河南省实验中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

河南省实验中学 2026-2027 学年上期高一年级第一次月考 参考答案与试题解析 一、单选题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A C C B D 1．（5分）已知集合 ，，则 =（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个集合都放到数轴上，公共部分只有 这一个点，留意 的端点取不到． 【解答】解：，， ． 故选：B． 2．（5分）命题“，”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定：量词换成“任意”，结论反过来． 【解答】解：， 是存在量词命题， 其否定为 ，． 故选：B． 3．（5分）若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用特殊值排除最快，再对可能正确的选项作差证明． 【解答】解：取 ，， ：，，，错误； ：，错误； ：，错误； ：， ，，又 ，分母大于 ， 该差小于 ，即 ，正确． 故选：D． 4．（5分）已知函数 ，则 ] =（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由里往外算：先求 ，再看它落在哪一段，代回相应的表达式． 【解答】解：，， ，． 故选：A． 5．（5分）已知函数 的定义域为 ]，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由 的定义域求出 的“自变量整体”范围，再让 落在这个范围内；同时注意分母不能为 、根号下非负． 【解答】解： 的定义域为 ]，即 ， ，即 的定义域为 ]． 要使 有意义，需 ，解得 ； 又需 ，即 ， 取交集得 ，即定义域为 ]． 故选：C． 6．（5分）若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】先由第一个不等式的解集确定 ， 的关系与符号，再解分式不等式（注意分母不能为 ）． 【解答】解： 的解集为 ， ，且 ，即 ． 即 ， ，， ， 或 ． 故选：C． 7．（5分）命题“关于 的方程 的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把命题为真的充要条件求出来（ 要单独讨论），再比较四个选项：哪个能被该条件推出、却又不与它等价． 【解答】解：①当 时，方程化为 ，根为 ，是正实数，符合； ②当 时，要使两根均为正实数，需 ， 即 且 ，． 综上，命题为真的充要条件是 ． ： 只是充要条件里的一个值，原命题成立时未必有 ，错误； ： 与充要条件完全一样，是充要条件，错误； ：比充要条件少了一个 ，它只能保证充分、保证不了必要，错误； ：由 一定能推出 （必要性成立）， 但 推不出原命题成立，如 时 ，方程无实根，（充分性不成立），正确． 故选：B． 8．（5分）若 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把所求式子化成关于 的式子，再用基本不等式；注意 提供了 与 的关系． 【解答】解：，． ． 令 ，则原式 ， 当且仅当 时取等号，此时 ，，满足条件． 故选：D． 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分 9．（6分）下列说法正确的是（　　） A． B．命题“，”的否定是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若 且 ，则 【答案】ABD 【分析】逐项判断．注意 含 ；否定命题真假看是否存在反例；充分、必要要分清谁推谁；最后一题作差比较． 【解答】解：： 是自然数，，正确； ：命题的否定是“，”，取 即成立，是真命题，正确； ： 时 ，即 能推出方程成立； 但方程 还有根 ，不能推出 ， “”是“”的充分不必要条件，错误； ：， ，，，， 该差大于 ，即 ，正确． 故选：ABD． 10．（6分）设 ，，，若关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B．关于 的不等式 的解集为 C．关于 的不等式 的解集为 D． 的最大值为 【答案】ACD 【分析】由解集 反推 ，， 的关系（用根与系数的关系），再把它们代入各选项判断． 【解答】解： 的解集为 ， ，且 ， 是方程 的两根， ，，即 ，． ：由解法知 ，正确； ： 即 ，，，， 解集为 ，错误； ： 即 ，， ，，，正确； ：， ，，， 最大值为 ，正确． 故选：ACD． 11．（6分）已知正数 ， 满足 ，则下列结论正确的有（　　） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ACD 【分析】条件 是“定和”，用基本不等式求最值；注意配凑成“和”为常数的形式． 【解答】解：：，，， ，当 时取等号，正确； ：， ，最大值为 ，错误； ：， 当 （此时 ）时取最小值 ，正确； ：，由 得 （）， ， 令 ，则 ，， ， ，当 （即 ，）时取等号，正确． 故选：ACD． 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分 12．（5分）已知集合 ，且 ，则实数 的值为 　　　　． 【答案】0 【分析】由 列方程解出 ，解完一定要回头检验元素是否互不相同． 【解答】解：， 或 ， 由 得 或 ；由 得 ． 当 时，，不满足元素的互异性，舍去； 当 时，，符合题意． ． 故答案为：0． 13．（5分）不等式 的解集为 　　　　． 【答案】 【分析】分式不等式先移项、通分，化成“一边为 ”再判断符号，注意分母不能为 ． 【解答】解：原不等式可化为 ， ，即 ， 且 ， ，即解集为 ． 故答案为：． 14．（5分）已知不等式 的解集为 ，若不存在整数 满足不等式 ，则实数 的取值范围是 　　　　． 【答案】] 【分析】先由解集得出 ，，代入后把不等式化为关于 的式子；再用“不存在整数解”逐一限制． 【解答】解： 的解集为 ， ，且 ， 是方程 的两根， ，，即 ，． 代入原不等式得 ， 即 ， ，． ①当 时：若 ，需 ，即 ， 要使该范围内没有整数，需 ，即 ，； 而 一侧因 无整数解，符合； ②当 时，不等式化为 ，即 ，有整数解，不合题意； ③当 时， 一侧存在整数解，不合题意． 综上， 的取值范围是 ]． 故答案为：]． 四、解答题：共5小题，共77分 15．（13分）已知全集 ，集合 ，． （1）求 ，； （2）求 ，． 【答案】（1），]；（2）， 【分析】画数轴：并集取“全部覆盖”，交集取“公共部分”；求补集时注意端点是否包含（开区间端点补后变闭）． 【解答】解：（1），]， ，]． （2）， ； ， ． 16．（15分）求下列函数的解析式： （1）已知 ，求函数 的解析式． （2）已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． （3）已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 【答案】（1）（）；（2）；（3） 【分析】（1）换元法，别漏掉新变量 的范围；（2）把 换成 再联立消去 ；（3）待定系数法，比较两边同次项系数． 【解答】解：（1）令 ，则 ，，． ， （）． （2）　…　① 把 换成 得 　…　② ①+② 得 ，即 ， ． （3）设 （）， 则 ， ， 由 比较系数得 ，解得 ，，， ． 17．（15分）设命题 ：，使得不等式 恒成立；命题 ：，不等式 成立． （1）若 为假命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ， 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】“恒成立”找最大值，“存在”看最大值与 的大小关系；先把两个命题各自为真的条件求出来，再按“恰有一个真”分类． 【解答】解：（1），当 时其最大值为 （ 时取得）， 命题 为真 ，即 ， 为假命题时 ． （2）由（1）知 为真 ； 命题 ： 在 ] 上的最大值为 （ 时取得）， 为真 ，即 ． ①若 真 假，则 且（ 或 ），即 ； ②若 假 真，则 且 ，即 ． 综上，． 18．（17分）已知函数 ． （1）若 ，，求不等式 的解集； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）]；（2）见解答（需按 分类）；（3） 【分析】（2）先因式分解 ，再按 的正负、两根的大小分类讨论，这是解含参二次不等式的基本套路；（3）分离参数，转化为求 的最小值． 【解答】解：（1）当 ， 时，， 由 得 ， 解集为 ]． （2）当 时，， ①当 时，不等式为 ，解集为 ； ②当 时，不等式为 ， 若 ，则 ，解集为 ]； 若 ，则解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ]； ③当 时，抛物线开口向下，， 解集为 ． （3）在（1）的条件下 ，， ， ，，当且仅当 时取等号， ， 要使不等式恒成立，只需 ． 19．（17分）教材中的基本不等式可以推广到 阶： 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，也即：若 ，，，，则有 ，，，当且仅当 时取等号．利用此结论解决下列问题： （1）若 ，，，求 的最小值； （2）若 ，求 的最大值，并求取得最大值时 的值； （3）对任意 ，判断 与 的大小关系并加以证明． 【答案】（1）最小值为 ；（2）最大值为 ，此时 ；（3），证明见解析 【分析】（1）三项相乘得常数，直接用三阶基本不等式；（2）把 拆成两个相等因子，凑成“和为常数”的三项；（3）构造 个数： 取 个，再添一个 ． 【解答】解：（1），，， ， 当且仅当 时取等号， 最小值为 ． （2），，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 最大值为 ，此时 ． （3）． 证明：取 个正数：，，，（共 个）及 ， 由基本不等式得 ， ，， 即 ， 两边同时取 次方得 ． ， 等号不能成立， ． 高一数学 参考答案与试题解析　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学 2026-2027 学年上期高一年级第一次月考 科目：数学　　命题人：李笑萌　　审题人：高放 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合 ，，则 =（　　） A． B． C． D． 2．（5分）命题“，”的否定是（　　） A． B． C． D． 3．（5分）若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（5分）已知函数 ，则 ] =（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知函数 的定义域为 ]，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 7．（5分）命题“关于 的方程 的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）若 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（6分）下列说法正确的是（　　） A． B．命题“，”的否定是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．若 且 ，则 10．（6分）设 ，，，若关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B．关于 的不等式 的解集为 C．关于 的不等式 的解集为 D． 的最大值为 11．（6分）已知正数 ， 满足 ，则下列结论正确的有（　　） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）已知集合 ，且 ，则实数 的值为 　　　　． 13．（5分）不等式 的解集为 　　　　． 14．（5分）已知不等式 的解集为 ，若不存在整数 满足不等式 ，则实数 的取值范围是 　　　　． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知全集 ，集合 ，． （1）求 ，； （2）求 ，． 16．（15分）求下列函数的解析式： （1）已知 ，求函数 的解析式． （2）已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． （3）已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 17．（15分）设命题 ：，使得不等式 恒成立；命题 ：，不等式 成立． （1）若 为假命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ， 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围． 18．（17分）已知函数 ． （1）若 ，，求不等式 的解集； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19．（17分）教材中的基本不等式可以推广到 阶： 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，也即：若 ，，，，则有 ，，，当且仅当 时取等号．利用此结论解决下列问题： （1）若 ，，，求 的最小值； （2）若 ，求 的最大值，并求取得最大值时 的值； （3）对任意 ，判断 与 的大小关系并加以证明． 高一数学　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $