第1章 三角形【（期中复习讲义）导图知识卡片+29个考点讲练+真题演练 共73题】- 2026-2027学年苏科版数学八年级上册经典题培优系列

2026-2027学年苏科版新教材数学八年级上册期中复习培优讲义经典题系列 第1章 三角形 【思维导图+29个考点讲练+思维拓展训练 共73题〔解析版〕】 目 录 【模块一 导图指引 技巧点拨】 2 【模块二 知识清单 技能提升】 2 【模块三 重点讲练 难点突破】 6 【压轴考点01】根据三角形中线求长度 6 【压轴考点02】根据三角形中线求面积 9 【压轴考点03】与三角形的高有关的计算问题 11 【压轴考点04】利用网格求三角形面积 13 【压轴考点05】全等三角形的性质 15 【压轴考点06】全等的性质和SAS综合 18 【压轴考点07】全等的性质和ASA(AAS）综合 21 【压轴考点08】全等的性质和SSS综合 26 【压轴考点09】全等的性质和HL综合 29 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 32 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 35 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 37 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合） 41 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 43 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 46 【压轴考点16】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 49 【压轴考点17】垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 52 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 60 【压轴考点19】全等三角形综合问题 63 【压轴考点20】线段垂直平分线的性质与判定 68 【压轴考点21】角平分线的性质与判定 70 【压轴考点22】角平分线性质的实际应用 72 【压轴考点23】等腰三角形的性质和判定 75 【压轴考点24】等边三角形的判定和性质 79 【压轴考点25】含30度角的直角三角形 82 【压轴考点26】斜边的中线等于斜边的—半 88 【压轴考点27】直角三角形的两个锐角互余 91 【压轴考点28】锐角互余的三角形是直角三角形 94 【压轴考点29】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 98 【模块四 优选真题 实战演练】 102 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义: 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质: 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法: 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质 ①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定 ①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 【压轴考点01】根据三角形中线求长度 【典例精讲】（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）根据条件画图，并回答问题： (1)作出中边上的中线和三条高； (2)写出两个以为高的三角形． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义可得答案． 【对应练习】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1) 如图所示 (2) 如下图所示， (3) 平分的面积； (4) 如下图所示， 【思路引导】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【规范解答】（1） 略 （2） 略 （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 【压轴考点02】根据三角形中线求面积 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心． 材料准备：厚度均匀的三角形薄板、细线、笔、直尺、量角器等． 实践操作：如图①，用一根细线从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题． (1)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实．如图②，在中，，，分别是的三条中线，点是的重心，可以得到________． (2)小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合（1）中的结论，试猜想线段和的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明． 【答案】(1) (2)．证明如下： 由（1）已得：，， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 【思路引导】（1）根据三角形的中线性质得出，由此即可得； （2）得出，由此即可得． 【规范解答】（1）解：∵，，分别是的三条中线， ∴，，，， ∴，即， ∴， 设，则， 同理可得：， ∴， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【答案】 【思路引导】连接，，，根据分别为的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【规范解答】解：连接，，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）． 【压轴考点03】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是的高，，，求的值． 【答案】 【规范解答】解：，是的高， ． ，， ． 【对应练习】（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【思路引导】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 【压轴考点04】利用网格求三角形面积 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)解：如图，即为所求； 【思路引导】（1）根据高的定义，借助网格构造直角即可； （2）借助网格寻找边的中点即可； （3）借助网格寻找边的三等分点即可． 【规范解答】（1）解：略； （2）解：如图，边（不含端点）经过的格点即为点E，连接，则，由图形可知和等底同高，所以； （3）解：如图，设网格中每个小正方形的边长为1，则，在上取,使，则，连接，由图形可知和同高，它们的底分别为，所以． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)如图1，三个顶点均在格点上，将通过一定的方式平移得到， ①请仅用无刻度的直尺画出（点A、B、C的对应点分别是、、）； ②直线经过点，请在直线上画出所有的格点Q，使得点、、、Q组成的四边形面积为10（提示：如有多个格点Q时，可以用、、……表示）． (2)如图2，M、N两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形． 【答案】(1) ①如图所示； ②点、如图所示． (2) 在图2中面积为18的长方形如图所示． 【思路引导】本题考查图形的平移，格点图形中的面积问题； （1）①把向右平移2格再向下平移3格即可得到； ②先求出，再在两边找一边与公共边且面积为的三角形即可得到点； （2）先作正方形，再取格点使，再把平移到，则直线与和的交点即为，，此时． 【压轴考点05】全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【思路引导】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【对应练习】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 【答案】 或或 【思路引导】根据题意，与均为直角三角形，若要全等，斜边必须相等，即．根据点、的运动路径和速度，分三种情况讨论：点在上且点在上；点、都在上；点在上且点在上或到达终点．分别列出关于的方程求解即可． 【规范解答】由题意可知，点的速度为，点的速度为． ，． 点到达点需，到达点需． 点到达点需，到达点需． ，， ． 要使， 需满足． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ②当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ③当时，点在上． 若，点在上， ，． 令， 解得，不合题意，舍去． 若，点到达点并停止， ． ． 令， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为：或或． 【压轴考点06】全等的性质和SAS综合 【典例精讲】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2)证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【思路引导】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【对应练习】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）综合实践 (1)问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点．使，连接，如图2， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)问题1的结论不成立，理由如下： 在上取一点G，使，连接，如图3， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【思路引导】（1）延长到点,使．连接，先证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）同（1）方法，延长到点，使，连接，先证明，再证明得到，进而可得结论； （3）在上取一点G，使，连接，同理先证明，再证明，得到，进而可得结论． 【规范解答】（1）解：延长到点．使，连接，如图1， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 【压轴考点07】全等的性质和ASA(AAS）综合 【典例精讲】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①；②1或 (3)或 【思路引导】（1）只需要证明，即可证明； （2）①根据路程等于速度乘以时间可得答案；②求出的长，则可得到的长，再求出的长，最后根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）分两种情况：当点P在线段上时，点F在的延长线上时，当点P在的延长线上时，点F在线段上时，根据全等三角形的性质建立方程求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：①由题意得，点的运动路程为； ②∵，， ∴， 由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或； （3）解：由（2）得， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，点F在的延长线上时， ∵， ∴ 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点P在的延长线上时，点F在线段上时， 同理可得此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的t的值为或． 【对应练习】（26-27八年级上·广西防城港·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的有_________．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②③ 【思路引导】①根据垂直关系得到直角，结合已知角度通过角度代换得到以及，结合已知条件，运用定理即可证明三角形全等． ②由①的结论可得到，通过角度计算得到，结合公共边，可证明，得出． ③由可得，进而得到，结合可得到，最后由代入值求解即可． ④根据上述证明的两组全等三角形得到对应边，，再根据三角形三边关系得出，等量替换即可判断结论④． 【规范解答】解：①∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴结论①正确，符合题意． ②∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴结论②正确，符合题意． ③∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴． ∴结论③正确，符合题意． ④∵，， ∴，． ∵在中， ∴． ∴结论④不正确，不符合题意． 综上所述，正确的有①②③． 【压轴考点08】全等的性质和SSS综合 【典例精讲】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【思路引导】（1）连接，根据证明即可得出结论； （2）根据证明，由全等三角形的性质可得结论． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由： ，， ， 又 ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【思路引导】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【压轴考点09】全等的性质和HL综合 【典例精讲】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ． (2)解：． 理由：如图，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． 【思路引导】（1）①根据角的和差计算即可； ②证明即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而证明，得到，根据可知． 【规范解答】（1）①解：∵，， ； ②略 【对应练习】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【思路引导】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【规范解答】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 【对应练习】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) (3)或或 【思路引导】本题考查作图—画轴对称图形，坐标与图形的变化—轴对称，轴对称的性质，全等三角形的判定，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点，关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求，再根据平面直角坐标系写出点P坐标即可； （3）根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图，在（1）基础上，连接，交轴于点P，则点P即为使的距离最小的点． 由图可知； （3）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，已知，，、、、四点在同一条直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：选项A：添加，满足角边角的全等判定条件，可以判定． 选项B：添加，此时条件为两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等． 选项C：添加，可推出，即，满足边角边的全等判定条件，可以判定． 选项D：添加，根据平行线的性质可得，满足角角边的全等判定条件，可以判定． 【对应练习】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，， 理由如下；∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)存在，，或，． 【思路引导】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，． 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【思路引导】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【规范解答】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 【对应练习】已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)结论：．理由如下： ， ， ， ， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； (2) 是定值，定值为4 【思路引导】（1）由得，因此有，根据可证，从而得证； （2）过作轴于，过作轴于，由“全等三角形的对应高相等”得，先根据可证，从而得，进而得，再根据可证，得，即可得的面积． 【规范解答】（1）解：略； （2）解：过作轴于，过作轴于，如图3， 轴， ， 由（1）知，，， 、关于轴对称，点A在轴上，， ，（全等三角形对应高相等）， 又， ， ， 又， ，即， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形的性质及判定来证明线段的位置和数量关系，以及添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， 【思路引导】（1）找出的中点，连接即可； （2）根据三边对应相等找出点，即可得． 【规范解答】（1）略 （2）解：图略 由图可得， ． 【对应练习】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)直接写出的面积为________； (2)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 【答案】(1) (2) 解：如图，即为所作， 由图可知 (3) 解：如图，即为所作． 理由：取点，，，连接，，，，延长交于点F， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴即为的高线． 【思路引导】（1）利用长方形面积减去3个小三角形面积求解即可； （2）找出各顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，结合图形即可得出点E的坐标； （3）取点，，，连接，，，，延长交于点F，证明，即得出，再结合对顶角相等和余角的性质即可证明，即即为的高线． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； 【考点剖析】本题考查利用网格求三角形面积，作图—轴对称，作图—作三角形的高，三角形全等的判定和性质，余角的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1) 如图，为所求． (2) 如图，为所求． (3) 【思路引导】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 【对应练习】已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______． 【答案】13 【思路引导】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，． 则． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长． ∵，，， ∴在中，由勾股定理，得 ． 如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理，得 ． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 【考点剖析】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； (2)5 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【对应练习】（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【答案】解：方法一：如图①，在上截取，使，连接． 在和中， ， ． 在中，，即， ． 方法二：如图②，延长到，使，连接． 在和中， ， ． 在中，， 即， ． 【思路引导】（1）截长法：在上截取，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． （2）补短法：延长至点使，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． 【压轴考点16】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图①，延长至点，使，连接． 是边上的中点， ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． 在和中， ， ， 即平分． (2)解：．理由如下： 如图②，延长至点，使，连接． ． 由（1）可知，， ． ， ． 平分， ． ， ， ， ． 【思路引导】（1）延长至点，使，连接．在和中，用SAS证，得、．使用了三角形外角定理，在和中，由SAS证，得，则问题可证． (2)延长至点使，连接，由SAS证，得．在和中，由AAS证，得． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 【答案】证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】延长到点，使得，连接，易证，然后根据全等三角形的性质，结合已知条件和角度的和差得到，从而证得，进而即可得到结论． 【压轴考点17】垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【思路引导】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【规范解答】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ． 【对应练习】（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【答案】(1) (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3)6 (4)所有满足条件的的长为或或 【思路引导】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）同（1）思路求解即可； （3）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （4）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到．若以点、、为顶点的三角形与全等，分点B，F均在点C上方，和点B，F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． ②若点B，F均在点C下方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【规范解答】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 【对应练习】（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】 （1）证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）成立； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】（1）略 （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； 【压轴考点19】全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【思路引导】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【规范解答】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 【对应练习】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程 ； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)， 理由：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； (2)①；②或 (3)存在值，当或秒时，与全等 【思路引导】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明，即可得结论； （2）①根据速度、时间、路程的关系可得；②根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为10时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出，然后列方程求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：①点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，点的运动时间为，点的运动路程为：； ②如图1，由（1）知，， ， 当点在线段上时， ， ， 解得； 当点在射线上时， ， ， 解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在； 由（1）知，， ， ， 即， ①如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ， 解得， ②如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ， 解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 【压轴考点20】线段垂直平分线的性质与判定 【典例精讲】（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【思路引导】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 【对应练习】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． (2)证明：由（1）知， 在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【思路引导】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． 【压轴考点21】角平分线的性质与判定 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作三边的垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点到、的距离相等，先求出该距离，再计算的面积即可求解． 【规范解答】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 平分，，， ， 平分，，， ， ， 在中，，， ，即， ， ， ， ． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【答案】(1)证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， 【思路引导】（1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【压轴考点22】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【思路引导】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【对应练习】（25-26八年级上·北京·期中）已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【答案】(1) (2) ①画图步骤： 步骤一：过点作，交于点； 步骤二：以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤三：连接，交于点，线段即为所求的关于点的“好线”． 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点； ②如图：线段即为所求． 画图步骤： 步骤一：作点关于点的对称点，连接； 步骤二：过点作，交于点；过点作，交于点； 步骤三：连接，，线段即为所求的关于点的“好线”． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，结合平行线的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）根据定义得出，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得，即可求解； （2）①结合小明的思路，构造，使其与全等，结合平行线的性质和全等三角形的判定和性质即可证明； ②根据全等三角形的判定的定理可得出，，根据全等三角形的性质得出，，，推得，即点、、三点共线，即可证明． 【规范解答】（1）解：∵为关于点的“好线”， ∴点是的中点， 即， 过点分别作于点，于点，如图： ∵点在的平分线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【压轴考点23】等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） (1)在图①中找一点，使点到和距离相等且； (2)在图②中，，在上找一点，使得平分． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求． 【思路引导】（1）由题意可知，需要构造的角平分线与的垂直平分线，取格点、，的中点，作直线与直线，交点即为点； （2）取格点，连接，取的中点，连接与的交点即为点． 【规范解答】（1）解：如图， 由网格可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即平分， ∴点到和距离相等， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点 ∴垂直平分， ∴； （2）解：由图可知，， ∵点是的中点， ∴，即平分． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【思路引导】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【规范解答】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【压轴考点24】等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【思路引导】证明为等边三角形，即可求解． 【规范解答】解：在等边三角形中，∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与相等的线段条数为7． 【对应练习】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【思路引导】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【规范解答】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 【压轴考点25】含30度角的直角三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）综合与探究 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决． 请你结合同学们提出的问题给予解答． 【初步探究】 (1)甲同学提出：__________°． (2)乙同学提出：的面积为__________． 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值． 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程． 【答案】(1) (2)25 (3)5 (4)证明：连接， ∵，，， ，，， ，， ， 即：， ． 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可； （2）过点B作，交于点H，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）先证明，根据，得出，即，即可解答； （4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可证明． 【规范解答】（1）解：，， ； （2）解：过点B作，交于点H，则， ，， ， ； （3）解：连接， ，点D为边的中点， 平分， ，， ． ∵， ，， ∴ 由（2）知， ， ； 【对应练习】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【思路引导】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 【压轴考点26】斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的中点， ∴分别是斜边上的中线， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， 又∵为中点， ∴； (3)， 理由：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴ ： 的长为． 【思路引导】（1）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明； （2）利用等腰三角形“三线合一”证明； （3）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等，然后利用“等边对等角”得到，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到，，进而完成证明；第二个问题利用前面的结论可以得到的长，再利用可证得是等边三角形，于是得到答案． 【规范解答】（1）略． （2）略． （3）， 理由：略； ∵， ∴由（1）知， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． (2)3 【思路引导】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）略； （2）解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 【压轴考点27】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F． (1)求证：． (2)当时，点E运动了多长时间？ 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． (2)或 【思路引导】（1）根据同角的余角相等即可得到结论； （2）分点在直线的上方和点在直线的下方两种情况进行解答即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 由题意可分为，当点在直线的上方时， 在和中， ， ∴， ∴； ∴， ∴点的运动时间为， 当点在直线的下方时， 同理可得， ∴， ∴点的运动时间为， ∴点的运动时间为或 【对应练习】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 【答案】 【思路引导】延长，两线交于点H，先证明，再证明，不妨设，确定，不妨设，解答即可． 【规范解答】解：延长，两线交于点H， ∵等腰中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ 不妨设， ∴， ∴， ∴， 不妨设， ∴，, ∴， ∴． 【压轴考点28】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)解：与全等，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)18 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、三角形面积公式等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明与全等即可； （2）结合全等三角形的性质证明，然后由三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴的面积． 【对应练习】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为 秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【思路引导】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【规范解答】（1）∵，， 解得， ，； （2）由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． （3）， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【压轴考点29】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，． (1)如图，当时，求点 M 的坐标 ．(直接写出答案) (2)如图，当时，求证∶，且； 【答案】(1) (2) 如图②，当时，点，，共线，，，共线， ∵，且为等腰直角三角形，是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）如图①中，过点M作于D．解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图②，当时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图①中，过点作于． ∵点，点， ∴， ∵是的中点， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，点在上， 由旋转可知：， ．， ∴， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【思路引导】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【规范解答】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【考点剖析】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 1．（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【思路引导】等腰三角形两条腰长度相等，结合已知的两边长，分类讨论两种边长组合；根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，验证每种组合是否能构成三角形；最后计算周长． 【规范解答】解：若腰为6，则三边为6、6、13，，不能构成三角形； 若腰为13，则三边为13、13、6，可以构成三角形，周长为． 2．（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【思路引导】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 3．（21-22八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【思路引导】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 4．（21-22八年级上·四川德阳·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【思路引导】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【规范解答】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 5．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明，根据等角对等边推出可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④． 【规范解答】解：是的平分线， ， ，是边上的高， ，， ，， ．故①③符合题意． ，是边上的高， ，， 是的平分线， ， ， ， ．故②符合题意． 如图，过点作于，   ，是的平分线， ， ∴， ∵， ∴ 故④符合题意． 6．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【思路引导】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【规范解答】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 7．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 10 【思路引导】根据平移的性质可知，，，，阴影部分的面积等于的面积减去的面积，利用等腰直角三角形的性质求出的长即可解答； 【规范解答】解：， 是等腰直角三角形，， 由平移的性质可知，，，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ． 8．（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【答案】 【思路引导】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 9．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【思路引导】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，是斜边上的中线，点是上的动点，当周长最小时，________． 【答案】 【思路引导】延长至点，使得，连接，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，周长为，即取最小值时，周长最小，当、、三点共线且时，取最小值时，根据直角三角形的两锐角互余，结合等边对等角，即可求解． 【规范解答】解：如图，延长至点，使得，连接， ，即， 垂直平分， ， ， 是斜边上的中线， ，为定值， 周长为，即取最小值时，周长最小， 当、、三点共线且时，取最小值， ，， ， ， ． 11．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，已知线段． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点P在直线上，且，求的长，并说明依据． 【答案】(1) (2)解： 依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． ∵点P在的垂直平分线上， ∴． 【规范解答】（1）略 （2）略 12．（26-27八年级上·湖北·期中）李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，是的中线，． (1)若的面积为5，则的面积_______；（直接写出结果） (2)探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论； (3)求证：． 【答案】(1)20 (2)解： ， 证明：如图，延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系定理得， ， 即； (3)证明：由（2）知 ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）知， ． 【思路引导】（1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分求出的面积，继而求出的面积； （2）如图，延长到，使，利用证得和全等，得出，再根据三角形三边关系定理得出 ，从而问题得证； （3）结合（2）中的条件先证和全等，得出，从而问题得证； 【规范解答】（1）解：是的中线，的面积为5， ， ， ， 是的中线， ； （2）略 （3）略 13．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【思路引导】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【规范解答】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【思路引导】连接、，过点作，垂足为，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再分别证明，，得到，，从而推出，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 15．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年苏科版新教材数学八年级上册期中复习培优讲义经典题系列 第1章 三角形 【思维导图+29个考点讲练+思维拓展训练 共73题〔原卷版〕】 目 录 【模块一 导图指引 技巧点拨】 2 【模块二 知识清单 技能提升】 2 【模块三 重点讲练 难点突破】 6 【压轴考点01】根据三角形中线求长度 6 【压轴考点02】根据三角形中线求面积 7 【压轴考点03】与三角形的高有关的计算问题 8 【压轴考点04】利用网格求三角形面积 9 【压轴考点05】全等三角形的性质 10 【压轴考点06】全等的性质和SAS综合 11 【压轴考点07】全等的性质和ASA(AAS）综合 13 【压轴考点08】全等的性质和SSS综合 14 【压轴考点09】全等的性质和HL综合 15 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 16 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 17 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 18 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合） 19 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 20 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 20 【压轴考点16】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 22 【压轴考点17】垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 23 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 25 【压轴考点19】全等三角形综合问题 26 【压轴考点20】线段垂直平分线的性质与判定 27 【压轴考点21】角平分线的性质与判定 28 【压轴考点22】角平分线性质的实际应用 29 【压轴考点23】等腰三角形的性质和判定 30 【压轴考点24】等边三角形的判定和性质 31 【压轴考点25】含30度角的直角三角形 32 【压轴考点26】斜边的中线等于斜边的—半 34 【压轴考点27】直角三角形的两个锐角互余 35 【压轴考点28】锐角互余的三角形是直角三角形 36 【压轴考点29】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 37 【模块四 优选真题 实战演练】 39 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义: 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质: 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法: 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质 ①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定 ①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 【压轴考点01】根据三角形中线求长度 【典例精讲】（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）根据条件画图，并回答问题： (1)作出中边上的中线和三条高； (2)写出两个以为高的三角形． 【对应练习】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【压轴考点02】根据三角形中线求面积 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心． 材料准备：厚度均匀的三角形薄板、细线、笔、直尺、量角器等． 实践操作：如图①，用一根细线从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题． (1)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实．如图②，在中，，，分别是的三条中线，点是的重心，可以得到________． (2)小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合（1）中的结论，试猜想线段和的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明． 【对应练习】（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【压轴考点03】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是的高，，，求的值． 【对应练习】（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【压轴考点04】利用网格求三角形面积 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)如图1，三个顶点均在格点上，将通过一定的方式平移得到， ①请仅用无刻度的直尺画出（点A、B、C的对应点分别是、、）； ②直线经过点，请在直线上画出所有的格点Q，使得点、、、Q组成的四边形面积为10（提示：如有多个格点Q时，可以用、、……表示）． (2)如图2，M、N两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形． 【压轴考点05】全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【对应练习】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 【压轴考点06】全等的性质和SAS综合 【典例精讲】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 【对应练习】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）综合实践 (1)问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 【压轴考点07】全等的性质和ASA(AAS）综合 【典例精讲】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【对应练习】（26-27八年级上·广西防城港·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的有_________．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【压轴考点08】全等的性质和SSS综合 【典例精讲】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【对应练习】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【压轴考点09】全等的性质和HL综合 【典例精讲】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 【对应练习】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对应练习】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，已知，，、、、四点在同一条直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【对应练习】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【对应练习】已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【对应练习】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)直接写出的面积为________； (2)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【对应练习】已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______． 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【对应练习】（2026八年级上·全国·专题练习）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【压轴考点16】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 【压轴考点17】垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【对应练习】（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【对应练习】（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【压轴考点19】全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【对应练习】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程 ； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【压轴考点20】线段垂直平分线的性质与判定 【典例精讲】（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【对应练习】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 【压轴考点21】角平分线的性质与判定 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【压轴考点22】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【对应练习】（25-26八年级上·北京·期中）已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【压轴考点23】等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） (1)在图①中找一点，使点到和距离相等且； (2)在图②中，，在上找一点，使得平分． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【压轴考点24】等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【对应练习】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【压轴考点25】含30度角的直角三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）综合与探究 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决． 请你结合同学们提出的问题给予解答． 【初步探究】 (1)甲同学提出：__________°． (2)乙同学提出：的面积为__________． 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值． 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【压轴考点26】斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 【对应练习】（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【压轴考点27】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F． (1)求证：． (2)当时，点E运动了多长时间？ 【对应练习】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 【压轴考点28】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的面积． 【对应练习】（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为 秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【压轴考点29】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，． (1)如图，当时，求点 M 的坐标 ．(直接写出答案) (2)如图，当时，求证∶，且； 【对应练习】（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 1．（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 2．（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 3．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 4．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 5．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点，则下面说法中：；②；③；④，正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 7．如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 8．（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 9．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 10．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，是斜边上的中线，点是上的动点，当周长最小时，________． 11．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，已知线段． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点P在直线上，且，求的长，并说明依据． 12．（26-27八年级上·湖北·期中）李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，是的中线，． (1)若的面积为5，则的面积_______；（直接写出结果） (2)探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论； (3)求证：． 13．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 14．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 15．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版新教材数学八年级上册期中复习培优讲义经典题系列 第1章三角形 【思维导图+29个考点讲练+思维拓展训练共73题〔原卷版〕】 目录 【模块一导图指引技巧点拨】 【模块二知识清单技能提升】 。。。04.00.000。。。。。。0。。。。,。。。2 【模块三重点讲练难点突破】…… 6 【压轴考点01】根据三角形中线求长度.· 6 【压轴考点02】根据三角形中线求面积.·..· .7 【压轴考点03】与三角形的高有关的计算问题......… P 【压轴考点04】利用网格求三角形面积..·...·。 9 【压轴考点05】全等三角形的性质.... 10 【压轴考点06】全等的性质和SAS综合......…… 11 【压轴考点07】全等的性质和ASA(AAS)综合..·.. 13 【压轴考点08】全等的性质和SSS综合.... 14 【压轴考点09】全等的性质和L综合.....… 15 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）· 16 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）........17 【压轴考点2】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)........ 18 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）...· 19 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 20 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）......... 20 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）… 22 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 23 【压轴考点18】其他模型（全等三角形的辅助线问题）................ 25 【压轴考点19】全等三角形综合问题..… 26 【压轴考点20】线段垂直平分线的性质与判定.....· 27 【压轴考点21】角平分线的性质与判定......28 第1页共43页 【压轴考点22】角平分线性质的实际应用 29 【压轴考点23】等腰三角形的性质和判定 30 【压轴考点24】等边三角形的判定和性质.... 31 【压轴考点25】含30度角的直角三角形.. 32 【压轴考点26】斜边的中线等于斜边的一半... 34 【压轴考点27】直角三角形的两个锐角互余............ 35 【压轴考点28】锐角互余的三角形是直角三角形... 36 【压轴考点29】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 37 【模块四优选真题实战演练】…。 39 模块 导图指引技巧点拨 一、三角形的有关概念 三角形按边分类 五、直角三角形 图作三角无 1定义：有一个角是直角(90)的三角形 如△AB △ 之性质：直角三角彩两锐角瓦余 即：∠A+∠B=90(∠C=9】 4表示方法 D点表元：△AC 概念 直角 3.直角三角形的判定 (2)边表示：△BCA 与性质 三角形 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形： 2)若一个三角形的两个角互余，期这个三角形是直角三角形 (3)圆点+边表示：△ABC成△ACB 5.三角形的稳定性：三角形具有稳定性 六，等题三角形 1,定义：有两条边和等的三角形叫作等额三角形 二、三角形的内角、角平分线、高 性 1,内角和定理：三角形三个内角的和等于180 ∠A+∠B+∠C=10 等要 底边上的中线 2角平分线：从三角形的一个顶点出发 三角形的 三角形 把这个角平分的线段 八年级上册期中复习 3定： 内角、角平分线 高：从三角形的一个点向它的对边（发对边所 的直线)作垂线。点和垂足之间的线段 与高 第1章三角形 (1)两条边相等的三角形是等腰三角形 (2)两个角相等的三角形是等腰三角形 知识点梳理思维导图 三、三角形的边 七、等边三角形 1三功美黑，三角形两边之和大于第三边 1定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角彩 若ab,c为三角形的三边(a≤b≤C)。则 三角形的 三角形按角分类 a+tb>c.ate>b 边与周长 等边 们等动三角形的三个内角都相等，韩每个角都等于0 b+c>e 三角形 2三角形的向：C=+b+心 四、全等三角形 (三个内角移 易错点拨 解题技巧 1,易错点：三角形的三边关系混涌“大干”与“大于等于 3判定方法（商写成“边一角一边”形或） AA 1,识图是关爆：先看清已知条件和所求。标出已知的边 点域：三角形两边之和大于第三边，不能取等母。 SSS三边分别相等的两个三角形全等 2.易情炼：在证明中您置骆公共边，公共角导敢条件不足 丙边和它们的夫角分别相等的两个三角形全等 三角形 点接：证全等时，注章寻投隐合的公共元素 A51南角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 3助线分用到段。角的量关系问.可通过 3悬情点：角平分线与高线混涌 4S)再角和其中一个角的对边分期棉等的两个三角形全等 加助线。知作高。角平分线。延长线等，将何题 点接：角平分线把角平分：高是线。重足在对边或其延长线上 4.易情点：等楼三角形 L围斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 化，构通全等或直角三角形 “三线合一“只在一种行情况下立 4分类讨论象想：当条件不策一时（如选取路径最短）。 要分情况讨论，避免透漏 ☆核心结论速记 三角形内角和：∠A+∠B+∠C=18r 直角三角形再角互余：∠A+∠B=90 三边关系：两边之和大于第三边 等腰三角形底角相 等边三角形每个角都是 模块二 知识清单技能提升 知识点 重点归纳 常见易错点 第2页共43页 三角形的任意两边之和大于第三边： 判断三条线段能否 三角形的任意两边之差小于第三边。 构成三角形，只需 三角形的 AB-AC<BC<AB+AC 要判断两条较短的 三边关系 线段之和是否大于 AB-BC<AC<AB+BC 第三边即可。 AC-BC<AB<AC+BC 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为 “大边对大角”的 “大边对大角”； 使用有一个前提条 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为 件：必须在同一个 三角形的 “大角对大边”。 三角形中 边角关系 A AC>AB ∴.∠B>∠C B 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的 1.三角形的中线是线 中线。 段； 2.三条中线的交点， 三角形的中 一定在三角形的内 线 E 部： 3.三角形的中线平分 三角形的面积。 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足 1.三角形的高线是线 之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 段： 2.三条高线交于一 E 点，该点可能在三 三角形的高 B 角形的内部，也可 能在三角形的外 部，也可能在顶点 处。 第3页共43页 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点 1.三角形的角平分线 与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 是线段： 三角形的 2.三条角平分线交 角平分线 于一点，该交点一 定在三角形的内 B D 部。 1.全等三角形的定义： 全等三角形的所有 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 对应元都相等： 2.全等三角形的性质： 全等三角形的周长 全等三角形 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 相等、面积相等。 3.全等三角形的判定方法： 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4.三角形的稳定性 1.性质定理： 线段垂直平分线的 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 性质定理和判定定 理是互为逆命题 :MN垂直平分线段AB, 的。 点P在MW上 A 线段 B..PA=PB 垂直平分线 2.判定定理： 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ò PA=PB, A B∴点P在线段AB的垂直平分线 1.性质定理： 这里的角平分线与 角平分线上的点到角两边的距离相等。 三角形的角平分线 角平分线 是不同的。三角形 的角平分线是一条 第4页共43页 A 线段，此处的角平 D 分线是一条射线。 O B E ·.OC平分∠AOB,点P在OC上 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴.PD=PE 2.判定定理： 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 .PD⊥OA,PE⊥OB PD-PE ∴.点P在∠AOB的平分线上 E 即∠AOP=∠BOP 1.定义 三角形是轴对称图 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 形，它的对称轴可 2.性质 能是一条，也可能 .AB=AC 是三条。当等腰三 ①等边对等角； ∴.∠B=∠C 角形是底和腰不相 ②三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 等的时候，它只有 ③等腰三角形是轴对称图形； 一条对称轴：当底 等腰三角形 3.判定 和腰相等的时候， '∠B=∠C 也就是等边三角形 ①等角对等边； ..AB=AC 的时候。它有三条 ②两条边相等； 对称轴。所以我们 说等腰三角形有一 条对称轴是不准确 的。 第5页共43页 1.定义 等边三角形具有等 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 腰三角形所有的性 2.性质 质。是一种特殊的 ①三条边相等： B 等腰三角形。 ②三个角相等都等于60度： 等边三角形 ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴： 3.判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形： ②三个角相等的三角形是等边三角形： ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前 含30°角 提：直角三角形。 直角三角形 .Rt△ABC中，∠A=30° A30 .BC-AB 模块三 重点讲练难点突破 【压轴考点01】根据三角形中线求长度 【典例精讲】(26-27八年级上·河南信阳·阶段检测)根据条件画图，并回答问题： B (1)作出△ABC中BC边上的中线AD和三条高AE,BF,CG; (2)写出两个以AE为高的三角形. 第6页共43页 【对应练习】(25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，点 A、B、C在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图. 图1 图2 (1)在图1中，画△ABC的中线AD: (2)在图1中，画△ABC的高CE: (3)在图2中，F为AB与网格线的交点，在BC上画点M,使得线段FM平分△ABC的面积； (④在图2中，在△ABC的内部画点N,使S△ACw=S△ABC,且S△ABN=号S△ABc: 【压轴考点02】根据三角形中线求面积 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心. 材料准备：厚度均匀的三角形薄板、细线、笔、直尺、量角器等. 实践操作：如图①，用一根细线从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现 三角形薄板正好保持水平.数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题， (1)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实，如图②， 在△ABC中，AD,CE,BF分别是△ABC的三条中线，点O是△ABC的重心，可以得到 S△AB0:S△ABC=----· (2)小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合(1)中的 结论，试猜想线段A0和DO的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明. 第7页共43页 图① 图② 【对应练习】(25-26七年级下·四川达州·期末)某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地 △ABC进行改造，改造方案如下：分别延长△ABC的BA,CB,AC至点D,E,F,使得A,B,C分别为 BD,EC,AF的中点，依次连接点D,E,F得△DEF,已知△ABC的面积为5Om2,改造甲区域成本为 100元/m2,扩建乙区域成本为200元/m2,则改造总费用为元. 【压轴考点03】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图AE,CD是△ABC的高，AE=6,CD=4,求 C 的值. D 第8页共43页 【对应练习】(25-26七年级下·重庆万州·期末)如图1，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C 的对边，点P从点A出发，沿折线AC一CB一BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发， 沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动.设点Q的运动时间为t秒 图1 图2 (1)若∠ACB=90°，(a-6)2+l3a-2b-2=0. ①a=_,b=_; ②当2<t<3时，若S△4PQ=2,求t的值； (2)如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D,若AQ为BC边上的中线，AP=4BP,S△4PQ=18, 请直接写出△PQD的面积. 【压轴考点04】利用网格求三角形面积 【典例精讲】(25-26七年级下·吉林·期末)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方 形的顶点称为格点，点A、RC均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图， 保留作图痕迹， 图① 图② 图③ (1)在图①中，过点A作BC边上的高AD: (2)在图②中的AB边上找到点E,连接CE,使得S△AcB=S△BCE: (3)在图②中的BC边上找到点F,连接AF,使得S△ACF=2S△4BF. 第9页共43页 【对应练习】(25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测)如图，在10×10方格纸上（每个小方格都是边 长为1个单位长度的正方形)· 图1 图2 (1)如图1，△ABC三个顶点均在格点上，将△ABC通过一定的方式平移得到△A'B'C', ①请仅用无刻度的直尺画出△A'B'C'(点A、BC的对应点分别是A'、B'、C'): ②直线经过点C',请在直线上画出所有的格点Q,使得点A'、B'、C'、Q组成的四边形面积为10（提 示：如有多个格点Q时，可以用Q1、Q2、Q3…表示)· (2)如图2，从W两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形MNEF. 【压轴考点05】全等三角形的性质 【典例精讲】(25-26七年级下·辽宁辽阳·期末)如图，△ABC兰△ADE,∠CAE=90°，连接BD,若 AD=5,则图中阴影部分的面积为_一-· B D 【对应练习】(26-27八年级上·福建厦门·阶段检测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC= 8cm,AB=10cm,直线经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿ACB路径向终点B运动：动点Q从点B 出发沿BCA路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时，当点 P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE1于点E,QF1于点F,设运动时间为t秒，则当 t为 秒时，△PEC与△QFC全等 第10页共43页 【压轴考点O6】全等的性质和SAS综合 【典例精讲】(26-27八年级上·云南昆明·阶段检测)如图，在△ADF中，∠F=90°，点B、C分别在 边AF、DF上，连接AC、BC,CB=CD,∠D=∠CBF,在边AD上截取DE=BF,连接CE. (1)求证：△CDE≌△CBF. (2)求证：AC平分∠DAB. 第11页共43页 【对应练习】(26-27八年级上·云南昆明·阶段检测)综合实践 D D B G C 图1 图2 图3 (1)问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB=CD,∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°.E,F分别 是AB,AD上的点.且∠ECF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的 方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接CG,先证明△CBE≌△CDG,再证明△CEF≌△CGF.他得到 的线段BE,EF,FD之间的数量关系是 (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD,∠ABC+ ∠ADC=180°.∠ECF=;∠BCD,问题1的结论是否仍然成立？请说明理由. (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，问 题1的结论是否仍然成立？请说明理由， 第12页共43页 【压轴考点O7】全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例精讲】(26-27八年级上·广西南宁·阶段检测)如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,O 为BC边上的点（不与两端点B、C重合），过点B作BE L AO的延长线于点E,BE交AC的延长线于点D D E O B B B 图1 备用图1 备用图2 (1)猜想0A与BD的数量关系，并说明理由； (2)若BE=6,ED=14,点P从点B出发，沿射线BD以每秒5个单位长度的速度运动，设点P的运动时间 为ts. ①用含t的代数式表示点P的运动路程： ②求t为何值时，△AOP的面积为10： (3)在(2)的条件下，点Q从点O出发，沿线段0A以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P,Q两点同时 出发，当点Q到达A点时，P,Q两点同时停止运动.点F是射线AC上的一点，若DF=BO,问是否存在t 值，使得以点B,O,Q为顶点的三角形与以点D,F,P为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条 件的t值， 第13页共43页 【对应练习】(26-27八年级上·广西防城港·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B= ∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点A作AF1AD,垂足是A,过点C 作CF L BC,垂足是C,交AF于点R,连接EF,下列结论：①△ABD≌△ACF;②DE=EF;③若S△ADE= 15,S△cEF=6,则S△A8c=36:④BD十CE=DE,其中正确的有 一·（注：把你认为正确的答案 序号都写上) D 【压轴考点08】全等的性质和SSS综合 【典例精讲】(26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测)如图，在四边形ABDC中，AB=AC,BD=CD, 过点D分别作DE 1 AB交AB的延长线于点E,DF L AC交AC的延长线于点F. F D B (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)若BE=3,求CF的长. 【对应练习】(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)求解下列各题： G 0 B E 图1 图2 第14页共43页 (1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明：∠BAD= 2∠EAF; (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接AG,请 探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由. 【压轴考点09】全等的性质和HL综合 【典例精讲】(26-27八年级上·河南安阳·阶段检测)教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础 上结合全等的知识对四边形ABCD进行研究，其中∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC. 图1 图2 (1)如图1，连接BD,若∠BAD=90°， ①∠BCD的度数是 ②求证：AD=CD (2)如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足∠PBQ=∠ABP+∠QBC,探究PQ、AP,CQ之间的数量 关系，并说明理由 第15页共43页 【对应练习】(25-26七年级下·江西景德镇·期末)如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC= 5cm,过点B作BM1AB.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着 E点的运动而运动，始终保持ED=CB.若点E的运动时间为t秒(t>0),则当以B,B,D为项点的三 角形与△ABC全等时，t的值为 秒 M B 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】(25-26八年级上·浙江绍兴·期中)如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个 “蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①∠A0D+∠B0C=180°： ②∠BOF=∠COE;③∠B0C=∠AOB;④∠BOD=90°.正确结论的个数是( D B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【对应练习】 (24-25八年级上·福建厦门·期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，△ABC的三个顶点 的坐标分别是A(2,3),B(1,0),C(1,2). 5-4-3-2-10 1B2345x 第16页共43页 (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1: (2)在y轴上有一动点P,使PA+PB的距离最小，直接写出P点的坐标. (3)如果要使以RCD为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标. 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】(26-27八年级上·河南安阳·阶段检测)如图，已 知MA=NC,∠MAB=∠NCD,A、C、B、D四点在同一条直线上，添加下列条件，不能判定△ABM≌ △CDN的是( ) M A.∠M=∠N B.BM=DN C.AC=BD D.BM∥DN 【对应练习】(24-25八年级上·江西吉安·期中)如图，AB=8cm,AC=BD=6cm,∠CAB= ∠DBA=,点P在线段AB上以Icm/s的速度由点A向点B运动，与此同时，点Q在线段BD上由点B向点D 运动，当P,Q中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为s连接CP,PQ. C D P 图1 图2 (1)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当=90°，t=2时，写出PC与PQ的数量关系与位 置关系，并说明理由： (2)如图2，当a=60时，设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使以A,C,P为项点的三角形与以 B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x,t的值：若不存在，请说明理由. 第17页共43页 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两 个三角形全等？ D ① ② ③ ④ (1)如图①，线段AD与BC相交于点O,A0=D0,B0=C0.△AB0和△DC0. (2)如图②，AC=AD,BC=BD.△ABC和△ABD. (3)如图③，线段AC与BD相交于点O,∠A=∠C,∠B=∠D.△ABO和△CD0. (4)如图④，∠CAB=∠DBA,∠1=∠2.△ABC和△BAD 【对应练习】己知A(0,2),B(4,0). y体 D 图1 图2 (1)如图1，连接AB,若D(O,-6),DE1AB于点E,B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM= AB,连接AM,试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论： (2)如图2，在(1)的条件下，若W是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP,连 接PN交y轴于点Q,过点W作NH1y轴于点H,当W点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？ 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由， 第18页共43页 【压轴考点3】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】(25-26七年级下·江西抚州·期末)如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的三个顶点 都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图.（注意求作的图形用实线）》 B 图1 图2 (1)在图1中，画出BC边上的中线AE: (2)在图2中，找一个点D,使得△DBC与△ABC全等（点D不能与点A重合）· 【对应练习】(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶 点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(-3,3),B(-4,-2),C(0,-1). (1)直接写出△ABC的面积为 (2)画出△ABC关于y轴的对称的△DEC(点D与点A对应，点E与点B对应)，点E的坐标为 (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线AF(保留作图痕迹并写出理由)· 第19页共43页 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】(25-26八年级上·江西宜春·阶段检测)如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为 1,点A,B,C在小正方形的顶点上 (1)画出△ABC中边AB上的高CD: (2)画出△ABC中边AB上的中线CE; (3)△ACE的面积为 【对应练习】已知△ABC中，AC=8,AB=V41,BC边上的高AG=5,D为线段AC上的动点，在BC上截 取CE=AD,连接AE,BD,则AE+BD的最小值为· G E 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】(25-26八年级上·广东潮州·期中)如图，AD II BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是 ∠ADC、∠BCD的角平分线， (1)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长， 第20页共43页 【对应练习】(2026八年级上·全国·专题练习)截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法， 也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长 或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P为AD上任一点.求证：AB-AC>PB-PC. 方法一：截长法 B 图① 方法二：补短法 2 0 图② 第21页共43页 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】(2026八年级上·全国·专题练习)中线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题 时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造 全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识 来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”. 如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，连接AD,点E在BC的延长线上， A A B D B D C 备用图 (1)若AB=CE,∠BAC=∠BCA.求证：AC平分∠DAE. (2)若将(1)中的“AB=CE,∠BAC=∠BCA”更改为“AC平分∠DAE,∠E=∠BAD”,试探究线段 AE与AD的数量关系，并说明理由. 【对应练习】(26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测)如图，在凸五边形ABCDE中，AB=AC,AD= AE,∠CAD=∠ABE+∠AEB,M为BE的中点.证明CD=2AM. 第22页共43页 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】(26-27八年级上·福建福州·开学考试)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC,直线l经过点C,过A作AD⊥L,垂足为D,过B作BE⊥I,垂足为E D 图1 图2 (1)求证：△ADC兰△CEB (2)如图2，延长AD至F,连接CF,过点C作CG⊥CF,且CG=CF,连接BG交直线l于点H,连接EG. ①求证：S△4cD=S△ECG: ②若AF=12,求CH的长. 第23页共43页 【对应练习】(25-26七年级下·江西九江·期末)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的 等腰三角形：基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图1与图2），一 些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决. 图1 图2 图3 图4 【理解探究】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线l上，直线与直线AB的交点不在 边AB上，分别作BF⊥I于点F,AE1于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线L上，直线l与直线AB的交点在边 AB上，分别作BF⊥于点F,AE1于点E.请问(1)中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成 立，请说明理由. 【转化应用】 (3)如图3，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F、D在同一直线上，连 接AD.已知S△BcD=12,BF=4.求S△4cD: (4)在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=10.直线经过Rt△ACD的直角顶点C交斜边 AD于点E,CE⊥AD,AE:DE=9:16,动点F在直线I上，动点B在CD所在直线上，若以点B、C、F为顶 点的三角形与△ACE全等（如图4），直接写出所有满足条件的EF的长度值. 第24页共43页 【压轴考点18】其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，△PBC的面积为3Cm2,CP平分∠ACB,AP1 CP于点P,连接BP,则△ABC的面积为( B A.3 B.4 C.5 D.6 【对应练习】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90,E、F分别是边BC、CD上的 点，且∠EAF=∠BAD.求证：EF=BE+FD: (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=专∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？ (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且 ∠EAF=;∠BAD(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关 系，并证明. D D B B E B E 图1 图2 图3 第25页共43页 【压轴考点19】全等三角形综合问题 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏南京·期末)如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其 中主骨架AD L BC,垂足为点O,DE=DF,AD平分∠EDF,这样设计能够保证两翼宽度一致（即OB= 0C),从而平稳飞行. 0 B D 图① 图② (1)请说明这样设计的理由： (2)要给骨架贴上布面，连接BD、CD,若风筝主骨架AD的长为40cm,BC=50cm,则需要的布料面积 (即四边形ABDC的面积)是多少？（不包含尾翼和飘带） 【对应练习】(26-27八年级上·广西南宁·阶段检测)如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,0 为BC边上的点（不与两端点B、C重合），过点B作BE L AO的延长线于点E,BE交AC的延长线于点D, B 备用图1 备用图2 (1)猜想OA与BD的数量关系，并说明理由： (2)若BE=6,ED=14,点P从点B出发，沿射线BD以每秒5个单位长度的速度运动，设点P的运动时间 为ts. ①用含t的代数式表示点P的运动路程_： 第26页共43页 ②求t为何值时，△A0P的面积为10： (3)在(2)的条件下，点Q从点O出发，沿线段OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P,Q两点同时 出发，当点Q到达A点时，P,Q两点同时停止运动.点F是射线AC上的一点，若DF=BO,问是否存在t 值，使得以点B,O,Q为顶点的三角形与以点D,F,P为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条 件的t值. 【压轴考点20】线段垂直平分线的性质与判定 【典例精讲】(26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB,AC于点D,F,若AD=3,△CBF的周长为7，则△ABC的周长为 【对应练习】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图①，在△ABC中，D是BC的中点，DE1AB于E, DF⊥AC于F,BE=CF. 图① 图② (1)求证：AD平分∠BAC; 第27页共43页 (2)如图②，连接EF,求证：AD垂直平分EF. 【压轴考点21】角平分线的性质与判定 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·单元复习)如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点 0,AB=12cm,BC=16cm,△AB0的面积为18cm2,则△B0C的面积为( A.18cm2 B.24cm2 C.36cm2 D.48cm2 【对应练习】(26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是射 线BC上一点，连接AD,过点B作BF⊥AD于点F直线BF、AC交于点E. F D B E 图1 图2 (1)如图1，求证：AC+CE=BD: (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：FC平分∠AFE; 第28页共43页 【压轴考点22】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】(25-26七年级下·甘肃张掖·期末)如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公 路边建一所加油站P,要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等， (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）： (2)你的作图依据是_· 【对应练习】(25-26八年级上·北京·期中)已知点A和两条相交直线0P,0Q,点A不在这两条直线 上.作一条经过点A的直线l,交直线OP于M,交直线OQ于N.若A,M,N这三点之中，有一点是另两点所 连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”· M 图1 图2-1 图2-2 (1)如图1，已知点A在∠P0Q的平分线上，若为关于点A的“好线”，则∠0AM的度数是一； (2)如图2，己知点A不在∠P0Q的平分线上. ①怎样画出一条关于点N的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足AN=MN,如图2-1， 那么可以在图中构造出一个以A为顶点、且与△MON全等的三角形.由此小明发现了画关于点N的“好 线”的一种方法 第29页共43页 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点N的“好线”的方法.写出画图步骤，再证明此时N是 AM的中点： ②在图2-2中画关于点A的“好线”并写出画图步骤.结论不需证明 (注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法. 【压轴考点23】等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】(26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测)只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格 边长为1.（保留作图痕迹） B B 图① 图② (1)在图①中找一点P,使点P到AB和AC距离相等且PB=PC: (2)在图②中，AB=5,在AC上找一点D,使得BD平分∠ABC. 第30页共43页 【对应练习】(26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测)如图所示，线段AB=12cm,射线AN1AB于点 A,点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE,连接DE交射线 AN于点M,则CM的长为 B 【压轴考点24】等边三角形的判定和性质 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·单元复习)如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高， ∠ADE=∠BDF=60°，则与AD相等的线段条数为( ) A.2 B.5 C.7 D.9 【对应练习】(25-26八年级上·辽宁大连·期末)在△ABC中，∠ABC=2∠ACB=2a,AD是高，E是 BC上一点. 图1 图2 (1)如图1，若AE平分∠BAC, ①求∠DAE的度数；（用含a的式子表示） ②求证：AC=CE+2DE 2如图2.当a=15°，∠CAE=45时，若点F在射线BA上，且CF=CB,求ae的值. 第31页共43页 【压轴考点25】含30度角的直角三角形 【典例精讲】(26-27八年级上·广西桂林·阶段检测)综合与探究 H E F 入 B C B D C B D C 图1 图2 图3 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形ABC,并标注AB=AC=10,∠A=30°，然后让同学们提出 有效问题并解决。 请你结合同学们提出的问题给予解答. 【初步探究】 (1)甲同学提出：∠B=∠C= (2)乙同学提出：△ABC的面积为 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形ABC中，取边BC的中点D,过点D分别作DE LAB, DF⊥AC,垂足为E,F.求DE+DF的值. 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形ABC中，在边BC上任取一点D,过点D 分别作DE1AB,DF1AC,过点C作CH L AB,垂足为E,F,H.求证DE+DF=CH.请你帮助丁同学 写出证明过程， 第32页共43页 【对应练习】(26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测)已知，M是等边△ABC边BC上的点. C M 图1 图2 图3 (1)如图1，过点M作MN∥AC,且交AB于点N,求证：BM=BN; (2)如图2，连接AM,过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H,过H作HD1BC于 点D, ①求证：MA=MH; ②猜想写出CB,CM,CD之间的数量关系式，并加以证明： (3)如图3，(2)中其它条件不变，若点M在BC延长线上时，(2)中两个结论还成立吗？若不成立请直接 写出新的数量关系式（不必证明）· 第33页共43页 【压轴考点26】斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】(26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测)已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的 中点. A E E D B B (1)求证：BE=DE; (2)若F为BD中点，求证：EF⊥BD: (3)探究∠BED与∠BAD的关系，并说明理由：当AC=8,∠BAD=30时，求BD的长. 【对应练习】(26-27八年级上·江苏·阶段检测)如图，△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线.作 AE⊥AB于点A,交BD的延长线于点E,取BE的中点M,连接AM. E D M A (1)求证：△AEM是等边三角形： (2)若S△AEM=1,求△ABC的面积. 第34页共43页 【压轴考点27】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】(26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 7cm,BC=5cm,CD为边AB上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂 线交直线CD于点F. E B D (1)求证：∠A=∠BCD. (2)当CF=AB时，点E运动了多长时间？ 【对应练习】(25-26七年级下·四川成都·期末)如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在AC 上，过点C作CE1BD交BD的延长线于点区交BC的平行线AG于点F,若品=号，则 S△CDF S△ADB E 第35页共43页 【压轴考点28】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】(25-26八年级上·陕西西安·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC=6,DE是过点A 的直线，BD⊥DE于点D,CE L DE于点E,且AD=CE. D (1)△ABD与△CAE全等吗？请说明理由； (2)求△ABC的面积. 【对应练习】(25-26七年级下·福建莆田·期中)如图1，MN‖PQ,点A、点C分别为MN、PQ上的 点.射线AB从AN顺时针旋转至AM停止，射线CD从CQ逆时针旋转至CP便立即回转.若射线AB的旋转速度 为a°/秒，射线CD的旋转速度为b°/秒，且a,b满足(a+b-5)2+|a-b+1=0.射线AB、射线CD同时 转动与停止，设射线AB运动时间为t, M A -N M B D D 图1 图2 图3 (1)求a、b的值： (2)若射线AB与射线CD交于点H,当∠AHC=100°，求t的值： (3)如图2，射线EF(点E在点C的左侧)从EG顺时针旋转，速度为()°/秒，且与射线AB、射线CD同时 转动与停止.若∠PEG=27°，则当t为何值时，射线AB所在直线、射线CD所在直线、射线EF所在直线能 围成直角三角形. 第36页共43页 【压轴考点29】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】(25-26九年级上·全国·期中)在直角坐标系中，0为坐标原点，点A(4,0), 点B(0,4),C是AB中点，连接OC,将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN,记旋转角为，点O,C的 对应点分别是M,N.连接BM,P是BM中点，连接OP,PN. (1)如图，当a=45时，求点M的坐标.（直接写出答案） B队P M 0 A (2)如图，当=180时，求证：0P=PN,且0P1PN: B M 第37页共43页 【对应练习】(25-26七年级下·四川成都·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC. E D B A B B 图1 图2 图3 (I)点D是△ABC内部一点，CD L CE且CD=CE. ①如图1，求证：△ACD兰△BCE: ②如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积： (2)如图3，点M是△ABC外一点，且∠AMC=45°，若△ABM的面积为8，求AM的长. 第38页共43页 模块四 优选真题实战演练 1.(25-26八年级上·广东汕头·期中)一个等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm,则它的周长为 ) A.25cm B.32cm C.25cm或32cm D.19cm 2.(26-27八年级上·云南·期中)如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅在焊接 立柱时，只需找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是 D A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂直平分线的性质 D.等腰三角形的“三线合一” 3.如图，AB=4cm,AC=BD=3cm,∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为t(s),当△ACP与△BPQ全等时，则点Q 的运动速度为( )cm/s. A→P A.0.5 B.1 C.0.5或1.5 D.1或1.5 4.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且AC、E三点共线，AD与BE交于点O,AD与BC交于点 P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下六个结论：①AD=BE;②∠AOE=120°；③DE=DP;④0A= OB+OC;⑤△PCQ是等边三角形；⑥0C平分∠BCD.其中正确的结论有( ) B A.①②④⑤ B.①②⑤⑥ C.③④⑤⑥ D.①②④⑥ 第39页共43页 5.(25-26八年级下·河南平顶山·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，BE是 ∠ABC的平分线，BE交AD于点F,则下面说法中：①∠BAD=∠C:②AE=AF;③∠CAD=2∠CBE: ④S△cE=BC·AF,正确说法的个数是（ ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(26-27八年级上·湖北·期中)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD1CE,BE1CE,垂足分别为 D,E,若AD=9,DE=6,则BE的长为_一一· D 7.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,现将△ABC沿着CB的方向平移到△A'B'C的位 置.若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为一一一· A BB 8.(23-24八年级上·上海·期中)如图，AB1AC,AB=AC=V2cm,D为AC中点，CF II AB,AF1 BD,垂足为点E,则CF=cm. 9.(26-27八年级上·湖北·期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC=8,D为AB上的 一动点，把△BCD沿CD翻折得到△PCD,连接AP,当AP取最小值时，△ACD的面积是」 第40页共43页 10.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD是 斜边AC上的中线，点E是AB上的动点，当△ECD周长最小时，∠ECD= B D 11.(25-26八年级上·广东汕头·期中)如图，已知线段AB. B (1)用尺规作图：作线段AB的垂直平分线MN,垂足为O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若点P在直线MN上，且PA=5cm,求PB的长，并说明依据， 12.(26-27八年级上·湖北·期中)李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学 探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考. 已知：如图，AE是△ABD的中线，AB=CD=BD. (1)若△ABE的面积为5，则△ABC的面积=_；（直接写出结果） (2)探究与证明：请探究线段(AB+AD)与线段2AE的大小关系，并证明你的结论： (3)求证：AE=AC. 第41页共43页 13.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中)解决下列问题： E D G B E D 图1 图2 图3 (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝 试：如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE.在 这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 一一，另外他还得到了AC和BE的位置关 系是 ；若AB=8,AC=6,他还求出了AD的取值范围为一； (2)问题解决：如图2，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求证： AQ=2AD: (3)问题拓展：如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,请直接写出BE和AF的数量关系. 第42页共43页 14.(25-26八年级上·四川南充·期中)如图，在△ABC中，D为边AC的中点，过点D作DE1AC,交 ∠ABC的平分线于点E,过点E作EF⊥BC于点F.若AB=5,BC=9,求CF的长 B 15.(25-26八年级下·宁夏银川·期中)在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=90° G E E F A ■■ D A D D 图1 图2 图3 (1)如图1，A,CD三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点R,则CE与BD的数量关系为_：位置关系 为 (2)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系. (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G,若∠ADB=a,试用a的表达式表示∠EAG. 第43页共43页