精品解析：吉林长春市第十一高中2026-2027学年高三年级上学期第一次模拟测试数学试题

长春市第十一高级中学2026-2027学年度高三年级第一次模拟测试数学试题 一.单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 二 、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 已知，，且，则（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 的值域为 D. 为偶函数 11. 函数，关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调减区间为， C. 当时，则方程有6个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 14. 已知，，且满足，则__________． 四 、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. （1）随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； （2）随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 16. 在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2） （1）证明：平面平面； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十一高级中学2026-2027学年度高三年级第一次模拟测试数学试题 一.单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合， . 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，得到处的导数值即切线斜率；再结合切点坐标用点斜式写出切线方程即可. 【详解】由可得：. 则曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 4. 若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 5. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数且在上单调递增，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】显然函数的定义域为，对任意，有，故是偶函数， 当时，，求导得， 当时，，，故，即在上单调递增， 根据偶函数性质，等价于， 结合单调性可得，两边平方得  ， 展开整理得  ， 因式分解为，解得. 6. 已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性及零点存在定理即得. 【详解】∵函数为增函数，又， ∴， 由，得，即， ∵在单调递增， 又， ∴， ∴. 故选：D. 7. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数和已知方程结合周期性公式推导出周期为6，进而可将转化为，由此求解即可. 【详解】因为是奇函数，则，且， 即①，则， 即，代入①得， 整理得，即， 所以的最小正周期， 所以， 其中，， 所以， 即 二 、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 已知，，且，则（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A，直接利用基本不等式即可判断； 对B，由即可判断， 对C，由，再利用基本不等式即可；对D，即可判断. 【详解】对A，，所以，当且仅当时成立，故A正确； 对B，由，可得，可得，的最小值为，故B不正确； 对C，， 当且仅当即时成立,故C正确； 对D，，当且仅当时成立，故D正确. 故选：ACD 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 的值域为 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由狄利克雷函数的定义，结合偶函数的概念，逐项判断即可. 【详解】对于A，，正确， 对于B，或，所以，，正确， 对于C，的值域为，错误， 对于D，当为有理数时，为有理数，则， 当为无理数时，为无理数，则， 故为偶函数，故D正确； 故选：ABD 11. 函数，关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调减区间为， C. 当时，则方程有6个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性得到的一个周期为4，并得到，求出答案. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中， 当时，，则， 所以. 14. 已知，，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系得到及等号成立时，的值，结合已知条件即可确定，的值，代入求解即可. 【详解】可变形为. 令，则. 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值，即. 令，则. 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值，即. 综上，，当，时，等号成立. 又， 故，此时，. 所以. 四 、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. （1）随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； （2）随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由题意可得服从二项分布：从而可得的可能取值为，求出对应的概率，列出分布列，根据期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 设事件：机器人平地行走达标，； 设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. 【小问2详解】 由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 16. 在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2） （1）证明：平面平面； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析，（2）. 【解析】 【分析】（1）连接图1中的，证明，然后证明平面即可； （2）证明平面，然后以为原点建立如图空间直角坐标系，然后利用向量求解即可. 【详解】（1）连接图1中的， 因为四边形为菱形，且 所以为等边三角形，所以 所以在图2中有，因为 所以平面，因为，所以平面平面 （2）因为平面平面，平面平面，， 所以平面 以为原点建立如图空间直角坐标系 所以 所以 设平面的法向量为，则， 令，则，所以 所以直线与平面所成角的正弦值 17. 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 【答案】（1）证明：由正弦定理得，， 又，所以. 又，则， 则，又且， 所以. 由余弦定理得， 所以. 由正弦定理有，， ，又，所以，所以， 所以为锐角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得和正弦定理边角互化求得，再结合三角形内角和证明； （2）由正弦定理求三边比例，结合周长求边长，再代入面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 又，所以， 则. 又，可得：， 所以. 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，且无极小值 （2）由（1）知，即，则（当且仅当时取等号）， 令（其中）， 因为，所以等号不成立，有， 所以， 因此，得证毕. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的极值即可； （2）结合（1）有，再应用放缩、累加及对数的运算性质、等比数列的前n项和公式证明即可； （3）问题化为恒成立，再应用导数研究右侧的最小值，即可得范围. 【小问1详解】 函数定义域为， 求导，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此，函数极大值为，且无极小值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若恒成立，即对恒成立， 变形得，其中，则， 令，则只需， 求导， 令，得，即， 因为在上为增函数， 且， 故该方程的唯一正根为且，则，则①， 构造，则①等价于，求导得， 因为，所以，即在上单调递增，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以最小值为， 所以 ，要使恒成立，则， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为恒成立，再应用导数研究最值. 19. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）能，定点为. 【解析】 【分析】（1）根据题意和椭圆的定义，通过光程求出，再结合，求椭圆方程； （2）设椭圆的左焦点为，延长，交于点，易得在中，点在以为圆心，半径为4的圆上，即可求得轨迹方程； （3）假设，得出，的直线方程，进而求出M、N两点坐标，再得出直线与直线的方程，联立求解判断是否过定点. 【小问1详解】 由题意知，椭圆焦距，则，因为方程为， 根据椭圆的定义， 所以，解得，即知， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 如图所示： 设椭圆的左焦点为，延长和交于点， 在中，，则，且为中点， 在中， 所以点在以为圆心，半径为4的圆上，所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由椭圆的光学性质可知直线过左焦点,设直线AB方程为,， 联立，得， 由韦达定理得 两式相比可得，所以 由对称性知，若定点存在，则为直线与直线交于轴上的定点， 由，解得，则直线方程为， 令， 则 所以，直线过定点，同理直线也过定点. 则点即为所求点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $