重难点培优01 比较大小方法题型全归纳（12种方法）（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦比较大小核心考点，涵盖12种方法，按知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、分层训练等环节，帮助学生构建从基础到拓展的完整解题体系。 资料以12种方法为脉络，融合基础方法与拓展技巧，如用泰勒展开估算微小数值差异，培养学生数学思维与运算能力。设置分层练习与真题情境，通过构造函数等策略突破难点，助力学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

重难点培优01 比较大小方法题型全归纳（12种方法） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 估算法（★★） 4 题型02 函数的单调性法（★★★） 5 题型03 中间量法（★★★） 6 题型04 数形结合法（★★★） 6 题型05 作差（作商）比较法（★★★） 8 题型06 基本不等式法（★★★★） 9 题型07 构造函数（含同构）法（★★★★） 9 题型08 放缩法（★★★★） 10 题型09 糖水不等式法（拓展）（★★★★） 11 题型10 对数型糖水不等式法（拓展）（★★★★） 11 题型11 泰勒展开估算法（拓展）（★★★★） 12 题型12 帕德逼近估算法（拓展）（★★★★） 13 03 实战检测·分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 14 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 估值比较大小 常见的近似值： 1．根式：（巧记：要死要死），（巧记：一吃三个），（巧民：二二三得六）， 2．分式：， 3．指数式：，， 4．对数式：，，， ，， 5．三角式：， 知识点02 糖水不等式及对数型糖水不等式（拓展） 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 知识点03 泰勒展开式 1．泰勒展开式 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 2．常用不等式 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 知识点4 常见放缩不等式 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 常见不等式放缩 ，， ，， ， ， 3．放缩程度综合 ， 知识点5 帕德近似（拓展） 帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法． 给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为： ， 且满足：，，，…，． 注：，，， 题型精研·技巧通法提能力 题型01 估算法 【技巧通法·提分快招】 利用估算法比较大小 （1）利用指、对数运算将所给的数转化为较小底数的指数幂或对数式形式. （2）对各数取近似值，再比较近似值的大小. 【注意】各特殊数的估计值请参看“知识点1 估值比较大小”. 1．设，，,则的大小关系为( ) A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a 2．设，，，则的大小关系为( ) （ ） A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b 3．已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a 4．下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定二者大小 题型02 函数的单调性法 【技巧通法·提分快招】 利用函数的单调性比较数的大小 在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数的单调性进行判断 （1）当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. （2）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小. 1.（25-26高三上·云南·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 3．（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 题型03 中间量法 【技巧通法·提分快招】 中间量法比较大小 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4.（2026·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 5．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型04 数形结合法 【技巧通法·提分快招】 数形结合法比较大小 核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧. 1．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数a，b，c满足a＝log2a，b＝log2b，c＝logc，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c　　　　　　 B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 3．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＝y B．1<x<y C．0<x<y<1 D．y<x<0 题型05 作差（作商）比较法 【技巧通法·提分快招】 作差或作商法比较大小 1．作差法：两式相减，因式分解 / 配方判断正负，差正则前者大，差负则后者小，适用所有实数. 2．作商法：两正数相除，商＞1 被除数大，商＜1 除数大；负数不可直接作商. 优先选作差，易因式分解；同正分式、指数式适合作商，算完结合符号综合判定. 1．已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 2．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东济南·模拟）已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 4．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型06 基本不等式法 【技巧通法·提分快招】 利用基本不等式比较大小 (1)先用条件判断正数前提，一正二定三相等缺一不可.直接观察式子结构，凑和定积最大、积定和最小形式. (2)遇多项式拆分配凑，构造均值不等式标准型；多个代数式比较时，分别求出最值再对比. (3)等号成立条件必须验证，避免最值取不到导致比较出错.复杂式子先化简、换元，再用不等式放缩搭桥，借助最值完成大小判断. 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型07 构造函数（含同构）法 【技巧通法·提分快招】 构造函数法比较大小 通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小.该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质.常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造、同构法等. 1.（同构法）已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 2.（2020·全国新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知，试比较大小关系（    ） A． B． C． D． 5.（2026·河北保定·三模）已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 题型08 放缩法 【技巧通法·提分快招】 放缩法比较大小 1．放缩法比较大小，先构造中间参照式，放大较小数、缩小较大数，建立传递不等式，常用裂项、根式、分式变形放缩，从而完成大小判定. 2．有时也利用以下这些常见超越不等式进行放缩，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧. （1）； （2）（），当时取等号；变式：,当时取等号； （3）（），当时取等号；变式：； （4）（），当时取等号； （5）（），当时取等号. 1．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（    ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型09 糖水不等式法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 利用糖水不等式法比较大小 熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误. 1．设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(多选) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 4.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 题型10 对数型糖水不等式法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 利用对数型糖水不等式法比较大小 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 1.（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 3．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型11 泰勒展开估算法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 利用泰勒展开估算法比较大小 泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似.在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小.该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形.根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数.例如，比较可用在处展开. 1．· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . ， . 2．（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 3．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 4．已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型12 帕德逼近估算法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 帕德逼近估算法比较大小 即利用帕德近似（详见知识点5）得到相应数的近似值，再比较近似值的大小. 常用近似公式有： 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C.a > c > b D. c > b > a 4．下列大小关系排序正确的是（ ） A. B. C. D. 5．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽·阶段检测）设，则（   ） A． B． C． D． 7．设，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 9. 若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（    ）. A． B． C． D． 10．若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 11．(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（25-26高三上·广西·开学考试）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 14．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）利用（1）的结论比较的大小. 创新能力提升 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）若、，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．(多选)（25-26高三上·广东·期末）已知，则（   ） （参考数据：） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高二下·重庆·期末）请阅读下列2段材料： 材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数成为的二阶导数，记为；若仍是可导函数，则的导数成为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义阶倒数：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是阶多项式，分母是阶多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近. 一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足（其中为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题： (1)求函数在处的阶帕德逼近函数； (2)求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小； (3)求证：当时，恒成立. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 比较大小方法题型全归纳（12种方法） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 估算法（★★） 5 题型02 函数的单调性法（★★★） 6 题型03 中间量法（★★★） 8 题型04 数形结合法（★★★） 10 题型05 作差（作商）比较法（★★★） 12 题型06 基本不等式法（★★★★） 14 题型07 构造函数（含同构）法（★★★★） 17 题型08 放缩法（★★★★） 19 题型09 糖水不等式法（拓展）（★★★★） 22 题型10 对数型糖水不等式法（拓展）（★★★★） 23 题型11 泰勒展开估算法（拓展）（★★★★） 25 题型12 帕德逼近估算法（拓展）（★★★★） 28 03 实战检测·分层突破验成效 29 重难知识巩固 29 创新能力提升 36 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 估值比较大小 常见的近似值： 1．根式：（巧记：要死要死），（巧记：一吃三个），（巧民：二二三得六）， 2．分式：， 3．指数式：，， 4．对数式：，，， ，， 5．三角式：， 知识点02 糖水不等式及对数型糖水不等式（拓展） 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 知识点03 泰勒展开式 1．泰勒展开式 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 2．常用不等式 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 知识点4 常见放缩不等式 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 常见不等式放缩 ，， ，， ， ， 3．放缩程度综合 ， 知识点5 帕德近似（拓展） 帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法． 给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为： ， 且满足：，，，…，． 注：，，， 题型精研·技巧通法提能力 题型01 估算法 【技巧通法·提分快招】 利用估算法比较大小 （1）利用指、对数运算将所给的数转化为较小底数的指数幂或对数式形式. （2）对各数取近似值，再比较近似值的大小. 【注意】各特殊数的估计值请参看“知识点1 估值比较大小”. 1．设，，,则的大小关系为( ) A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a 【答案】A 【详解】我们通过统一对数形式 + 交叉相乘验证的方法推导大小关系： 1.统一表达式形式：利用换底公式将c转换为自然对数形式，. 2.比较a和b：即证明，两边同乘正数12得.计算左侧，右侧，显然4.4<4.9461$，因此a<b. 3.比较b和c：即证明，两边同乘正数得.计算左侧，显然2.275<4，因此b<c 综上可推导大小关系：a < b < c. 2．设，，，则的大小关系为( ) （ ） A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b 【答案】A 【详解】我们通过区间判定 + 近似值校验的方法推导大小关系： 1．判定的区间：指数函数为单调递增函数，0<0.2<0.5，因此，即1<c<1.414， 2． ,所以b>c; 3．>>b, 所以c<b<a.故选A. 3．已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a 【答案】B 【详解】分别计算三者近似值： 利用换底公式，， ， 显然0.6931 > 0.631 > 0.447，即b > a > c，B选项正确. 4．下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定二者大小 【答案】A 【详解】利用对数换底公式，分别计算两个对数值： ， 显然1.585 > 1.465，因此，A选项正确. 题型02 函数的单调性法 【技巧通法·提分快招】 利用函数的单调性比较数的大小 在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数的单调性进行判断 （1）当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. （2）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小. 1.（25-26高三上·云南·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数的运算法则，把分别转化为，再利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且在单调递增， 所以，即. 故选：D 2.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 3．（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 4．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小. 【详解】由对数换底公式得： ， ， 因为是增函数，且， 所以： ，即， 指数函数是减函数，因此，即， 综上可得. 5．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 题型03 中间量法 【技巧通法·提分快招】 中间量法比较大小 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 2．（2026·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 3．（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即，所以. 4.（2026·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 5．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过作差法比出的大小关系，在通过倒数求出与它们的大小关系即可做答. 【详解】根据换底公式,,则, 由基本不等式可知即， 因为，即， 则，可知， ，可知，所以. 综上可知. 故选：D. 题型04 数形结合法 【技巧通法·提分快招】 数形结合法比较大小 核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧. 1．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 2．已知正实数a，b，c满足a＝log2a，b＝log2b，c＝logc，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c　　　　　　 B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 【答案】B 【详解】因为c＝logc， 所以－c＝log2c.又a＝log2a，b＝log2b， 所以a，b，c分别为y＝x，y＝x，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图， 由图可知c<b<a， 故选B. 3．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 4．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 5．（多选）若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＝y B．1<x<y C．0<x<y<1 D．y<x<0 【答案】ACD 【详解】由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y， 设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x， 由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数， 画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1； 当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9. 故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)， 所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确； 当1<x<y时，f(x)<g(y)，故B不正确； 当0<x<y<1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确； 当y<x<0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确． 故选ACD. 题型05 作差（作商）比较法 【技巧通法·提分快招】 作差或作商法比较大小 1．作差法：两式相减，因式分解 / 配方判断正负，差正则前者大，差负则后者小，适用所有实数. 2．作商法：两正数相除，商＞1 被除数大，商＜1 除数大；负数不可直接作商. 优先选作差，易因式分解；同正分式、指数式适合作商，算完结合符号综合判定. 1．已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 【答案】　B 【详解】＝＝<＝<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4， ∴b<c<a. 故选B 2．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 时，由不等式得，，， ， ，，，， 综上，，故选：B. 3．（25-26高三上·山东济南·模拟）已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 4．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可. 【详解】 ，则， ， 则，所以. 故选：B. 题型06 基本不等式法 【技巧通法·提分快招】 利用基本不等式比较大小 (1)先用条件判断正数前提，一正二定三相等缺一不可.直接观察式子结构，凑和定积最大、积定和最小形式. (2)遇多项式拆分配凑，构造均值不等式标准型；多个代数式比较时，分别求出最值再对比. (3)等号成立条件必须验证，避免最值取不到导致比较出错.复杂式子先化简、换元，再用不等式放缩搭桥，借助最值完成大小判断. 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 2．已知实数满足，则（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对AD选项用特殊值验证可得，对B选项可用基本不等式可得，对C选项用作差比较法判断可得. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C：因且，所以，即，故C正确； 对于D：若，则，故D错误. 故选：C 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用作商法及基本不等式比较大小，由对数的运算性质求，再由对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以， 因为，又，故. 故选：A 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合换底公式、基本不等式、对数的运算性质、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由 ，则， 由 ，则， 所以. 故选：A 题型07 构造函数（含同构）法 【技巧通法·提分快招】 构造函数法比较大小 通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小.该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质.常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造、同构法等. 1.（同构法）已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 【答案】C 【解析】设f(x)＝，则f′(x)＝， 当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 则当x＝e时，f(x)max＝＝， 即b＞a，b＞c； a－c＝－＝＝＜0，则c＞a，所以b＞c＞a. 2.（2020·全国新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件中的等式含有两个变量，等式的两边都同时含有指数和对数，然后考虑能否化为相同的结构，由，可设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 3．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小. 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 4．已知，试比较大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数和，利用导数判断函数的单调性，根据单调性比较大小. 【详解】令 则，令，则恒成立，即在上单调递增， ∵ 即 令，则 令得，即在上单调递减， 因为，所以即即， 即，所以． 故选：C 5.（2026·河北保定·三模）已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，判断其奇偶性并利用导数研究其单调性，然后利用反例法判断ABD，利用对数函数的单调性判断C. 【详解】因为，所以， 对于函数，定义域为R，且， 所以函数为偶函数， ，令，则， 所以单调递减，又 所以当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增. 由即得，，所以，即， 对于A，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于B，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于C，因为，所以，根据在定义域上单调递增， 所以，正确； 对于D，当时，满足，此时， 故不成立，错误. 题型08 放缩法 【技巧通法·提分快招】 放缩法比较大小 1．放缩法比较大小，先构造中间参照式，放大较小数、缩小较大数，建立传递不等式，常用裂项、根式、分式变形放缩，从而完成大小判定. 2．有时也利用以下这些常见超越不等式进行放缩，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧. （1）； （2）（），当时取等号；变式：,当时取等号； （3）（），当时取等号；变式：； （4）（），当时取等号； （5）（），当时取等号. 1．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（    ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 【答案】D 【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案. 【详解】由题意，，，，则. 故选：D. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以．因为，， 所以． 综上可知，． 故选：B． 3.（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据放缩比较大小即可. 【详解】根据超越不等式可知 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 4.（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小. 【详解】令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，； 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即， 所以. 故选：A 5.（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别构造函数，，利用导数判断函数单调性，由单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则. 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，，即. 令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为，而，所以，所以，即，整理得，故. 所以 题型09 糖水不等式法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 利用糖水不等式法比较大小 熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误. 1．设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意可知,, , 利用糖水不等式可知; 又, 又因为, 同理根据糖水不等式,,即,故选：D. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一： 所以. 解法二：由糖水不等式可得，即a<b<c. 3．(多选) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 【答案】BCD 【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 4.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 【答案】ABC 【详解】 由,则.若 , . 若,则，故. 若,则，故. 由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC. 题型10 对数型糖水不等式法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 利用对数型糖水不等式法比较大小 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 1.（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一（对数型糖水不等式） 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 解法二（普通型糖水不等式） 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 2．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 【详解】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故， （另：也可用对数型糖水不等式直接得到） 综上有. 3．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数性质知， ， ， 所以，，； 由糖水不等式知：， 所以,所以. 4．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 令，， ， 因为，所以， 令，，在上恒成立，在上单调递增， 故，所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，即， 故选：D. 秒解：由对数糖水不等式得，即 题型11 泰勒展开估算法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 利用泰勒展开估算法比较大小 泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似.在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小.该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形.根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数.例如，比较可用在处展开. 1．· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 【答案】C 【详解】直接利用泰勒展开式比较大小. 设 ， . 则； ， 所以c<a<b,故选C. 2．（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解法1（构造函数）：因为,因为当,所以,即,所以；设，，所以在单调递增，即x>0时， 则,所以，所以,所以.故选A. 解法2（泰勒公式、估算法）:由泰勒公式可得 , 3．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可. 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 4．已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 5．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小. 【详解】， ， ， ∴. 故选：D. 题型12 帕德逼近估算法（拓展） 【技巧通法·提分快招】 帕德逼近估算法比较大小 即利用帕德近似（详见知识点5）得到相应数的近似值，再比较近似值的大小. 常用近似公式有： 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近，得， ，，综上，.故选：B 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系. 【解析】，， ， 综上，． 故选：B 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用帕德逼近可得， 综上，． 故选：B. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可. 【解析】， ， . 综上，． 故选：A 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别判断出、、的范围,比较大小即可. 【详解】由，即； 由，即， 所以. 3．已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C.a > c > b D. c > b > a 【答案】C 【详解】分别计算三者近似值： 利用换底公式， 显然，即$a > c > b$，C选项正确. 4．下列大小关系排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】利用换底公式将各对数转换为常用对数计算： 显然1.161 > 1.113 > 1.086，即，A选项正确. 方法二：直接用对数型糖水不等式秒出. 5．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解. 【详解】因为，且， 所以， 又，所以， 故最大的是d. 故选：D 6．（25-26高三上·安徽·阶段检测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性计算判断，再结合基本不等式及对数运算判断. 【详解】，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 7．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，即 因为， 所以，即 综上所述：，故选：C 8．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过导数分析其单调性，结合单调性及对数运算性质比较即可. 【详解】设函数，定义域为， 对求导得： ， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减.故在处取得最大值， 则，，故，； 又因 ，， 因为函数在上单调递增，则，故，即. 综上可得. 9. 若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再构造函法，结合导数探讨函数的单调性比较大小即得. 【详解】显然，即，而， 设，求导得在上单调递增， 则，即当时，，因此； 设，求导得， 令，， 则函数，即在上单调递增，， 即函数在上单调递增，于是，则当时，， 从而，而，即有， 所以. 故选：A 10．若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 易知关于对称，故考虑即可， ；记，则； 在必有一解， 且在单调递减，在单调递增． 又，所以，从而． 即，． 所以的最大值为． 11．(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】法一：，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确； 以下同解法一. 12．（多选）（25-26高三上·广西·开学考试）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先进行指对互化，将已知条件转化为三个不同的对数函数，作出图象，进行比较即可 【详解】设，则，，. 如图，作出函数，，的图象， a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标. 由图可知，随着的变化，可能出现，，.    故选：ABD 13．（多选）（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 14．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）利用（1）的结论比较的大小. 【答案】 (i)，证明见详解；(ii） 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 创新能力提升 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断. 【详解】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 2．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案；方法二：通过构造函数和，求导判断函数的单调性即可比较大小. 【详解】方法一：设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，即，    由， 因为，所以，故， 综上可得，. 方法二：设函数，则， 因，可得，故，即函数在上单调递增， 故，即在上恒成立， 因，则，即，故； 再设函数，则， 令，则，即函数在上单调递增， 则，故函数在上单调递增， 则，故在上恒成立， 因，则，即. 综上可得. 3．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】构造，， 则对恒成立，则在单调递增， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； （秒解：由超越不等式直接得：,由得） 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 则，； 下面比较b和c的大小： 设，，， 设，，， 易知在上单调递增，则， 所以在上单调递减，， 即在上恒成立，则在上单调递减， 由，则，即，则， 综上所述， 故选：D. 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）若、，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项. 【详解】因为，则，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，即当时，，即， 因为，则，所以， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 由题意可知，，故， 因为，，故， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，且， 因为，则， 所以， 又因为，所以，故，D错. 6．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 7．(多选)（25-26高三上·广东·期末）已知，则（   ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性比较大小即可． 【详解】，故，故A错误； 比较b，c的大小关系，令，可知， 故当时，，当时，，故， 则，当且仅当时等号成立， ，故B正确； 比较a，c的大小关系， 设，则， 故当单调递增，当单调递减， 因此， 因此，当且仅当时取等号， 故，即，故C正确； 因为已证，，，所以，故，故D正确． 故选：BCD． 8．（多选）（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A选项，由真数大于0得到，故；B选项，可举出反例；C选项，由幂函数单调性得到，作差法得到，由函数单调性得到；D选项，分析得到时，满足，又在R上单调递增，故，当时，同理可得，又在R上单调递减，故，D正确. 【详解】A选项，，由题意得，即， ，故，A正确； B选项，若，不妨设，则， 其中， 而， 故，所以， 所以，故，B错误； C选项，若，又在R上单调递增，故， 其中， 所以， 设，其在R上单调递增， 又，故，解得，C正确； D选项，若，当时， ， 令，其在R上单调递减， 又，故时，，，故， 由C知，， 在R上单调递增，， 时，，故，， 满足，又在R上单调递增，故； 当时，同理可得，又在R上单调递减，故，D正确. 故选：ACD 9．（25-26高二下·重庆·期末）请阅读下列2段材料： 材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数成为的二阶导数，记为；若仍是可导函数，则的导数成为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义阶倒数：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是阶多项式，分母是阶多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近. 一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足（其中为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题： (1)求函数在处的阶帕德逼近函数； (2)求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小； (3)求证：当时，恒成立. 【分析】（1）根据题意设，然后由可求出，从而可求出； （2）根据题意设，然后由可求出，从而可求出，再与作差比较大小； （3）给不等式两边取对数后，转化为证，令，然后利用导数求出其最小值，再次转化为证，然后利用（2）的结论证明即可. 【详解】（1）由题意设， 因为，所以， 所以，则， 所以 因为，所以，， 所以， 所以，所以， 所以由，得，解得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以，所以，得， 由，得， 由，得， 因为，所以， 所以，所以， 由，得， 由，得， 因为，所以， 所以，所以，得， 所以得， 所以， 令，则 ， 所以在上递减， 因为， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即； (3)证明：当时，要证， 只要证，即证， 令，则， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以只需证，即， 所以只需证， 由（2）可知当时，，即， 所以， 所以原不等式成立. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $