2.5.2 椭圆的几何性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，系统梳理椭圆的标准方程（焦点在x轴和y轴两种形式）、范围、顶点、轴长、对称性、离心率等内容，构建从定义到性质推导再到应用（如由方程研究性质、求离心率、标准方程及实际问题）的学习支架。 该资料特色鲜明，结合“天宫一号”运行轨迹、嫦娥六号轨道等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过表格对比焦点位置不同的椭圆性质，“母题探究”深化推理，培养数学思维。题型分层设计（判断、选择、解答）助力学生用数学语言表达，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

2.5.2　椭圆的几何性质 课标 要求 1.掌握椭圆的简单几何性质（直观想象）. 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想（数学运算）. 　　 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现. 【问题】　你知道椭圆有什么样的性质吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 　A1（－a，0），A2（a，0），　 　B1（0，－b），B2（0，b）　 　A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）　 轴长 长轴长＝　2a　，短轴长＝　2b　 对称性 对称轴 　x轴和y轴　，对称中心　（0，0）　 离心率 e＝　（0＜e＜1）　 提醒：椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆. 【想一想】 1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？ 提示：能，e＝. 2.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a.（　×　） （2）椭圆＋＝1的离心率e＝.（　×　） （3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）.（　√　） （4）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.（　√　） 2.椭圆＋＝1的长轴长为（　　） A.2　　　　　　　　 B.4 C.8　 D.4 解析：C　由＋＝1，可得a＝4，所以长轴长为2a＝8.故选C. 3.椭圆x2＋4y2＝4的离心率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　∵x2＋4y2＝4⇒＋y2＝1，∴a2＝4，b2＝1.∴c2＝a2－b2＝3，e＝＝.故选D. 4.已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为　＋＝1或＋＝1　. 解析：设椭圆的方程为＋＝1或＋＝1（a＞b＞0），由题意可得解得若椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的标准方程为＋＝1，若椭圆的焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为＋＝1. 　　 题型一　椭圆的几何性质 角度1　由椭圆方程研究几何性质 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m（m＞0）的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 解：椭圆方程可化为＋＝1（m＞0）. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1（－1，0），F2（1，0），顶点坐标为A1（－2，0），A2（2，0），B1（0，－），B2（0，）. ②当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1（0，－），F2（0，），顶点坐标为A1（0，－），A2（0，），B1（－2，0），B2（2，0）. 规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质. 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍. 1.〔多选〕已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（　　） A.a2＝25　 B.b2＝25 C.a2＝9　 D.b2＝9 解析：AD　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，且椭圆＋＝1的短轴长为6，所以椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，即a2＝25，b2＝9.故选A、D. 2.已知椭圆C：＋＝1的长轴长为4，则C的焦距为　2　. 解析：因为椭圆C：＋＝1的长轴长为4，所以2＝4，解得m＝4，所以c2＝4－3＝1，即c＝1，故C的焦距为2c＝2. 角度2　椭圆离心率的求法 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为　　. 解析：因为｜BF1｜＝｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由题意知a＝2c，所以e＝＝. 【母题探究】 （变条件）〔一题多解〕若本例条件变为“已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是等边三角形（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为　－1　. 解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形，所以A（，c），代入椭圆方程得＋＝1　①，又a2＝b2＋c2　②，联立①②得c2＝（4－2）a2，即c＝（－1）a，则椭圆C的离心率e＝＝－1. 法二　连接AF1，则∠AF1O＝∠OAF1＝，所以∠F1AF2＝，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＝c，又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1. 规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 1.设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 2.已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则离心率e的最大值为　　. 解析：由题意得5a＞4a2＋1，∴＜a＜1，∴椭圆的离心率e＝＝≤＝（当且仅当4a＝，即a＝时取等号），∴椭圆的离心率的最大值为. 题型二　利用几何性质求标准方程 （链接教科书第141页练习A2题）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：（1）设椭圆的方程为 ＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0）. 由已知得2a＝10，a＝5. 又∵e＝＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. （2）依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）. 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等. 1.已知椭圆一个焦点（2，0），离心率为，则椭圆的标准方程（　　） A.＋＝1　 B.x2＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：D　因为椭圆一个焦点（2，0），所以椭圆的焦点在横轴上，且c＝2，又因为该椭圆的离心率为，所以有＝⇒a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，因此椭圆的方程为＋＝1，故选D. 2.已知椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：A　设椭圆焦距为2c，由题意得解得则b＝＝，所以椭圆方程为＋＝1. 题型三　椭圆的实际应用问题 （链接教科书第140页例4）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）. 解：如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点（记F1为左焦点）， 设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 则a－c＝｜OA｜－｜OF2｜＝｜F2A｜＝6 371＋439＝6 810， a＋c＝｜OB｜＋｜OF2｜＝｜F2B｜＝6 371＋2 384＝8 755， ∴a＝7 782.5≈7 783. ∴b＝ ＝＝≈7 721， ∴卫星运行的轨道方程是＋＝1. 规律方法 解决椭圆的实际问题的基本步骤 （1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； （2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； （3）利用椭圆知识及其他相关知识求解. 　嫦娥六号月球探测器于2024年5月3日搭载长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，8日顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3 988公里；③两焦点坐标约为（0，±150）；④离心率约为.则上述结论正确的是（　　） A.①②④　 B.①③ C.①③④　 D.②③④ 解析：C　依题意⇒⇒2c＝300，①正确；2a＝3 976，②错误；焦点坐标为（0，±150），③正确；离心率e＝＝＝，④正确.所以正确的为①③④.故选C. 　　 1.椭圆C：＋y2＝1，下列结论不正确的是（　　） A.离心率e＝　 B.长轴长为4 C.焦距为2　 D.短轴长为1 解析：D　因为椭圆C：＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，因此离心率e＝，故A正确；长轴长为2a＝4，故B正确；短轴长为2b＝2，故D错误；焦距为2c＝2，故C正确.故选D. 2.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：A　由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72.又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1. 3.〔多选〕已知椭圆的标准方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值可能是（　　） A.4　 B. C.6　 D. 解析：AB　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或. 4.若椭圆＋＝1的离心率为，则实数k的值为　－或10　. 解析：当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝，c＝＝，所以离心率e＝＝＝，解得k＝10；当椭圆的焦点在y轴上时，则a＝3，c＝＝，所以离心率e＝＝＝，解得k＝－.综上可得实数k的值为－或10. 　　 1.已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（　　） A.3　 B.6 C.8　 D.12 解析：B　椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以2a＝10，2c＝8，可得a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，可得b＝3，所以该椭圆的短轴长2b＝6，故选B. 2.过点（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：C　由3x2＋8y2＝24化简可得＋＝1，焦点为（±，0）在x轴上，同时又过（3，2）点，设＋＝1，有解得a2＝15，b2＝10，故选C. 3.已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左，右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为（　　） A.6　 B.15 C.6　 D.3 解析：D　由椭圆方程＋＝1得A（0，3），F1（－，0），F2（，0），∴｜F1F2｜＝2.∴＝｜F1F2｜·｜yA｜＝×2×3＝3.故选D. 4.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图①，②，③中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为，，，设图①，②，③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　） A.e1＞e2＞e3　 B.e1＞e3＞e2 C.e2＞e1＞e3　 D.e2＞e3＞e1 解析：A　椭圆的短轴长与长轴长的比值为＝，椭圆的离心率公式为e＝＝＝＝，故e1＝，e2＝，e3＝，故e1＞e2＞e3.故选A. 5.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且·＝0，＝4，则椭圆E的离心率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　设｜BF2｜＝x，因为＝4，则｜AF2｜＝3x，由椭圆的定义可得｜AF1｜＝2a－3x，｜BF1｜＝2a－x，因为·＝0，即∠F1AF2＝，在Rt△F1AB中，则｜AF1｜2＋｜AB｜2＝｜BF1｜2，即（2a－3x）2＋（4x）2＝（2a－x）2，解得x＝，可得｜AF1｜＝｜AF2｜＝a，在Rt△AF1F2中，可得｜AF1｜2＋｜AF2｜2＝｜F1F2｜2，即a2＋a2＝（2c）2，整理得a2＝2c2，所以椭圆E的离心率为e＝＝＝. 6.〔多选〕设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且｜PF1｜－｜PF2｜＝2，则下列说法中正确的是（　　） A.｜PF1｜＝3 B.△PF1F2的周长为6＋2 C.△PF1F2的面积为4 D.点P在圆x2＋y2＝5上 解析：BCD　由＋＝1，得a2＝9，b2＝4，则a＝3，b＝2，c＝＝，因为P是椭圆上一点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，故A错误；△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故B正确；因为｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2，所以△PF1F2为直角三角形，PF2⊥PF1，所以＝×2×4＝4，故C正确；因为△PF1F2为直角三角形，所以｜OP｜＝｜F1F2｜＝，故点P在圆x2＋y2＝5上，故D正确.故选B、C、D. 7.若椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为　＋＝1　. 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1. 8.如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝　35　. 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 9.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为.若A，B分别是椭圆的上、下顶点，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上任意一点，且·＝－，则△PF1F2的面积为　　. 解析：因为所以a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆方程为＋x2＝1，设P（x0，y0），椭圆的上、下顶点分别为A（0，2），B（0，－2），所以＝（－x0，2－y0），＝（－x0，－2－y0），且＋＝1，所以·＝＋－4＝＋4－4－4＝－，所以＝，即得＝｜F1F2｜×｜x0｜＝×2c×＝×＝. 10.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1（b＞0）的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值. 解：设P点的坐标为（x0，y0）. 由题意知a＝2，因为e＝ ＝ ，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆方程为 ＋ ＝1.所以－2≤x0≤2，－≤y0≤ . 又F（－1，0），A（2，0），＝（－1－x0，－y0），＝（2－x0，－y0）， 所以·＝－x0－2＋＝－x0＋1＝（x0－2）2. 当x0＝2时，·取得最小值0， 当x0＝－2时，·取得最大值4. 11.〔多选〕已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6，F，F'分别是椭圆的左、右焦点，A（1，1）是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是（　　） A.｜PF｜＋｜PF'｜＝6 B.椭圆E的标准方程为＋＝1 C.｜AF'｜＝2 D.｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋ 解析：ABD　由题意可知：解得∴｜PF｜＋｜PF'｜＝2a＝6，A选项正确；∴b2＝a2－c2＝5，∴椭圆E：＋＝1，B选项正确；∵F'（2，0），∴｜AF'｜＝＝，C选项错误；｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋2a－｜PF'｜≤2a＋｜AF'｜＝6＋，当且仅当F'在A，P之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确. 12.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点分别为F1（0，－c），F2（0，c），过椭圆外一点P（0，3c）和右顶点M的直线交椭圆于另一点N，若MF1∥NF2，则椭圆的离心率为　　. 解析：因为F1（0，－c），F2（0，c），P（0，3c），可得F2为F1P的中点，又MF1∥NF2，所以N是PM中点，因为M（b，0），则N（，），代入椭圆方程可得＋＝1，所以＝，所以＝，则离心率e＝＝. 13.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）.若过F1的直线和圆（x－c）2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是　　，椭圆的离心率是　　. 解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A（c，0），则｜AM｜＝c，｜AF1｜＝c，所以｜MF1｜＝c，所以该直线的斜率k＝＝＝.因为PF2⊥x轴，所以｜PF2｜＝，又｜F1F2｜＝2c，所以k＝＝＝＝，得e＝. 14.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，并且经过定点P. （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，M（x0，y0）为E上的一点，若△MF1F2为直角三角形，求y0的值. 解：（1）设椭圆E的半焦距为c， 则解得 所以椭圆方程为＋y2＝1. （2）由（1）得F1（－，0），F2（，0）， 若MF1⊥F1F2，则M（－，y0），代入椭圆方程得＋＝1，得y0＝±； 若MF2⊥F1F2，则M（，y0），代入椭圆方程得＋＝1，得y0＝±； 若MF2⊥MF1，则·＝－3＋＝0， 又＋＝1，解得所以y0＝±， 综上，y0＝±或y0＝±满足题意. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $