专题03 线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形 期中复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解线段垂直平分线、角平分线的定义，熟练掌握性质定理与逆定理，分清条件与结论，规范书写几何推理语言。 2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，会运用 “等边对等角”“等角对等边”“三线合一” 进行角度计算与几何证明。 3.掌握含 30° 角的直角三角形性质；识别常见几何模型，会添加对应辅助线，完成线段相等、角相等的证明以及边长、角度计算。 4.能够综合运用本单元知识完成简单几何综合证明，规范书写证明步骤，辨析易混概念，规避常见失分点。 ✵高频题型梳理 题型1.等腰三角形的定义、及边角的关系 题型2.等腰三角形三线合一性质 题型3.格点图中等腰三角形的绘制及识别 题型4.利用等角对等边证明等腰三角形 题型5.利用等角对等边证明边相等 题型6.利用等角对等边求解边长 题型7.等腰三角形的性质与判定综合 题型8.等边三角形的性质与判定综合 题型9.直角三角形两锐角互余及直角三角形判定 题型10.含30°角的直角三角形性质 题型11.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 题型12.线段垂直平分线的性质与判定 题型13.角平分线的性质定理与判定定理 题型14.角平分线性质的实际应用 题型15.旋转模型综合（全等三角形辅助线） 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言：∵l⊥AB,AC=CB∴直线l是线段AB的垂直平分线​。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线I垂直平分AB,点P在直线I上，∴PA=PB 3.判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 4线段垂直平分线尺规作图：以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点连线就是垂直平分线。 知识点二、角平分线 1.角平分线的定义、性质 2.角平分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 几何语言：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN. ∴P在∠AOB的角平分线上.∴OP为∠AOB的角平分线. 3.角平分线尺规作图：以角顶点为圆心画弧交角两边；再以两个交点为圆心，大于两交点距离一半长为半径在角内部画弧，两弧交于一点，连接顶点与该交点，即为角平分线。 4.常用辅助线：（1）过角平分线上的点向角两边作垂线（构造全等直角三角形）； （2）连接角平分线与三角形顶点（转化线段、角关系）。 知识点三、等腰三角形定义及性质、判定 1.定义：有两条边相等的三角形为等腰三角形， 元素：相等的边叫腰；另一条叫底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 2.性质：（1）等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC，则∠B=∠C。（等腰三角形的两个底角相等） （2）三线合一，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC。 ① 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=DC； ② 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC； ③ 若 AD 是 BC 边上的高，则 AD 平分∠BAC，BD=DC。 （3）轴对称性：等腰三角形的对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边中线）所在直线，仅有1条对称轴。 3.判定:(1)有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 知识点四、等边三角形性质及判定 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形（是特殊的等腰三角形，三条边均可作为腰）。 2.性质：（1）三条边长度相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都等于60°；（3）是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的中线、高、所对内角的平分线重合）； 延伸性质：具备等腰三角形的所有性质（三线合一、两底角相等），且三线合一有3组。 3.判定定理：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（需先明确是等腰三角形） ✵易错提醒 1.使用角平分线性质，必须具备两组垂直条件，缺少垂直不能直接得到距离相等。 2.“三线合一” 的使用前提是三角形为等腰三角形，普通三角形不能使用。 3.区分：外心到三角形顶点距离相等；内心到三角形三边距离相等。 4.等腰三角形已知边长求周长、已知角度求内角时，需要分类讨论，求出结果后检验三边能否构成三角形。 ✵典例精讲 题型1.等腰三角形的定义及边角的关系 1．一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，结合已知的两边长，分类讨论两种边长组合；根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，验证每种组合是否能构成三角形；最后计算周长． 【详解】解：若腰为6，则三边为6、6、13，，不能构成三角形； 若腰为13，则三边为13、13、6，可以构成三角形，周长为． 2．如图，在中，是边的垂直平分线，，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，，根据等边对等角可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)． 【分析】（1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型2.等腰三角形三线合一性质 1．如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴． 2．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】作于点，证明，求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2） 略 题型3.格点图中等腰三角形的绘制及识别 1．如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点的个数是． 2．如图是一张长方形纸片，已知，，点、在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则构成等腰三角形的个数为___________．，其中一个等腰三角形边最长是___________ 【答案】 3 【分析】分三种情况当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 如图所示，当，是等腰三角形时，过点作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 综上所述，长是或或，最长的为 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)成立吗？ 【答案】(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （3） 略 题型4.利用等角对等边证明等腰三角形 1．如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵点为角平分线交点， ∴和分别平分和， ∴， ∵将平移，使其顶点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即图中阴影部分的周长为． 故选：D ． 2．如图，在中，是边的中点，，分别是边，上的点，连接，，，使，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确地添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长到，使，连接，过点作，交的延长线于点，证明和全等得，再根据三角形内角和定理得，进而得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，则；在中，由勾股定理得，证明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线性质即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 是线段的垂直平分线， ． 故答案为：． 3．如图，平分，点在上，点在的延长线上，且，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】利用平行线的性质得出，再利用角平分线的定义得出，然后等量代换得出，利用等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 题型5.利用等角对等边证明边相等 1．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 2．如图，将一张长方形纸片沿着线段折叠，已知B到的距离为，若重叠部分的的面积是，则线段的长为______． 【答案】 5 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得，进而得到，然后利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵到的距离为， ∴点到的距离为， ∵重叠部分的面积是， ∴ ， ∴， ∴． 3．如图在中，点O是和的平分线交点，过点O且平行于的直线分别交于点D、E．， 求的周长． 【答案】 【分析】由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为． 题型6.利用等角对等边求解边长 1．如图，在 中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 2．在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 问题解决 (1)如图1，与的位置关系是　 ；的取值范围是　 　 ； 问题应用 (2)如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系； 拓展延伸 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)； (2) (3)8 【分析】（1）证明，得到，则可得到；由三角形的三边关系可得，则，即； （2）延长到点，使得，连接．证明，得到，．再证明，可得； （3）延长到点H，使得，连接．同理可证明，得到．证明，推出，，设，则，，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由三角形的三边关系可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长到点H，使得，连接． 同理可证明， ∴，． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型7.等腰三角形的性质与判定综合 1．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 2．如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______． 【答案】9 【分析】连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，D为边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，四边形中，，点是上一点，平分，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，延长交的延长线于点． 平分， ， ， ， ， ． 又， ． 在和中，， ， ； (2)证明：， ， ． 【分析】（1）延长交的延长线于点，先证明，由三线合一得到，再证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合等量代换证明即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型8.等边三角形的性质与判定综合 1．如图所示，与均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连结交于点G，连结交于点F，连结，、交于点P，连结．有下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有几个？（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先证明，得到，，，再证明，得到，则①正确； 在线段上取一点，使，连接，证明，得到是等边三角形，则，故②正确；再结合，得到，故③正确；根据，，得到，则，故④正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 在线段上取一点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的序号为①②③④． 2．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线的意义，解答即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， 与的平分线相交于点， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，求证是等边三角形． 【答案】证明：， ， 又， ， ∴是等边三角形． 【分析】由，根据等腰三角形等边对等角，得到；再结合条件，推出三个内角都相等；三个内角都相等的三角形是等边三角形，即可得证． 【详解】略 题型9.直角三角形两锐角互余及直角三角形判定 1．如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可得，可得，即可求得． 【详解】解：将绕点C旋转，得到， ， ，即， ， ． 2．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 3．如图，已知于点，，的延长线交边于点． (1)若，，求的长； (2)线段和有什么关系?为什么? 【答案】(1)4 (2)； 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）由全等的性质即可求解； （2）由全等的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由略． 题型10.含30°角的直角三角形性质 1．如图，是一个中心对称图形，点为对称中心，若，，，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质可得，再由中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图形是一个中心对称图形，点为对称中心， ∴是的中点， ∴． 2．如图，在中，是高，，则_________． 【答案】 【分析】先求出，可求出的长，再求出的长，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是高， ， ， ， ． 3．如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 【答案】(1)证明：是边上的高， ． 是边上的中线， 是的中点． 在中，． ， 是等腰三角形． 点是的中点， （等腰三角形三线合一）． (2)的度数为，的长为 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形外角的性质结合已知可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． 是的外角， ． ， ，且平分， ． 在中，， 故：的度数为，的长为2． 题型11.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 1．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 2．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 【答案】10 【分析】根据尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，进一步得出点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴点是的中点． ∵在中，， ∴是斜边上的中线， ∴． 3．如图，，点M是中点，且于点N．求证：． 【答案】证明：连接， ∵，点M是中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】连接，先根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】略 题型12.线段垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到，通过线段等量代换，的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， 的周长． 2．如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推导出的最小值即为中边上的高是解题的关键． 先根据垂直平分线的判定与性质可得，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，利用勾股定理计算出，即可得到的长，再运用等面积法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，为的中点，交的平分线于于点，交延长线于． (1)求证：． (2)若，则求的长． 【答案】(1)证明：连接，， 平分，，， ， ∵为的中点，， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，，利用角的平分线性质，证明即可； （2）首先证明，再利用等量代换，解答即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图， ∵， ∴， ∴． ， ，， ， 解得． 故的长为． 题型13.角平分线的性质定理与判定定理 1．如图，在中，，，，平分交于点，，垂足为．则 的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 得 ，而 平分 、，由角平分线的性质得 ，再由 求出 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ 平分 ，，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 2．如图，是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点到，的距离相等；③点到的三边所在直线的距离相等；④点在的平分线上．其中正确的个数是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 过点作于，作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答． 【详解】解：如图，过点作于，作于，作于， ∵点是的两外角平分线的交点，，，， ∴，， ∴， ，，， ∴点在的平分线上，故②③④正确， 只有点是的中点时，，故①错误， 综上所述，说法正确的是②③④，有个． 故答案为：． 3．如图四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明： 如图，作垂足为M， ∵平分， ∴， 为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴平分； (2)证明：由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 【分析】（1）作垂足为M，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可； （2）通过证明和即可求解． 【详解】（1）略 （3） 略 题型14.角平分线性质的实际应用 1．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 2．如图，，平分，平分，若，则____．    【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型15.旋转模型综合（全等三角形辅助线） 1．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H． ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴BC=BT， ∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ， ∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ， ∴△TBP≌△CBQ（SAS）， ∴CQ=PT， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5， ∴CQ的最小值为5． 故选A 【点睛】本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F，由旋转的性质得，设，则 ，，证明，得，最后利用勾股定理来解答． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F， ∵，，，AB＝， ∴，， ∴，， ∴，． 在中，． ∵， ∴. 设， ∴ ，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵． 在和中 ， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 即 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形有判定和性质，勾股定理，旋转的性质，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键． 3．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】(1) 证明：∵，， ， ∴ ∵ ∴ (2)且， 理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ， ∴ (3)② 【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）由可得，结合可得，即可得； （3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴平分 假设①正确，即平分， 则有： ∴ 即： ∵平分， ， ， ， ， 故只有当时，①才成立； 故答案为：② ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 【答案】A 【分析】由平行线得到，然后结合角平分线得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由作图得，平分 ∴ ∴ ∴ ∴的周长为． 2．数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据线段的和差求出，再次根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 即支撑木条长度为． 3．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系是（   ） A．垂直平分线段 B．垂直平分线段 C．与互相垂直平分 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线的性质的应用，找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明． 根据三角形的角平分线的性质定理求出，证RtRt，推出，根据垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在Rt和Rt中， ， ∴Rt≌Rt， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线，即垂直平分， 故选：B． 5．如图，已知，，现有以下结论：①，②，③，④，则其中正确的为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据，，即可判断④正确；利用三角形内角和定理和对顶角性质，即可判断①正确；证明得出，即可判断②正确；证明，得出，即可判断③正确． 【详解】解：∵，， ∴， 即，故④正确； ∵， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； 综上，正确的有4个． 二、填空题 6．如图，已知中，是边上的高，平分交于点，，，则的面积等于_______． 【答案】 20 【分析】过点作于，利用角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 是边上的高， ， 平分，，， ， ∴． 7．如图，在中，，，，是的中点，现将沿方向平移，得到，交于，则的长等于___． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．根据角所对直角边等于斜边一半得出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知；然后由平移的性质推知；最后根据等腰三角形的性质即可求得的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴； ∴， 又∵将沿方向平移，得到， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质以及线段间的关系求出的长，然后根据正方形性质以及角度关系得到，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质计算求出中边上的高，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点F作于Q， 则，即是直角三角形． ∵是等边三角形，， ∴，． ∵，， ∴是等边三角形，且边长为1， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________． 【答案】12 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD＝OE＝OF，再根据三角形面积计算即可得解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∵， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∵△ABC的周长为12， ∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×2＝×12×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题 10．如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点F在线段的垂直平分线上， 又∵点O与点F不重合，且两点确定一条直线， ∴垂直平分． 【详解】（1）见答案 （2）见答案 11．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求证：平分． 【答案】(1)证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， 【分析】（1）先证明，，再利用证明，可得到； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 13．如图，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由得，结合已知边相等，利用证明，再利用对顶角和直角三角形锐角互余得，即可得； （2）先作构造直角三角形，结合中点条件证明，利用等腰直角三角形性质求出长，算出的面积，再借助中点即可得出面积． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点，则， 由（1）得， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ． 14．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解线段垂直平分线、角平分线的定义，熟练掌握性质定理与逆定理，分清条件与结论，规范书写几何推理语言。 2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，会运用 “等边对等角”“等角对等边”“三线合一” 进行角度计算与几何证明。 3.掌握含 30° 角的直角三角形性质；识别常见几何模型，会添加对应辅助线，完成线段相等、角相等的证明以及边长、角度计算。 4.能够综合运用本单元知识完成简单几何综合证明，规范书写证明步骤，辨析易混概念，规避常见失分点。 ✵高频题型梳理 题型1.等腰三角形的定义、及边角的关系 题型2.等腰三角形三线合一性质 题型3.格点图中等腰三角形的绘制及识别 题型4.利用等角对等边证明等腰三角形 题型5.利用等角对等边证明边相等 题型6.利用等角对等边求解边长 题型7.等腰三角形的性质与判定综合 题型8.等边三角形的性质与判定综合 题型9.直角三角形两锐角互余及直角三角形判定 题型10.含30°角的直角三角形性质 题型11.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 题型12.线段垂直平分线的性质与判定 题型13.角平分线的性质定理与判定定理 题型14.角平分线性质的实际应用 题型15.旋转模型综合（全等三角形辅助线） 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言：∵l⊥AB,AC=CB∴直线l是线段AB的垂直平分线​。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线I垂直平分AB,点P在直线I上，∴PA=PB 3.判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上。 4线段垂直平分线尺规作图：以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点连线就是垂直平分线。 知识点二、角平分线 1.角平分线的定义、性质 2.角平分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 几何语言：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN. ∴P在∠AOB的角平分线上.∴OP为∠AOB的角平分线. 3.角平分线尺规作图：以角顶点为圆心画弧交角两边；再以两个交点为圆心，大于两交点距离一半长为半径在角内部画弧，两弧交于一点，连接顶点与该交点，即为角平分线。 4.常用辅助线：（1）过角平分线上的点向角两边作垂线（构造全等直角三角形）； （2）连接角平分线与三角形顶点（转化线段、角关系）。 知识点三、等腰三角形定义及性质、判定 1.定义：有两条边相等的三角形为等腰三角形， 元素：相等的边叫腰；另一条叫底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 2.性质：（1）等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC，则∠B=∠C。（等腰三角形的两个底角相等） （2）三线合一，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言：在△ABC 中，AB=AC。 ① 若 AD 平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=DC； ② 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 平分∠BAC，AD⊥BC； ③ 若 AD 是 BC 边上的高，则 AD 平分∠BAC，BD=DC。 （3）轴对称性：等腰三角形的对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边中线）所在直线，仅有1条对称轴。 3.判定:(1)有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 知识点四、等边三角形性质及判定 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形（是特殊的等腰三角形，三条边均可作为腰）。 2.性质：（1）三条边长度相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都等于60°；（3）是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的中线、高、所对内角的平分线重合）； 延伸性质：具备等腰三角形的所有性质（三线合一、两底角相等），且三线合一有3组。 3.判定定理：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（需先明确是等腰三角形） ✵易错提醒 1.使用角平分线性质，必须具备两组垂直条件，缺少垂直不能直接得到距离相等。 2.“三线合一” 的使用前提是三角形为等腰三角形，普通三角形不能使用。 3.区分：外心到三角形顶点距离相等；内心到三角形三边距离相等。 4.等腰三角形已知边长求周长、已知角度求内角时，需要分类讨论，求出结果后检验三边能否构成三角形。 ✵典例精讲 题型1.等腰三角形的定义及边角的关系 1．一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，是边的垂直平分线，，若，，则的长是________． 3．如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 题型2.等腰三角形三线合一性质 1．如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 3．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 题型3.格点图中等腰三角形的绘制及识别 1．如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图是一张长方形纸片，已知，，点、在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则构成等腰三角形的个数为___________．，其中一个等腰三角形边最长是___________ 3．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)成立吗？ 题型4.利用等角对等边证明等腰三角形 1．如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边的中点，，分别是边，上的点，连接，，，使，若，，，则的长为______． 3．如图，平分，点在上，点在的延长线上，且，交于点．求证：是等腰三角形． 题型5.利用等角对等边证明边相等 1．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，将一张长方形纸片沿着线段折叠，已知B到的距离为，若重叠部分的的面积是，则线段的长为______． 3．如图在中，点O是和的平分线交点，过点O且平行于的直线分别交于点D、E．， 求的周长． 题型6.利用等角对等边求解边长 1．如图，在 中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 3．发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 问题解决 (1)如图1，与的位置关系是　 ；的取值范围是　 　 ； 问题应用 (2)如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系； 拓展延伸 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 题型7.等腰三角形的性质与判定综合 1．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______． 3．如图，四边形中，，点是上一点，平分，． 求证： (1)； (2)． 题型8.等边三角形的性质与判定综合 1．如图所示，与均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连结交于点G，连结交于点F，连结，、交于点P，连结．有下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有几个？（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，，交于点，若，则的长为__________． 3．如图，在中，，求证是等边三角形． 题型9.直角三角形两锐角互余及直角三角形判定 1．如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 3．如图，已知于点，，的延长线交边于点． (1)若，，求的长； (2)线段和有什么关系?为什么? 题型10.含30°角的直角三角形性质 1．如图，是一个中心对称图形，点为对称中心，若，，，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，是高，，则_________． 3．如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 题型11.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 1．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 3．如图，，点M是中点，且于点N．求证：． 题型12.线段垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是______． 3．如图，在中，为的中点，交的平分线于于点，交延长线于． (1)求证：． (2)若，则求的长． 题型13.角平分线的性质定理与判定定理 1．如图，在中，，，，平分交于点，，垂足为．则 的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点到，的距离相等；③点到的三边所在直线的距离相等；④点在的平分线上．其中正确的个数是__________． 3．如图四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型14.角平分线性质的实际应用 1．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 2．如图，，平分，平分，若，则____．    3．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 题型15.旋转模型综合（全等三角形辅助线） 1．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 3．如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 2．数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系是（   ） A．垂直平分线段 B．垂直平分线段 C．与互相垂直平分 D．无法确定 5．如图，已知，，现有以下结论：①，②，③，④，则其中正确的为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图，已知中，是边上的高，平分交于点，，，则的面积等于_______． 7．如图，在中，，，，是的中点，现将沿方向平移，得到，交于，则的长等于___． 8．如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 9．如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________． 三、解答题 10．如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 11．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求证：平分． 12．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 13．如图，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 14．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $