精品解析：上海市闵行区浦江第一中学2026-2027学年上学期九年级数学学科节点练习（1）

九年级数学学科节点练习（1） （考试时间：100分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. 是一次函数，不符合题意． B. ，是二次函数，符合题意． C. ，是一次函数，不符合题意． D. 未明确，不一定是二次函数，不符合题意． 2. 下列各组图形中，有可能不相似的是（ ） A. 各有一个角是的两个等腰三角形； B. 各有一个角是的两个等腰三角形； C. 各有一个角是的两个直角三角形； D. 两个等腰直角三角形． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【详解】A、各有一个角是的两个等腰三角形，可能是顶角为，也可能底角为，所以对应角不一定相等，所以不一定相似，符合题意； B、各有一个角是的两个等腰三角形，的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故不符合题意； C、各有一个角是的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故不符合题意; D、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故不符合题意； 故选：A． 3. 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 4. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A. y=2x2+3 B. y=2x2﹣3 C. y=2（x+3）2 D. y=2（x﹣3）2 【答案】D 【解析】 【分析】先确定抛物线的顶点坐标是坐标原点，然后根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据平移变换不改变图形的形状，利用顶点式形式写出即可． 【详解】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位 ∴平移后的顶点坐标为（3，0）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝2（x－3）2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟记平移规律“左加右减，上加下减”． 5. 已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例，可得新三角形三边比也为，进而根据新三角形最短边为新三角形的其他两边长，再相加即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似三角形对应边成比例，且原三角形三边比为， ∴新三角形三边比也为，设新三角形三边分别为、、， ∵新三角形的最短边， ∴， ∴新三角形的另两边长分别为， ∴新三角形的周长为， 故选：． 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵不一定相等， 不一定成立，故②错误． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 8. 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，正确理解黄金分割点是解题的关键． 根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将代入计算即可． 【详解】解：根据已知条件，画图分析： 点是线段的黄金分割点，且， 即 ． 故答案为：． 9. 已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知比例即可计算． 【详解】解：． 10. 如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比． 11. 图中的三角形相似的是______． 【答案】（1）和（2） 【解析】 【分析】通过判断三边是否对应成比例来确定相似三角形． 【详解】解：图（1）中； 图（2）； 图（3）； 图（4）， ∵（1）和（2）中， ∴这两个三角形相似， 所以答案为（1）和（2）． 12. 已知线段是线段、的比例中项，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得，代入数值求解即可． 【详解】解：线段是线段的比例中项，， （负值舍去） 故答案为：． 13. 将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“上加下减”规律，计算得到平移后的抛物线表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线表达式为，向下平移个单位，平移符合“上加下减”的规律， ∴ 平移后得到的抛物线表达式为． 14. 已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先令得到一元二次方程，利用结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 15. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 16. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 17. 如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论：①；②；③； ④若，，，为函数图像上的两点，则． ⑤当，；其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定的符号及关系；由抛物线与轴交点个数判断；利用对称性求出另一交点坐标，结合时的函数值判断代数式符号；利用二次函数增减性或对称性比较函数值大小；根据图像在轴上方的部分确定不等式解集． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ． 对称轴为直线， ，即． ， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ， 结论①不一定成立，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为. 当时，． ， ， ，即， ． ， ，即，故③正确； 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ，且抛物线开口向下， ，故④错误； 抛物线与轴交点为和，且开口向下， 当时，，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是②③⑤． 18. 如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点E，将绕点E旋转得到，点A的对应点F落在边上，点D的对应点G落在边上，连接与交于点H，那么的值______． 【答案】 【解析】 【分析】分别延长，，交于N，M，根据旋转的性质和等边对等角得到，根据平行四边形的性质得到，，，进而根据得到，根据等角对等边得到，，根据等腰三角形三线合一得到，即，，证明，得到，证明，得到，求出，则，证明，根据计算即可． 【详解】解：如图所示，分别延长，，交于N，M． 由题知：， ∴， ∵平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴ 即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， 解得 ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共6题，共78分） 19. 抛物线中，函数值y与自变量之间的部分对应关系如下表： … 0 1 … y … 0 … （1）求该抛物线的表达式； （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2,4）的位置，那么其平移的方法是____________. 【答案】（1）；（2）向右移3个单位，向上移4个单位； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移规律：向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加解答． 【详解】将（-1，0）、（0，-1）、（1，-4）代入， 得： ， ∴二次函数的表达式为：y=-x2-2x-1； （2）将y=-x2-2x-1化为顶点式为y=-(x+1)2, ∴抛物线y=-x2-2x-1的顶点坐标为（-1,0）. ∵平移后抛物线顶点为M（2，4）， ∵2-（-1）=2+1=3， 4-0=4， ∴平移过程为：向右平移3个单位，向上平移4个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．同时也考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 20. 已知抛物线， （1）当实数m满足什么条件时，该抛物线与x轴有交点？ （2）当实数m满足什么条件时，其顶点在y轴上． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴有交点，需满足，，据此列不等式，解出即可得当实数m满足且时，与x轴有交点． （2）根据抛物线顶点在y轴上时，需满足顶点横坐标为0，，据此列方程，解出即可得当实数m满足时，顶点在y轴上． 【小问1详解】 解：根据题意得：抛物线与x轴有交点，需满足： ，，解得：且， ∴当实数m满足且时，与x轴有交点． 【小问2详解】 解：当抛物线顶点在y轴上时，满足： ，，解得：， ∴当实数m满足时，顶点在y轴上． 21. 如图，已知在正方形中，，点为边延长线上一点，，连接，线段交于点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）通过证明，可求．根据（1）所证，可得出，从而即可求出． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 22. 如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1） 证明：是中的角平分线， ． ， ， ； （2） 证明：， ． ，， ， 又∵， ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，解一元二次方程： （1）先由角平分线的定义得到，再证明，据此可根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似证明； （2）根据相似三角形的性质得到，再证明，据此可根据两个角对应相等的两个三角形相似证明； （3）由相似三角形的性质得到，即，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． 23. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1）与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 （2）的值为或，收入与的新关系式为 （3），理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【解析】 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； 【小问2详解】 解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； 【小问3详解】 略 24. 如图，抛物线过点、，点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N． （1）求直线和抛物线的表达式． （2）当的面积最大时，求此时m的值． （3）如果点P是的中点，那么求此时点N的坐标． （4）当与相似时，求点M的坐标． 【答案】（1）直线表达式为 ，抛物线表达式为 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； (2)根据题意得出， ，求出，根据三角形面积公式求出，再根据二次函数性质进行求解即可； （3）由（2）可知：， ， 则，再由得出方程，求解即可； （4）分两种情况进行讨论即可得解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得： ， ∴直线的解析式为； ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N， ∴，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值； 【小问3详解】 解：由（2）可得：，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 【小问4详解】 解：∵，， ， ∴，， ∴， ∵ ∴当与相似时，存在以下两种情况： ①当时，则， ∴， 解得：或或， 当时，，， ∴是原方程的增根，舍去； 当时，点P、点N、点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， 解得；或或， 当时，，， ∴是原方程的增根，舍去； 当时，点P、点N、点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴； ∴点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科节点练习（1） （考试时间：100分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中，有可能不相似的是（ ） A. 各有一个角是的两个等腰三角形； B. 各有一个角是的两个等腰三角形； C. 各有一个角是的两个直角三角形； D. 两个等腰直角三角形． 3. 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A. y=2x2+3 B. y=2x2﹣3 C. y=2（x+3）2 D. y=2（x﹣3）2 5. 已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 8. 如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 9. 已知，那么______． 10. 如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 11. 图中的三角形相似的是______． 12. 已知线段是线段、的比例中项，，，那么______． 13. 将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线表达式为______． 14. 已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 15. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 16. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 17. 如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论：①；②；③； ④若，，，为函数图像上的两点，则． ⑤当，；其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______． 18. 如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点E，将绕点E旋转得到，点A的对应点F落在边上，点D的对应点G落在边上，连接与交于点H，那么的值______． 三、解答题（本大题共6题，共78分） 19. 抛物线中，函数值y与自变量之间的部分对应关系如下表： … 0 1 … y … 0 … （1）求该抛物线的表达式； （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2,4）的位置，那么其平移的方法是____________. 20. 已知抛物线， （1）当实数m满足什么条件时，该抛物线与x轴有交点？ （2）当实数m满足什么条件时，其顶点在y轴上． 21. 如图，已知在正方形中，，点为边延长线上一点，，连接，线段交于点． （1）求的值； （2）求的值． 22. 如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的长． 23. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 24. 如图，抛物线过点、，点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N． （1）求直线和抛物线的表达式． （2）当的面积最大时，求此时m的值． （3）如果点P是的中点，那么求此时点N的坐标． （4）当与相似时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $