2.5.2 椭圆的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，从椭圆标准方程入手，通过问题引导探究边界、对称性、特殊点，系统梳理范围、顶点、焦点、离心率等性质，再过渡到性质应用，形成“方程推导性质-性质解决问题”的完整学习支架。 资料以问题驱动与分层设计为特色，通过问题链培养直观想象（如椭圆对称性的几何直观分析），题型分类（求方程、离心率等）强化数学运算与逻辑推理（如利用特征三角形推导a,b,c关系）。课中助力教师系统授课，课后例题与练习帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

2．5.2　椭圆的几何性质 [学习目标] 知识层面 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．　2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 素养层面 通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 问题1.如图所示，椭圆方程为＋＝1，你能根据方程确定椭圆的边界吗？ 提示：能．由方程＋＝1， 得＝1－≥0，得－a≤x≤a， 同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于x＝±a和y＝±b围成的矩形内． 问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称．方程中若(x，y)满足，则易知(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)也满足． 问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a，故(±a，0)，(0，±b)为特殊点． 知识点　椭圆的简单几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 范围 x∈[－a，a]， y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a] 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a 短轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 微提醒 1．椭圆的特征三角形 a是椭圆的半长轴长，b是椭圆的半短轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图，a，b，c恰好构成一个直角三角形．这个三角形就是椭圆的特征三角形，直观地显示出a，b，c三者之间的关系．由此可得“已知椭圆的四个顶点作其焦点”的方法：以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点． 2．准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程度． 由＝ ＝(0<e<1)可知， 学生用书↓第87页 (1)当e越趋近于1时，越趋近于0，椭圆越扁； (2)当e越趋近于0时，越趋近于1，椭圆越接近于圆． 当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.　　 1．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则(　　) A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3，2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 答案：C 解析：因为点(3，2)在椭圆＋＝1上，由椭圆的对称性可得点(3，－2)、(－3，2)、(－3，－2)均在椭圆＋＝1上． 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，　　　　　　　 B．10，6， C．5，3， D．10，6， 答案：B 解析：椭圆可变形为＋＝1，因为焦点在y轴上， 所以a＝5，b＝3，所以长轴长为10，短轴长为6，e＝＝. 3．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为________． 答案：2 解析：因为椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，所以m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，所以m＝2，则椭圆方程为＋＝1，所以a＝，2a＝2. 4．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，所以a2＝b2＋(a－1)2，解得a＝5，所以c＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝. 题型一　椭圆几何性质的简单应用 (1)已知椭圆x2＋my2＝1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝(　　) A． B．2 C． D．4 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． [思路点拨]　解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． 答案：(1)C 解析：(1)把椭圆x2＋my2＝1化成标准式x2＋＝1，因为椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以 ＝2，解得m＝，故选C. (2)椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， 所以e＝＝＝， 所以m＝3，所以b＝，c＝1， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， 所以c＝， 所以e＝＝＝，解得m＝， 所以a＝，c＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0)． 方法技巧 1．已知椭圆方程不是标准形式时，应先化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上，再讨论其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置． (2)椭圆的范围决定椭圆的大小． (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度． (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点．　　 对点练1.(1)过椭圆 ＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　) A．8，6 B．4，3 C．2， D．4，2 (2)椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意可得a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1，所以a＝2，c＝1.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦的长为椭圆的长轴的长，即2a＝4.过椭圆＋＝1的焦点的最短弦的长为过焦点且垂直于x轴的弦长．在＋＝1中，令x＝1，得y＝±.所以过椭圆＋＝1的焦点的最短弦的长为2×＝3.综上，故选B. (2)椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.椭圆＋＝1(k<9)的长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为.因此两个椭圆的焦距相等．故选C. 学生用书↓第88页 题型二　由椭圆的几何性质求标准方程 (链教材P141练习BT1)根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)长轴长为10，离心率为； (2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6. [思路点拨]　 (1)由2a＝10， 求得a→由＝及a， 求得c→由b2＝a2－c2 求得b2写出两个 标准方程 (2)由焦距为6 求得c→由已知垂直 关系求得b→由a2＝b2＋c2 求得a2写出标准方程 解：(1)由题意，得2a＝10，所以a＝5. 又e＝＝，所以c＝3. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16. 当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. (2)如图，因为焦距为6， 所以2c＝6， 所以c＝3. 因为B1F⊥B2F， 所以∠B1FO＝45°， 所以|OB1|＝|OF|，所以b＝c＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18. 因为焦点在x轴上，所以所求的椭圆的标准方程为＋＝1. 方法技巧 已知椭圆的几何性质求标准方程的步骤 1．确定焦点所在的坐标轴，确定椭圆标准方程的形式； 2．建立关于a，b，c的关系式或方程(组)，并解出a，b的值； 3．写出椭圆的标准方程．　　 对点练2.(1)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．x2＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________． 答案：(1)A　(2)＋＝1 解析：(1)因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A. (2)因为直线x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，所以椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.设O(0，0)，则kOP＝，因为OP⊥AB，所以kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，所以直线AB与y轴的交点为(0，2)，所以b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1. 题型三　求椭圆的离心率 (链教材P139例2)(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． [思路点拨]　(1)求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式．(2)设法建立关于a、c的不等式． 答案：(1)　(2) 解析：(1)方法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． (2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥，又因为0<e<1，所以椭圆离心率的取值范围是. [变式探究] 1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 解：在△PF1F2中， 因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， 所以∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，如图， 故|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， 所以＝， 所以e＝＝＝＝. 2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 解：由题意，知以F1F2为直径的圆与椭圆相交，故c>b，所以c2>b2. 又b2＝a2－c2， 所以c2>a2－c2，即2c2>a2，所以e2＝>， 所以e>，又0<e<1， 所以C的离心率的取值范围为. 学生用书↓第89页 方法技巧 求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为a、b、c的方程或不等式，再求解． (1)若已知a、c可直接代入e＝求得． (2)若已知a、b则使用e＝求解． (3)若已知b、c，则求a，再利用(1)求解． (4)若已知a、b、c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)． (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a、b、c的关系，再列方程(不等式)求解．由于a、b、c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解．　　 对点练3．(1)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由题意可知＝＝＝＝a，＝2c，在△AF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1AF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝.故选C. (2)方法一：因为椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，所以以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆必有交点，如图，b≤c，所以b2≤c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2≤c2，即a2≤2c2，则e2＝≥，又因为0<e<1，所以≤e<1，所以椭圆的离心率e的取值范围为. 方法二：由椭圆上存在一点P使得∠F1PF2＝90°，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.又因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以e2＝＝＝1－，由＋≥2(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，所以e2≥，又因为0<e<1，所以≤e<1. 方法三：(速解)由sin ≤e<1得≤e<1. 题型四　椭圆的实际应用 某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C.现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计)，A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5∶3，试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标)． [思路点拨]　利用待定系数法求出椭圆方程―→利用点P到A、B两点的距离求出鱼群P的位置坐标 解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为2a＝8，2c＝4， 所以a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝12， 于是椭圆C的方程为＋＝1. (2)易知A(－2，0)，B(2，0)． 因为|PA|∶|PB|＝5∶3，|PA|＋|PB|＝8， 所以|PA|＝5，|PB|＝3. 设P(x，y)，则解得 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 方法技巧 1．解决与椭圆相关的应用题的基本策略： (1)通过求解椭圆的方程来研究它们的性质； (2)应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解． 2．利用椭圆解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的坐标系； (2)求出椭圆的标准方程(待定系数法)； (3)根据椭圆的方程及性质解决实际问题．　　 对点练4．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(距地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一个直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ 答案：ABD 解析：因为地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得所以(*)故A，B正确；由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)，所以b＝.故D正确． 学生用书↓第90页 题型五　与椭圆有关的综合问题 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围． [思路点拨]　(1)由点P(－，1)在椭圆上和＋＝0，M在y轴上，可得到两个关于a，b的关系式，联立解得b2＝2，a2＝4.从而能得到所求椭圆C的方程． (2)点M(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为M(x1，y1)，由题设能导出3x1－4y1＝－5x0，由点P(x0，y0)在椭圆C上，知－2≤x0≤2.由此可求出3x1－4y1的取值范围． 解：(1)因为点P(－，1)在椭圆上， 所以＋＝1.① 又因为＋＝0，M在y轴上， 所以M为PF2的中点，所以－＋c＝0，c＝. 所以a2－b2＝2.② 联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，所以a2＝4. 故所求椭圆C的方程为＋＝1. (2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)， 所以 解得 所以3x1－4y1＝－5x0. 因为点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上， 所以－2≤x0≤2， 所以－10≤－5x0≤10， 即3x1－4y1的取值范围为[－10，10]． 方法技巧 椭圆几何性质的拓展 1．设椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|PO|有最小值，这时P在短轴端点处；当x＝a时，|PO|有最大值，这时P在长轴端点处． 2．椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． 3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式a2＝b2＋c2. 4．椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点．　　 对点练5．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，则|PA|的最小值为________． 答案：2 解析：设P(x，y)，则|PA|＝＝.因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7.则|PA|＝＝.因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2. 易错点1　忽略焦点位置致错 若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值． [正解]　①若焦点在x轴上，即当k＋8>9时，a2＝k＋8，b2＝9. 又因为e＝＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝4. ②若焦点在y轴上，即当0<k＋8<9时，a2＝9，b2＝k＋8. 又因为e＝，所以e2＝＝＝＝，解得k＝－. 综上可知，k＝4或k＝－. [易错探因]　错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论． [误区警示]　在解椭圆的有关问题时，有时需要进行分类讨论，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，就需要分类讨论． 易错点2　忽略椭圆的范围致错 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程． [正解]　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则e2＝＝＝1－＝， 所以＝，即a＝2b. 学生用书↓第91页 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d， 则d2＝x2＋＝a2＋y2－3y＋ ＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)． 若b<，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是()2＝， 解得b＝±－，与0<b<矛盾． 所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值，即4b2＋3＝()2，解得b2＝1，所以a2＝4. 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. [易错探因]　本题易忽略椭圆方程中y的取值范围，在解题时直接得：当y＝－时，d2有最大值．事实上，由于点(x，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论． [误区警示]　与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定要注意函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 $