精品解析：吉林省长春市文理高中2026-2027学年高三上学期一模考试数学试题

长春市文理高中2026-2027学年度（上）高三年级 校一模考试数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题“，”的否定为，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，则 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式化简已知等式求出的值，再代入二倍角余弦公式计算即可得到结果. 【详解】首先根据诱导公式， 对化简可得：，解得， 再根据二倍角的余弦公式， 将代入得：. 4. 下列选项正确的个数是（ ） （1），，，，，，，，，的第百分位数是 （2）数据，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，…，的平均数为，方差为 （3）已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 （4）已知数据，，…，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义即可判断；（2）根据平均数和方差的性质即可判断；（3）根据残差的定义即可判断；（4）根据平均数和方差的定义即可判断． 【详解】（1）因为，所以第百分位数是，故（1）错误； （2），，…，的平均数为，方差为，故（2）正确； （3）当时，，所以样本点的残差为，故（3）错误； （4）由，，…，的平均数，即，则， 又方差，即，则， 若把剔除，则剩余这个数的平均数为， 方差为，故（4）错误． 综上，以上正确的个数是． 5. 已知函数，，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】指对互化可得，，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即， 可得，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 6. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两个偶函数推出周期为2，将a，b，c自变量统一转化到区间，利用该区间函数递减，比较自变量大小得到函数值大小. 【详解】因为函数是偶函数，则，又因为为偶函数，则， 可化为，所以有， 所以函数是周期为2的函数，则，， 又时，是减函数，由， 可得，即. 7. 将图象向左移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】三角函数图像平移遵循“左加右减”，正弦型函数为偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可． 【详解】由题，， 因为为偶函数，所以，即， 又，所以， 则． 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设上一点关于轴对称点坐标为，则在上，得到有两个不同的实数解，即函数与在上有两个交点，利用导数判断出函数的单调性和最值，可得实数的取值范围． 【详解】设是上一点，则， 且关于轴对称点坐标为在上， 由题意得，有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 有两个不同的实数解等价于与有两个交点， 所以，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 估计考生成绩的众数为72 C. 估计考生成绩的中位数为71 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． 10. 2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有两个极值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据三角函数图像的最高点位置求出参数得到的解析式，再依次分析各选项的周期、奇偶性、对称性、极值点个数，判断各选项正误. 【详解】由图可知，时取最大值，即， 所以，解得，又， 所以，， 对于A： 的最小正周期，A错误； 对于B ：，是偶函数，B正确； 对于C ：， 当​时，，因此函数图象关于对称，C正确； 对于D：，当时，， 函数的极值点满足，要求区间内仅有两个极值点， 则恰有两解， 因为时，，时，，时，， 所以，解得，即，D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数无最小值 B. 函数有2个极值点 C. 函数有5个零点 D. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数分析出函数的单调性，进而得到函数的最值以及极值点，求出选项ABD.再利用换元法，结合的图象求解选项C. 【详解】由，可得，易知恒成立； 当​时，，单调递增；当时，，单调递减. 当时，，单调递增，则极大值，极小值. 当时，时，函数图象如下图所示： 选项A.的极小值，且时均大于，因此存在最小值，A错误. 选项B.有两个不同的变号零点​和，对应两个极值点，B正确. 选项C.令，，解得​或. 结合图象可知，当时，由可知该方程在和各有1个解，共2个解； 当时，由可知该方程在，，各有一个解，共3个解，共5个解. 选项D.的单调减区间是，若在上是减函数，则，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】把二项展开，只有与相乘得到项，由此即可得到本题答案. 【详解】因为 所以展开式中项的系数为. 故答案为： 13. 已知，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据诱导公式求出和，再根据同角三角函数平方关系求出和，进而即可求解． 【详解】由， 则， ， 又，则，， 则，， 所以． 14. 已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调. 【详解】当时，， 因为，所以在上单调递增， 又是上的单调函数，当时，， 所以在上单调递增，且. 由在上单调递增可知 （1）因为函数的图象开口向上， 所以需要在上单调递增，且， 即，解得； （2）需要在定义域上单调递增，所以. 由上知，. 由得， 结合得，解得. 综上，，即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间； （2）求时函数的值域． 【答案】（1） 最小正周期为，单调递增区间为 （2） 值域为 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的性质依次求解最小正周期、单调递增区间； （2）结合正弦函数的图象即可求值域. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 令，得， 即的单调递增区间为； 【小问2详解】 由，得， 由正弦函数图象得， 因此，即的值域为 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设函数，若在上有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，通过和求解即可； （2）将问题转换成函数的图象与直线在上有三个不同的交点，结合函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 . 令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，在上有三个零点， 等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线在上有三个不同的交点. 由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处有极大值，在处有极小值-8. 计算可得. 要使函数的图象与直线在上有三个不同的交点， 则，即实数的取值范围为. 17. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间y/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人， 记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】（1），管理时间与土地使用面积线性相关； （2）依据的独立性检验，认为村民的性别与参与管理的意愿有关； （3）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望。 【解析】 【分析】（1）代入公式计算即可； （2）先提出零假设，再代入公式计算即可； （3）X满足二项分布，按照概率公式展开. 【小问1详解】 ，， ， ，， 则，因为，所以管理时间y与土地使用面积x线性相关. 【小问2详解】 零假设：村民的性别与参与管理的意愿无关 ，，，，， 则，所以零假设不成立， 即：依据的独立性检验，认为村民的性别与参与管理的意愿有关； 【小问3详解】 不愿意参与管理的男性村民占比为：， 任取3人，则，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若，，求边a的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和正弦的和角公式求解； （2）首先求出，再利用两角和的正弦公式求得，最后根据正弦定理即可得到答案； （3）利用二倍角公式和余弦的差角公式求解. 【小问1详解】 由正弦定理得：，所以, 则：， 利用正弦的和角公式化简合并得， 又因为在中，，所以，则. 【小问2详解】 因为，所以， ， 则由正弦定理得：. 【小问3详解】 ①，因为， 所以，利用余弦的差角公式展开合并后得： ，即：①式变为，其中， ，，所以， ，即：的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，记函数，求证：函数有唯一的极大值点，且. 【答案】（1）； （2） 时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 当时，， 则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 又，，， 则由零点存在性定理可知，使得， 则或时，，；时，，， 故在和上单调递增，在上单调递减，则有唯一的极大值点， 且， 令，则， 则在上单调递增，则，故. 【解析】 【分析】（1）根据，可求； （2）求导，因式分解，分、两种情况讨论； （3）求出，构造函数，通过的单调性结合零点存在性定理即可求证函数有唯一的极大值点，且使得，进而化简得，通过构造函数即可求证. 【小问1详解】 ， 因函数在处的切线方程为， 则，，得； 【小问2详解】 ，， 当时，，则在上单调递减； 当时，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市文理高中2026-2027学年度（上）高三年级 校一模考试数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项正确的个数是（ ） （1），，，，，，，，，的第百分位数是 （2）数据，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，…，的平均数为，方差为 （3）已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 （4）已知数据，，…，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变 A. B. C. D. 5. 已知函数，，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 将图象向左移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 估计考生成绩的众数为72 C. 估计考生成绩的中位数为71 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 10. 2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有两个极值点，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数无最小值 B. 函数有2个极值点 C. 函数有5个零点 D. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中项的系数为________. 13. 已知，且，则的值为________． 14. 已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间； （2）求时函数的值域． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设函数，若在上有三个零点，求实数的取值范围. 17. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间y/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人， 记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若，，求边a的长； （3）求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，记函数，求证：函数有唯一的极大值点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $