黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

兆麟中学 2026—2027 学年度上学期第一次月考 高 二 学年 数学 学科试题 命题人：第一命题组 审题人：第一命题组 考试用时： 120 分钟 总分： 150 分 一、单选题 1．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中，正确的有（  ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、三、四象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱的中点，点为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．存在点，使得 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则的轨迹长度为 11．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．已知点，，圆上存在点，使得 C．圆上恰有一个点到直线的距离为2 D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题 12．已知中，，， ，则 边上的高所在直线的一般式方程为 . 13．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为________. 14．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 四、解答题 15．已知直线经过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点M是底面ABCD上的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 17．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18．如图，在三棱柱中，平面，为的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 19．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第16页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 月考题答案 1．D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 2．B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 3．D 【解析】由两直线平行或重合的方程系数关系，求出，进而求出平行时的值，即可求出结论. 【详解】当或重合时，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时重合， 当时，. 故选:D. 【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，其实质是考查两直线方程为一般式时，位置关系的判定，属于中档题. 4．B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 5．A 【分析】作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果. 【详解】由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即. 故选：A. 6．A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 7．C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 8．B 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 9．AD 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 10．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解判断A；利用向量垂直的坐标表示推理判断B；利用点到平面的距离公式求出点到平面距离的最大值判断C；确定点的轨迹并求出长度判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，设直线与直线所成的角为， 则，，A正确； 对于B，，，取， 得，即，B正确； 对于C，，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 点到平面的距离，当且仅当时取等号， 此时点与点重合，而面积为定值，则三棱锥的体积的最大值 等于三棱锥的体积，C错误； 对于D，由平面，得，， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，长度为，D正确. 11．ACD 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 12． 【分析】根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； 【详解】因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； 13．4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 14． 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    15．(1)或. (2) 【分析】（1）讨论截距是否为0，设直线方程后代入点坐标，然后求得结果. （2）设直线，代入点坐标，得到，然后求出点坐标，根据题意列出不等式，求得的取值范围，利用基本不等式求得当取何值时面积取最小值，代入直线方程后得到结果. 【详解】（1）当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均为0时， 设直线，则，即，则， 3分 当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均不为0时， 设直线l在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线，即，则，则，即. 3分 （2）由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线，则，即，则， 令，则，令，则， 则， 则，∴，即. 3分 ∴， ∵时，，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴， 3分 即， ∴. 1分 16．(1)4 (2) 【详解】（1）因为，， 所以四棱锥的底面为直角梯形， 又因为平面ABCD， 所以四棱锥的体积为：. 5分 （2）因为平面ABCD，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以， 2分 设，则，， 由题意平面ABP的法向量， 1分 设平面MBP的法向量为， 所以， 令，则，， 所以， 2分 因为平面ABP与平面MBP的夹角为， 所以， 整理得， 2分 所以， 所以当时，， 所以． 3分 17．(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 2分 由题意，即，所以. 1分 设，则， 整理得，. 2分 （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 1分 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线， 1分 直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 1分 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. 2分 （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    1分 联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 1分 所以，代入式，得， 1分 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 1分 解得，因此存在定点满足条件. 1分 18． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；（ⅱ）利用点到平面的距离公式求解. 【详解】 （1）证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形是平行四边形，得点为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. 5分 （2）（ⅰ）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 2分 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ， 1分 设平面的法向量为， 则，取，得， 2分 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3分 （ⅱ）由（ⅰ）知， 所以点到平面的距离. 4分 19．(1)或； (2)①②. 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将 与 的关系转化为直线 与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论 的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 3分 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 1分 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 1分 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 2分 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 2分 又，，解得，所以常数. 1分 ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 2分 因为直线 过 ，与圆交于 ，且 为 的中点，设 ，则 ， 由 在圆 上，得 又 在圆上：，两式相减得 因为直线 与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 2分 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，， 时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 2分 综上所述，. 1分 $