2.5.2椭圆的几何性质（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.5.2 椭圆的几何性质 教学目标 1.掌握椭圆的简单几何性质。 2.了解椭圆的简单应用。 教学重难点 1.重点 （1）椭圆的几何性质； （2）利用椭圆的几何性质解决维妮塔。 2.难点 椭圆离心率对椭圆的影响。 知识点01 椭圆的几何性质 椭圆的简单几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 焦点 焦距 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 的关系 【即学即练】 （25-26高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 知识点02 椭圆几何性质的应用 1.椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． 2.明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． 3.椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c． 【即学即练】 （25-26高二上·江西宜春·阶段检测）（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 知识点03 椭圆的离心率 1.椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0<e<1. 2.＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2. 【即学即练】 （25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则； B：，则； C：即，，则； D：即，，则； 因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：B 题型01 根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 【变式1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 【变式2】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 【变式3】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 【变式4】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 题型02 根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定椭圆标准方程的形式，再计算参数的值，代入即可得到椭圆方程. 【详解】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 【变式2】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 【变式3】（26-27高二上·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【答案】 【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的倍， 所以，则，所以， 解得，故，所以椭圆的标准方程为. 【变式4】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型03 求椭圆离心率的值 【典例1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 【变式2】（25-26高三下·重庆·阶段检测）若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，得到，即. 【变式3】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A 【变式4】（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 题型04 求椭圆离心率的范围 【典例1】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定焦点位置，再由即可求解． 【详解】解：，，则椭圆焦点在轴，， ． 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 【变式2】（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中由正弦定理得外接圆半径，再用三角形面积两种表达式联立求出内切圆半径，把代入化简，约去sin得到含的等式，再利用椭圆焦半径乘积的取值范围构造不等式，转化为离心率的关系式，由二次式恒成立只需解右侧不等式，最终求得椭圆离心率范围为. 【详解】设，则，所以， 又， 所以，代入条件得， 设， 因为， 所以， 即，又，所以且， 所以． 【变式3】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 【变式4】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线与椭圆联立，得到坐标，根据为锐角三角形，写出向量关系，即可求解. 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，， 易知恒为锐角， 则 得. 题型05 根据椭圆的离心率求参数 【典例1】（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为． 【变式1】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【详解】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：C 【变式4】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆与的离心率相等，则______． 【答案】3 【详解】由题可知，椭圆的离心率为， 当即时，椭圆的离心率， 当时，，则椭圆的离心率无解. 综上，. 题型06 椭圆离心率的大小与椭圆圆扁的关系 【典例1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】设三条曲线的方程为 （），其中 相同,离心率 由图可知，短半轴 ，因此 ， 即 . 两边同除以 ，得 ，即 . 故选：B 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 【变式4】（福建省部分优质高中2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 题型07 椭圆的有界性及应用 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用椭圆的范围求解即可. 【详解】因为是椭圆上一点， 所以点满足椭圆的范围， 因此，所以，即的取值范围是． 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段检测）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为________. 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知为椭圆的右焦点，的顶点为椭圆上的三点，且，则顶点的横坐标的取值范围为__________． 【答案】 【分析】设，然后根据向量关系得到等式，然后根据椭圆上的点的横坐标范围，结合不等式的性质计算即可. 【详解】由题意可知，，设， 则，由得， ，整理得， 则的中点坐标为. 因为在椭圆内，所以, 解得,又， 所以顶点的横坐标的取值范围为. 【变式4】（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    1.（25-26高三上·江西抚州·期末）椭圆的短轴长为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆短轴长的定义即可求解. 【详解】由椭圆，可得椭圆焦点在轴上，且， 故短轴长为. 故答案为：4 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 3.（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 4．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 【答案】BD 【详解】由椭圆方程知，中，中， 的短轴长为，的短轴长为2，A错误； 都经过点，B正确； 的焦距为，的焦距为2，C错误； 的离心率都为，D正确． 5．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程判断其焦点位置，求出的值，即可逐一判断. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 6．（25-26高二上·河北邢台·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AC 【分析】分和讨论求值. 【详解】若，由； 若，由. 综上，或. 故选：AC 7．（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆长轴长为4 B．椭圆的短轴长为 C．若椭圆的离心率为，则 D．当椭圆的离心率时， 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，对涉及椭圆的长轴、短轴及离心率等相关选项进行分析判断． 【详解】椭圆，，长半轴长为，短半轴长， 选项A：，椭圆长轴长为4，故A正确； 选项B：短轴长，故B错误； 选项C：，解得到，故C正确； 选项D：，即， ，故D正确． 故选：ACD． 8．（2025·湖北黄冈·三模）（多选）若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式.因椭圆焦点位置有两种情况，所以分情况讨论： 焦点在轴时，确定、，由求出，结合离心率公式列方程求解与关系. 焦点在轴时，同样确定、、，再根据离心率公式列方程求解与关系. 【详解】因为圆锥曲线的离心率，所以该圆锥曲线为椭圆. 方程可化为. 当焦点在轴上时，此时，即，，， 根据可得. 已知离心率，则，即. 化简，则 当焦点在轴上时，此时，即，，， 根据可得. 已知离心率，则，即. 化简得， 实数与的关系为或. 故选：AC. 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得， 由得，即，所以椭圆的短轴长为． 10．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知正方形，则以点为焦点，且经过两点的椭圆的离心率为（） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则由题意可得，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】设正方形的边长为，则， ∵椭圆过两点， ∴椭圆的离心率. 11．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 12．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的上焦点，若中，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可知，进而求得结果. 【详解】设坐标原点为，半焦距为，由，可知， 易知，在中， 可得，即离心率为． 13．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）底面直径为10的圆柱被与底面成的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的离心率为__________． 【答案】 【详解】由题设，椭圆的短轴长，长轴长， 所以，则， 所以椭圆的离心率为. 14．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【答案】 【详解】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：， 又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，，即．又因为， 所以． 15．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若椭圆：的离心率是，则______. 【答案】7 【分析】根据离心率公式建立方程求解即可. 【详解】由题意可得，，且，则， 因为椭圆的离心率为，所以，解得. 故答案为：7. 16．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 17．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 18．（26-27高二上·河北保定·期 中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【详解】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 19．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 20．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 21．（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 22．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 23.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 24．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 25．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 【答案】AC 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 26．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】或 【分析】直接分椭圆的焦点在轴或轴上，再结合椭圆的性质及离心率的定义计算可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，由焦距，得， 根据椭圆关系，有，解得， 所以​，离心率. 当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，同理由焦距，得， 由得，解得， 所以，离心率​. 综上，椭圆的离心率为​​或. 27．（2026·广东深圳·模拟预测）椭圆的离心率为______． 【答案】 【详解】椭圆方程化为标准形式为. ∴ 椭圆焦点在轴上，且，. ∴ ，即. ∴ 离心率. 28．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程即可求解. 【详解】已知椭圆：（），且，则， 化简得，即，使用求根公式，得， 又因为，所以. 29．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）椭圆的离心率为___________. 【答案】/ 【详解】由椭圆方程可知其长半轴长，短半轴长为， 则椭圆的半焦距，故其离心率为. 30．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）椭圆的离心率为________． 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，即可得，利用，即可计算离心率. 【详解】将椭圆方程化为标准方程，所以，即. 所以，. 所以离心率. 31．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得，再根据得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立，即 所以，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 32．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 33．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． (1)求的方程； (2)若在第一象限，，求点的坐标； (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由焦距、离心率求出，写椭圆方程； （2）垂直转向量点积得圆方程，联立椭圆取第一象限解； （3）用椭圆定义得两边长，余弦定理求夹角正弦，代入面积公式计算. 【详解】（1）由焦距. 离心率 ，所以, 椭圆方程： （2）由已知，，设， 则, 因为，所以， 故. 联立椭圆方程： ,由①得 代入②可得 ， . 在第一象限，，，，. 故. （3）根据椭圆定义可得， 又，设，则. 故， 所以，，又 . 设，由余弦定理在中有， 代入数值可得， ，故. 由同角三角关系得. ，所以. 1.（专项练—数学模型与应用3）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）. A．15 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【分析】求出大椭圆的离心率，根据两个椭圆离心率相等，得到小椭圆的离心率，结合小椭圆的短轴长，即可得小椭圆的长轴长. 【详解】根据题意，在大椭圆中，，解得， 则在大椭圆中，， 又两个椭圆扁平度相同，即离心率相等， 根据题意，在小椭圆中，，解得， 则在小椭圆中，， 即，解得，， 所以小椭圆的长轴长为. 故选：B． 2．（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    4．（2026·湖南永州·一模）（多选）设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【详解】选项A，当时，，可知，所以A正确； 选项B，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即在上下两个顶点时，取得最大值为2，所以B正确； 选项C，因为，所以即，椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故需， 可知，所以， 即，得，所以，离心率， 由可知，所以C错误， 选项D，设，则，，是开口向下的二次函数，对称轴， 若，对称轴，函数在单调递减，在处取得最大值，，满足； 若，对称轴，最大值在对称轴处取得，， 令，则，不满足条件， 所以，，即，所以D正确. 5．（2025高二上·福建厦门·专题练习）（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【分析】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 6．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 【答案】/ 【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 7．（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 9．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 10．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 11．（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，求出，由于，根据二次函数的性质分类讨论求得的最大值，并由得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由已知，设，则，又，， 所以， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. 12．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围. 【详解】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． 13．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 【答案】 【分析】按照焦点在轴上或焦点在轴上讨论求解即可. 【详解】由题可知，当焦点在轴上时，，，而，所以， 因为，所以，即：，解得. 当焦点在轴上时，得， ，，， ， 又因为，所以， 即：，解得满足，成立. 故答案为：. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，求出，由于，根据二次函数的性质分类讨论求得的最大值，并由得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由已知，设，则，又，， 所以， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. 15．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围. 【详解】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． 16．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 【答案】 【分析】按照焦点在轴上或焦点在轴上讨论求解即可. 【详解】由题可知，当焦点在轴上时，，，而，所以， 因为，所以，即：，解得. 当焦点在轴上时，得， ，，， ， 又因为，所以， 即：，解得满足，成立. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 椭圆的几何性质 教学目标 1.掌握椭圆的简单几何性质。 2.了解椭圆的简单应用。 教学重难点 1.重点 （1）椭圆的几何性质； （2）利用椭圆的几何性质解决维妮塔。 2.难点 椭圆离心率对椭圆的影响。 知识点01 椭圆的几何性质 椭圆的简单几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 焦点 焦距 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 的关系 【即学即练】 （25-26高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 知识点02 椭圆几何性质的应用 1.椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． 2.明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． 3.椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c． 【即学即练】 （25-26高二上·江西宜春·阶段检测）（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 知识点03 椭圆的离心率 1.椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0<e<1. 2.＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2. 【即学即练】 （25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 题型01 根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【变式3】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式2】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高二上·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【变式4】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 题型03 求椭圆离心率的值 【典例1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·重庆·阶段检测）若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型04 求椭圆离心率的范围 【典例1】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05 根据椭圆的离心率求参数 【典例1】（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【变式1】（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【变式4】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆与的离心率相等，则______． 题型06 椭圆离心率的大小与椭圆圆扁的关系 【典例1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（福建省部分优质高中2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 题型07 椭圆的有界性及应用 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段检测）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为________. 【变式3】（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知为椭圆的右焦点，的顶点为椭圆上的三点，且，则顶点的横坐标的取值范围为__________． 【变式4】（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 1.（25-26高三上·江西抚州·期末）椭圆的短轴长为__________. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 4．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 5．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 6．（25-26高二上·河北邢台·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（    ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆长轴长为4 B．椭圆的短轴长为 C．若椭圆的离心率为，则 D．当椭圆的离心率时， 8．（2025·湖北黄冈·三模）（多选）若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 10．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知正方形，则以点为焦点，且经过两点的椭圆的离心率为（） A． B．1 C． D． 11．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 12．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的上焦点，若中，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）底面直径为10的圆柱被与底面成的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的离心率为__________． 14．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 15．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若椭圆：的离心率是，则______. 16．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 17．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 18．（26-27高二上·河北保定·期 中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 21．（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 22．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 23.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 24．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 25．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 26．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 27．（2026·广东深圳·模拟预测）椭圆的离心率为______． 28．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 29．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）椭圆的离心率为___________. 30．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）椭圆的离心率为________． 31．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 32．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 33．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． (1)求的方程； (2)若在第一象限，，求点的坐标； (3)若，求的面积． 1.（专项练—数学模型与应用3）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）. A．15 B．20 C．22 D．25 2．（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南永州·一模）（多选）设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 5．（2025高二上·福建厦门·专题练习）（多选）已知曲线，则（    ） A．当时，是焦距为的椭圆 B．当是焦点在轴上的椭圆时， C．若曲线为椭圆，的取值范围是 D．若椭圆的离心率为时， 6．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 7．（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 12．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 13．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 15．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 16．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $