15.3.2.1等边三角形的性质与判定-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定，通过交通标志情境引入，回顾等腰三角形定义及特征，再以正方形纸折叠剪裁操作引出等边三角形，构建从一般到特殊的知识支架，衔接等腰三角形与等边三角形的关系。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过动手操作（折叠剪裁）培养几何直观，分类讨论证明判定定理发展推理意识，生活应用题（衣架设计）提升应用意识。课堂小结类比等腰三角形梳理知识，助力学生系统掌握，教师可利用分层习题与典例优化教学。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 15.3.2.1等边三角形的性质与判定 第十五章 轴对称 人教版八年级上册15.3.2.1等边三角形的性质与判定同步练习题 知识点核心：等边三角形的定义、性质（三边相等、三角均为60°、三线合一、三条对称轴）、判定定理（三边相等的三角形、三角相等的三角形、有一个角是60°的等腰三角形）、等边三角形与等腰三角形的关系、角度计算与几何证明综合应用 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等边三角形的每个内角的度数为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 下列关于等边三角形的说法错误的是（） A. 三边长度相等 B. 三个内角相等 C. 只有一条对称轴 D. 属于特殊的等腰三角形 3. 能判定一个三角形为等边三角形的条件是（） A. 一个角为60°的三角形 B. 一个角为60°的等腰三角形 C. 两个角为锐角的三角形 D. 两边相等的三角形 4. 等腰三角形中，若有一个内角是60°，则该三角形是（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 5. 等边三角形的对称轴条数为（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三条边都相等的三角形叫做________三角形。 2. 等边三角形的三个内角________，且每一个角都等于________°。 3. 有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。 4. 等边三角形每条边上的中线、高线、角平分线________（填“重合”或“不重合”）。 5. 三个角都相等的三角形是________三角形。 三、解答题（共60分） 1.（15分）已知△ABC是等边三角形，求∠A、∠B、∠C的度数，并说明三边关系。 2.（15分）已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，求证：△ABC是等边三角形。 3.（15分）如图，△ABC为等边三角形，点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE，求证：△ADE是等边三角形。 4.（15分）求证：三个内角都相等的三角形是等边三角形。 参考答案与解析 一、选择题：1.B 2.C 3.B 4.A 5.C 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质；判定核心：三角相等、三边相等、有一个60°角的等腰三角形，三者均可判定等边三角形，是考试高频考点。 二、填空题：1.等边 2.相等、60 3.60 4.重合 5.等边 解析：等边三角形三边、三角完全相等，每条边均满足“三线合一”，拥有三条对称轴，性质比普通等腰三角形更特殊。 三、解答题：1. 解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。 2. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=180°−60°−60°=60°，∴∠A=∠B=∠C，故△ABC是等边三角形。 3. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°。又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，∴△ADE是等边三角形。 4. 证明：∵三角形三个内角相等，∴∠A=∠B=∠C。根据等角对等边，可得BC=AC，AB=BC，∴AB=BC=AC，故三角形为等边三角形。 情境引入 QING JING YIN RU 下面的交通标志是什么图形？什么是等腰三角形？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 等腰三角形有哪些特征？ 等腰三角形是轴对称图形,底边上的高在对称轴上 等腰三角形两腰相等 等腰三角形两底角相等 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 按照下面的方法剪裁，你会得到一个什么三角形？ 把正方形纸对折成两个相同的小长方形，压出折痕展开 取正方形的一角翻折，使角的顶点与折痕重合于一点 连接各点并剪开，得到一个等边三角形 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 等边三角形三个内角之间有何关系？ 已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明：∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 归纳总结 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 等边三角形一定是锐角三角形吗？ 等边三角形仍然满足“三线合一”吗？ （1）等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴. （2）等边三角形三个角都相等,都是60°. （3）等边三角形三条边都相等. （4）等边三角形一定是锐角三角形. （5）等边三角形每条边上的中线，高和所对角的 平分线都“三线合一”. A B C 三条对称轴 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 三个角都相等， 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三条边相等，三角六十度， 个个都相同，你要记清楚。 （第1题） 1. 如图，直线， 是等边三角 形， ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 10 （第2题） 2. 由于木质的衣架没有 柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操 作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻 易收拢，然后套进衣服后松开即可，如 B A. B. C. D. 以上都不对 图①，衣架杆 .若衣架收拢时， ，如图②，则此时， 两点间的距离是( ) 返回 中考考法 11 思考等边三角形的定义. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 分类讨论 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： 情况一： 若顶角∠A=60°， 由三角形的内角和得∠B=∠C= （180°-60°）=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC为等边三角形 A B C 情况二： 若底角∠B=∠C=60°， 由三角形的内角和得 ∠A=（180°-60°-60°）=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC为等边三角形 综上所示，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三条边都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 01 02 03 等边三角形的判定方法 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. 不 是 是 是 是 是 不一定 是 （1） 5 5 4 （2） 5 5 5 （3） 60° 60° （4） 60° （5） 5 5 60° （6） 5 5 60° 能否找到全等三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，△ABC 为等边三角形，AE = CD,AD,BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3,PE=1.求证：AD=BE. 图中是否有全等三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF， ∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）. ∴ DF = ED = FE. ∴△DEF 是等边三角形. 如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF． 求证：△DEF 是等边三角形． A C B D E F 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 【问题背景】如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG =∠CDH,根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH为正方形. 【类比探究】如图②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF, AD,BE,CF,两两相交于D,E,F三点（D,E,F,三点不重合）. (1)△ABD，△BCE，△CAF是否是全等三角形？如果是请选择其中一组进行证明. 请同学们参照例4自行完成证明. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 (2)△DEF是否是正三角形？请说明理由. (2)△DEF是正三角形，理由如下. ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA， ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD， ∴△DEF是正三角形. 思考等边三角形有哪些性质？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠DAB＝60°. ∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝180°－90°－30°＝60°． ∴∠FAE＝∠EBC． ∵ E 为 AB 的中点，∴ AE＝BE． 又∵∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC (ASA)． 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F． 求证：△AEF≌△BEC． B C D A F E 3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ， ，分别是，，边上一点，且 ,则 的形状是____________. 等边三角形 （第3题） 中考考法 21 （第3题） 【点拨】 为等边三角形，且 ，， .在 与 中， .同理证 得 是一个等边三角形. 返回 中考考法 22 （第4题） 4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示 的方式放置，已知 ，点， 表示的 刻度分别为1，3，则线段的长为___ . 2 【点拨】 直尺的两对边相互平行， 是等边三角形. . .易知 ，. 返回 中考考法 23 5.如图，六边形的六个角都是 ，边长 ，,, ，则这个六边 形的周长是____ . 15 （第5题） 中考考法 24 【点拨】如图，分别作，， 的延长线 和反向延长线，使它们交于点，， 六边 形的六个角都是 ， 它的每一个 外角是 . 易得，， ， 都是等边三角形. ， . 六边形 的周长为 . 返回 中考考法 25 6.［2025常州期中］如图， 是等边三角形， 点在的外部，且，连接 交 于点 . （1）求证：垂直平分 ； 【证明】是等边三角形， . 又， 点,在线段 的垂直平分线上. 垂直平分 . 中考考法 26 （2）在上取点，连接，交于点，若 ， 试判断 的形状，并说明理由. 中考考法 27 【解】 为等边三角形.理由如下： 是等边三角形， . ， . ， . . . 为等边三角形. 返回 中考考法 28 （第7题） 7. 如图是由若干个相同的 小等边三角形组成的图形，小明在该图形中 建立了平面直角坐标系,并测得点 的坐标是 ,点的坐标是 ，由此可知点 的坐标是( ) A A. B. C. D. 中考考法 29 （第7题） 【点拨】由点的坐标是 可知，每个 小等边三角形的高是3,由点 的坐标是 可知,每个小等边三角形的边长为 .易知点是由点 向右平移 个单位长度,向上平移3个单 位长度得到的. 点的坐标是 . 返回 中考考法 30 （第8题） 8. 如图，是等边三角形，点 在 内，，将绕点 逆时 针旋转得到，则 的长等于 ( ) A A. 4 B. C. 2 D. 中考考法 31 （第8题） 【点拨】 是等边三角形， ， . 将 绕 点逆时针旋转得到 ， ， ， 即 . 是等 边三角形. . 返回 中考考法 32 （第9题） 9. ［2025德州期中］如图，已知 ，点，，， 在射线 上，点，，， 在射线 上， ，，， 均为 D A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 等边三角形，若，则 的边长为( ) 中考考法 33 （第9题） 【点拨】 是等边三角形， , .又 , 易得 . 是等边 三角形， ， .又 , 易得 . .同理可证 .以此类推,的边长为 , 的边长为 . 返回 中考考法 34 课堂小结 QING JING YIN RU 边 角 三线 等边三角形 性质 三条边相等 类比 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是60º 边 角 边角 判定 三条边相等 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三个角都相等 等腰三角形 $