\triangle ABD\(\triangle ADF\(\triangle BED≌\triangle CFE\)\triangle BED(\text{SAS})\)\triangle BCE(\text{SAS})\)\triangle BCE\)\triangle BED(\text{SAS})$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)同理$\triangle BED\(\triangle ABD\(\triangle ABD\(\triangle ADF\(\triangle BED≌\triangle CFE\)\triangle BED(\text{SAS})\)\triangle BCE(\text{SAS})\)\triangle BCE\)\triangle CFE$
∴$\(DF=ED=FE\)$\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)∴$\triangle DEF$是等边三角形。
## 解题小结
口诀：**等边三边等\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)三角六十度；等腰加六十\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)等边可判定。**
核心考点：
1. 等边三角形兼具等腰三角形全部性质\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)三线合一；\(\boldsymbol{3}\)条对称轴；
2. 判定三条途径：三边等 / 三角等 / 等腰+60°角；
\(\boldsymbol{3}\). 平行线+等边三角形\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)得到新等边三角形模型。
易错点：
① 忽略判定定理“等腰”前提\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)只看到60°直接判定等边；
② 混淆等腰（1条对称轴）和等边（\(\boldsymbol{3}\)条对称轴）；
③ 外角计算\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)等边三角形外角是120°\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)计算角度容易出错。
全文约1\(\boldsymbol{3}\)98字。
需要我生成**空白无答案版**方便打印练习吗？
下一节：\(\boldsymbol{15}\).\(\boldsymbol{3}\).2.2 含\(\boldsymbol{3}\)0°角的直角三角形的性质\(\angle ADE=\angle B=60^\circ\(AB=BC=AC，\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\)\angle AED=\angle C=60^\circ\)继续出同规格练习题吗？
人教版（新教材）数学八年级上册
15.3.2.1等边三角形的性质与判定
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .
2026/10/20
学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。
第十五章 轴对称
1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力.
(重点)
2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识. (难点)
学习目标
你从中发现了哪个公共的几何图形？
它有什么特殊性？
情境导入
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
导入新课
图形
定义
性质
判定
两腰相等
三边相等
等边对等角
①两边相等
②等角对等边
轴对称图形，一条对称轴
？
新知探究
底边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”
新知探究
猜想：
性质:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
已知：是等边三角形.
求证：.
证明：∵是等边三角形，
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
探究一、性质
新知探究
等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于.
符号语言
∵是等边三角形，
∴
探究一、性质
新知探究
A
B
C
A
B
C
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
探究一、性质
新知探究
探究一、性质
1.如图，和都是等边三角形，已知的周长为，,则的周长是_______.
2.在等边中，平分，，则的度数是____.
3.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是_____.
新知探究
猜想：
判定:三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：在中，.
求证：是等边三角形.
证明：∵，，
∴，．
∴．
∴△ABC是等边三角形．
探究二、判定
新知探究
等边三角形的判定1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言
∵，
∴是等边三角形
探究二、判定
已知：在中，，.
求证：是等边三角形.
证明：∵，
∴．
∵， ，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
新知探究
探究二、判定
等边三角形的判定2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言
∵是等腰三角形，，
∴是等边三角形．
新知探究
探究二、判定
新知探究
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
探究二、判定
图形
定义
性质
判定
两腰相等
三边相等
等边对等角
①两边相等
②等角对等边
轴对称图形，一条对称轴
新知探究
轴对称图形，三条对称轴
每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”
三个角相等，分别为
①三边都相等
②三个角都相等
③有一个角是60°的等腰三角形
底边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”
典例分析
例1.如图，是等边三角形，平分，延长到，使得．求证：．
证明：∵是等边三角形，角平分线，
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴（等角对等边）．
典例分析
例2.如图，点，分别在等边三角形的，边上，且，交于点.
(1)求证：；
证明(1)：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
∴().
∴.
（第1题）
1.如图，是等边三角形，点在 边上，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
举一反三
18
2.如图，在等边三角形中，于点 ，
，则 的长为( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
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举一反三
19
（第3题）
3.［泰安中考］如图，直线 ，等边三角形
的两个顶点，分别落在直线， 上，若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
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举一反三
20
典例分析
例2.如图，点，分别在等边三角形的，边上，且，交于点.
(2)求的度数．
解(2)：∵，
∴.
∵，
∴
规律与方法：
等边三角形是个非常特殊的轴对称图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边、角的特点又为证明线段相等、角相等提供了便利，要善于挖掘等边三角形图形中的隐含条件
例3.如图，在等边三角形中，，求证：是等边三角形.
证明：∵是等边三角形，
∴
∵,
∴, .
∴.
∴是等边三角形.
典例分析
典例分析
例4.如图，在等边的三边上，分别取点，，，使，求证：为等边三角形．
证明：∵为等边三角形，
∴，
.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴为等边三角形.
4.如图，在等边三角形中，，是边的中线，点在
上，若 ，则 ___.
2
（第4题）
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24
5.［宜宾中考］如图，点， 分别是等边三角形
的边，上的点，且，与 交
于点.求证： .
证明： 是等边三角形，
， .
又 ，
，
.
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25
6.根据下列条件，不能判定 是等边三角形的是( )
B
A. B.，且
C. D.，
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26
（第7题）
7. 小敏设计了一种衣架，在使
用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图
①，衣架杆 .衣架收拢时，
如图②， ，则此时， 两点之
间的距离是( )
C
A. B. C. D.
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27
8.［唐山丰南区期中］如图，已知 ，点在 上，且
，点关于直线的对称点是，则 ___.
2
（第8题）
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28
9.如图，已知为的中点，，，垂足分别为点， ，
且， ，求证： 是等边三角形.
举一反三
29
证明：是的中点， .
， ，
和 都是直角三角形.
在和 中，
，
， .
， ，
， 是等边三角形.
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举一反三
30
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10．北京中考如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为( )
A．80° B．100° C．110° D．120°
B
举一反三
31
知 识 梳 理
课堂小结
等边三角形
定义
判定
三边都相等
三边都相等
三个角相等，分别为
三个角都相等
每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”
轴对称图形，三条对称轴
有一个角是60°的等腰三角形
性质
谢谢观看
THANKS
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