四川省成都市武侯高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

成都市武侯综合高级中学2026-2027学年度2025级数学10月月考 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（     ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2. 若一列数的中位数是，则该列数的第百分位数是（    ） A． B． C．或 D． 3. 为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（    ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 5. （   ） A． B． C． D． 6. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 7. 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.如图，将T2，T3 两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 8. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（    ） A．为定值16 B．为定值32 C．最大值为32 D．与的位置有关 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 10. 已知m，n是异面直线，，，那么（    ） A．当，或时， B．当，且时， C．当时，，或 D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行 11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 13. 数据，，，，的方差是2，则数据，，，，的方差是______. 14. 嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球、4个白球，从中随机摸出两个小球． (1)求这两个小球都是红球的概率； (2)求这两个小球至少有一个红球的概率． 16. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．    (1)求直方图中的值； (2)估计月平均用电量的第50百分位数； (3)已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 17. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)证明：； 18. 某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人? (3)若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 19. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市武侯综合高级中学2026-2027学年度2025级数学10月月考 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（     ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 【答案】B 【详解】在总体中，被抽取的对象为样本. 2. 若一列数的中位数是，则该列数的第百分位数是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】通过中位数和百分位数的定义求解. 【详解】因为的中位数为，所以，故这一列数为， 又，所以第百分位数是这一列数中的第个数，为． 3. 为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（    ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 【答案】C 【详解】真实数据的平均数为，中位数为，无众数； 记错的数据的平均数为，中位数为，众数为; 所以平均数变大，中位数不变. 4. 已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式求解. 【详解】由和对立，可得，解得， 又∵随机事件和互斥，， ∴． 故选：C． 5. （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【详解】. 故选：A 6. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 7. 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.如图，将T2，T3 两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，“电路不发生故障”为事件M，由M=(A2∪A3)∩A1求解. 【详解】解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=， 记“电路不发生故障”为事件M，则M=(A2∪A3)∩A1， ∴不发生故障的概率为P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P() P()] P(A1)= 故选：A. 8. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（    ） A．为定值16 B．为定值32 C．最大值为32 D．与的位置有关 【答案】B 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据正弦型函数的图象与性质，结合代入法逐一判断即可. 【详解】对于A，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，得，当，即时，，C正确； 对于D：由，即， 所以，所以D正确． 故选：ACD 10. 已知m，n是异面直线，，，那么（    ） A．当，或时， B．当，且时， C．当时，，或 D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行 【答案】AB 【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：当，时，； 当，时，，故A正确； B：当，时，又为异面直线，所以，故B正确； C：当时，由，得或与相交； 当时，由，得或与相交，故C错误； D：当不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误. 故选：AB 11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 【答案】AC 【分析】利用定义判断选项B的真假，利用公式计算判断选项ACD的真假，即得解. 【详解】对于A，对于事件A与事件B，， 事件A与事件B是相互独立事件，故选项A正确； 对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生， 如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数 故，故D错误. 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【分析】由复数除法运算化简. 【详解】先由题得. 13. 数据，，，，的方差是2，则数据，，，，的方差是______. 【答案】8 【分析】根据方差的定义进行计算，可得到前后数据方差之间的关系，即可求解. 【详解】设数据，，，，的平均数为， 则其方差为， 则数据，，，，的平均数为， 方差为. 故答案为： 【点睛】本题考查了方差的计算，解题的关键是熟记方差的概念以及性质，属于基础题. 14. 嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______. 【答案】 【分析】求出甲乙打卡相同景点的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案. 【详解】甲乙打卡相同景点的概率为， 所以甲、乙打卡不相同景点的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球、4个白球，从中随机摸出两个小球． (1)求这两个小球都是红球的概率； (2)求这两个小球至少有一个红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型公式求解即可. （2）利用古典概型公式求解即可. 【详解】（1）设红球为：，白球为：， 从6个球中随机摸出两个小球， 共有：，15个基本事件. 令事件：两个小球都是红球，事件A包含1个基本事件， . （2）令事件：这两个小球至少有一个红球，事件：这两个小球都是白球， 事件包含6个基本事件. . 16. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．    (1)求直方图中的值； (2)估计月平均用电量的第50百分位数； (3)已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？ 【答案】(1) (2)第50百分位数是224 (3)147600（户） 【分析】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案； （2）第50百分位数左边和右边直方图面积相等，可得答案； （3）利用频率估计月平均用电量为的居民所占比例，即可得答案． 【详解】（1）由题意知， 解得， （2）因为 所以月均用电量的第50百分位数在内，设第50百分位数为 由 解得， 故月均用电量的第50百分位数是224； （3）因为月均用电量在的频率为 所以月均用电量在的用户为（户）． 17. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)证明：； 【答案】(1)证明：设,连接    在四棱柱 中, 四边形 是正方形, 为 中点, 又为 中点, , 又 平面平面, 平面; (2)证明：在四棱柱 中,平面, 又 平面 , 又在正方形 中,, 且 平面 平面 , 平面, 【详解】（1）略 （2）略 18. 某市为普及文明城市创建知识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人? (3)若落在的平均成绩是65，方差是4，落在的平均成绩为75，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)，平均数为 (2)6人 (3) 【分析】（1）根据频率和为1求得的值，由各组中点值与频率乘积的和求得样本成绩的平均数； （2）计算样本答卷成绩为，，的频率的比，按比例计算在中的市民应抽取的人数； （3）根据平均数及方差公式计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，样本答卷成绩在，，，，，内的频率分别为: ，，，，，. 所以， 解得. 样本成绩的平均数为. （2）由（1）知，样本答卷成绩在，，的频率之比为， 所以频数比为， 所以若用分层随机抽样的方法抽取12人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取人. （3）由（1）知，样本答卷成绩在，的人数分别为， 记落在的答卷成绩为，， 则，； 记落在的答卷成绩为，， 则，. 所以. . 19. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $